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选修2-2 3章末综合训练
一、选择题
1．复数i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[答案] A
[解析] 考查复数代数形式的运算．
i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.
2．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数．
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0.
④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] D
[解析] ①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都阿是1.④正确．故应选D.
3．(2010·陕西理，2)复数z＝在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＝＋i，对应点在第一象限．
4．设复数z＝(a＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有
，∴a＝－1.
5．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] 解法1：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.
解法2：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；
x＝－1时，原复数为0不满足，排除B，故选A.
二、填空题
6．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．
[答案] 2
[解析] 由z1＝1－i，z2＝3－5i知
Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得：d＝＝2.
7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝______________.
[答案] 9－5i
[解析] ∵z＋(1＋2i)＝10－3i
∴z＝10－3i－(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i
＝9－5i.
8．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________．
[答案]
[解析] z1·z2＝(cosθ－i)·(sinθ＋i)
＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)
实部cosθsinθ＋1＝1＋sin2θ≤，最大值为，
虚部cosθ－sinθ＝cos≤，最大值为.
三、解答题
9．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai (a∈R)，试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R)，
由(1)得x<0，y>0.
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai.
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等得，
解得－6≤a＜0.
10．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围；
(2)设u＝，求证：u是纯虚数．
(3)求ω－u2的最小值．
[分析] 本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，
则ω＝z＋＝a＋bi＋
＝＋i.
∵ω∈R，∴b－＝0.
∵b≠0，∴a2＋b2＝1.
此时ω＝2a，又－1<ω<2，
∴－1<2a<2⇔－<a<1.
∴z的实部的取值范围是.
(2)证明：u＝＝＝
＝－i.
∵a∈，b≠0，a，b∈R，
∴u为纯虚数．
(3)ω－u2＝2a＋＝2a＋
＝2a－＝2a－1＋
＝2－3.
∵－<a<1，∴a＋1>0.
∴2－3
≥2·2－3＝1.
当且仅当a＋1＝，即a＝0时取“＝”号，
故ω－u2的最小值为1.
[点评] 本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向．
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