高中数学专题系列三角函数讲义.doc

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SCE金牌数学专题系列
专题：三角函数

§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角终边相同的角的集合：.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 .
3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设）
，，，
3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.

正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线：AT

5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.

0

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系： 2、 商数关系：. 3、 倒数关系：
§1.3、三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）

1、 诱导公式一：
（其中：）
2、 诱导公式二：

3、诱导公式三：

4、诱导公式四：

5、诱导公式五：

6、诱导公式六：

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作图.
在上的五个关键点为：

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

图象

定义域

值域
[-1,1]
[-1,1]

最值

无
周期性

奇偶性
奇
偶
奇
单调性

在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
对称性

对称轴方程：
对称中心
对称轴方程：
对称中心
无对称轴
对称中心

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、 记住正切函数的图象
2、 记住余切函数的图象：
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

§1.5、函数的图象
1、对于函数：
有：振幅A，周期，初相，相位，频率.
2、能够讲出函数的图象与
的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩：
平移个单位
（左加右减）
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
（上加下减）

② 先伸缩后平移：
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
（左加右减）
平移个单位
（上加下减）

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数，x∈R及函数，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与
解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.

4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：，.
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）

§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、， 2、

变形： .
.
升幂公式：
降幂公式：
3、. 4、
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
（其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).

解三角形
1、正弦定理：
.
（其中为外接圆的半径）

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

2、余弦定理：

用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式：

4、三角形内角和定理：
在△ABC中，有
.
5、一个常用结论：
在中，
若特别注意，在三角函数中，不成立。
链接高考
一、选择题
1.【2012高考安徽文7】要得到函数的图象，只要将函数的图象
（A） 向左平移1个单位 （B） 向右平移1个单位
（C） 向左平移 个单位 （D） 向右平移个单位

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，，直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=
（A） （B） （C） （D）

3.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为
(A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)

4.【2012高考全国文3】若函数是偶函数，则
（A） （B） （C） （D）

5.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，，则
（A） （B） （C） （D）

6.【2012高考重庆文5】
（A）（B）（C） （D）

7. 【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

8. 【2012高考上海文17】在△中，若，则△的形状是（ ）
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

9.【2012高考四川文5】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）
（1） B、 C、 D、

10.【2012高考辽宁文6】已知，(0，π)，则=
(A) 1 (B) (C) (D) 1

11.【2012高考江西文4】若，则tan2α=
A. - B. C. - D.
12.【2012高考江西文9】已知若a=f（lg5），则
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

13.【2012高考湖南文8】 在△ABC中，AC= ，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于
A． B. C. D.

14.【2012高考湖北文8】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4

15.【2012高考广东文6】在△中，若，，，则
A. B. C. D.

16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是
A.x= B.x= C.x=- D.x=-

17. 【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是
（A） （B）1 C） （D）2

二、填空题
18.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 ．

19.【2102高考北京文11】在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________。

20.【2102高考福建文13】在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______.

21.【2012高考全国文15】当函数取得最大值时，___________.

22.【2012高考重庆文13】设△的内角 的对边分别为，且，则

23. 【2012高考上海文3】函数的最小正周期是

24.【2012高考陕西文13】在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2 ，B=，c=2，则b= .

25.【2012高考江西文15】下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是_________。

三、解答题
26.【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.

27.【2012高考安徽文16】（本小题满分12分）
设△的内角所对边的长分别为，且有
。
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ) 若，，为的中点，求的长。

28.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)
在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.
(Ⅰ)求证：成等比数列；
(Ⅱ)若，求△的面积S.

29.【2012高考湖南文18】（本小题满分12分）
已知函数的部分图像如图5所示.
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

30【2012高考四川文18】(本小题满分12分) 已知函数。
（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若，求的值。

31.【2012高考广东文16】（本小题满分12分）
已知函数，，且
（1）求的值；
（2）设，，，求的值.

32.【2012高考辽宁文17】(本小题满分12分)
在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。

33. 【2012高考重庆文19】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数
（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为。
（I）求的解析式；
（II）求函数的值域。

34.【2012高考新课标文17】（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA
(1) 求A；
(2) 若a=2，△ABC的面积为，求b,c。

35.【2102高考北京文15】（本小题共13分）
已知函数。
（1）求的定义域及最小正周期；
（2）求的单调递减区间。

36.【2012高考陕西文17】（本小题满分12分）
函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数的解析式；
（2）设，则，求的值。

37.【2012高考江苏15】（14分）在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．

38.【2012高考天津文科16】（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c。已知a=2.c=,cosA=.
（I）求sinC和b的值；
（II）求cos（2A+）的值。

39.【2012高考湖北文18】（本小题满分12分）
设函数f（x）=的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且
1. 求函数f（x）的最小正周期；
2. 若y=f（x）的图像经过点，求函数f（x）的值域。

40.【2012高考全国文17】(本小题满分10分)
中，内角、、成等差数列，其对边、、满足，求。

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