高中数学平面向量22223向量数乘运算及其几何意义练习新人教A版必修.doc

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

A级　基础巩固
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有(　　)
(1)a与－λ a的方向相反；
(2)|－λ a|≥|a|；
(3)a与λ2a方向相同；
(4)|－2λ a|＝2|λ|·|a|.
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．
答案：B
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0.则(　　)
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2AO＝
解析：因为D为BC的中点，
所以＋＝2，
所以2＋2＝0，所以＝－，
所以＝.
答案：B
3．化简的结果是(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.
答案：B
4．正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|的值为(　　)
A．0 B. C．3 D．2
解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋＝2，
所以|a＋b＋c|＝|2|＝2||＝2.
答案：D
5．设四边形ABCD中，有＝且||＝||，则这个四边形是(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：因为＝，所以AB∥DC且AB≠DC，
所以四边形ABCD是梯形，又||＝||，
所以四边形ABCD是等腰梯形．
答案：C
二、填空题
6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，
又方向相反，所以a＝－b.
答案：－
7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λ a＋b与a＋2b平行，
所以λ a＋b＝t(a＋2b)，即λ a＋b＝t a＋2t b，
所以解得
答案：
8．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝m b，则实数m＝________．
解析：＝＝2，所以|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，
所以a＝－2b，所以m＝－2.
答案：－2
三、解答题
9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
解：设＝，则＝＋，则＝＋＝＋＋＝
＋－＋a(－)＝(1＋a)－a
所以x＋y＝1＋a－a＝1.
10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
(1)解：根据向量的线性运算法则，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与同向，且的长度为长度的2倍，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
B级　能力提升
1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为＋＋＝0
所以＋＋＋＋＝0
从而有＋＝－3＝3＝m，故有m＝3.
答案：B
2．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________(用，表示)．
解析：＝t，－＝t(－)，＝＋t－t＝(1－t)＋t.
答案：(1－t)＋t
3.如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

解：设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b.
又因为A，M，D三点共线，所以与共线．
所以存在实数t，使得＝t，
即(m－1)a＋nb＝t.
所以(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
所以消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①
又因为＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又因为C，M，B三点共线，
所以与共线．
所以存在实数t1，使得＝t1，
所以a＋nb＝t1，
所以消去t1得4m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，
所以＝a＋b.