高等数学同济版第一章PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-,*,上页 下页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-,*,高等数学,主讲人：张晓平教授,1,-,数学,研究数和空间图形及其相互关系的科学,数学,不仅是一种,工具,数学,而且是一种,思维模式,;,不仅是一种,知识,而且是一种,素养,;,不仅是一种,科学,而且是一种,文化,;,能否运用数学观念,定量思维,是衡量民族科学文化素质的一个重要标志,.,数学,一、什么是数学,?,2,-,高等数学,研究对象为,变量,运动,和,辩证法,进入了数学,.,1.,分析基础,:,函数,极限,连续,2.,微积分学,:,一元微积分,(,上册,),(,下册,),3.,向量代数与空间解析几何,4.,无穷级数,5.,常微分方程,主要内容：,多元微积分,二、什么是高等数学,?,初等数学,研究对象为,常量,以静止观点研究问题,.,初等数学,代数、几何、三角、解析几何,3,-,三、如何学习高等数学,?,学数学最好的方式是做数学,预习,复习,作业,考勤,自我学习的能力,微信公众号,:,山东建大高等数学,4,-,新生寄语,学而优则用,学而优则创,治学之道：,宽,专,漫,基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其他领域,厚 积 薄 发,做 好 当 下,5,-,第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,6,-,一、映射,二、函数的概念,第一节,映射与函数,第一章,三、函数的几种特性,四、反函数,五、复合函数,六、初等函数,7,-,一、映射,映射,设,X,Y,是两个非空集合,若存在一个对应规则,f,使得,有唯一确定的,与之对应,则称,f,为,从,X,到,Y,的,映射,记作,元素,y,称为元素,x,在映射,f,下的,像,记作,元素,x,称为元素,y,在映射,f,下的,原像,.,集合,X,称为映射,f,的,定义域,;,Y,的子集,称为,f,的,值域,.,8,-,注意,:,1),映射的三要素,定义域,对应规则,值域,.,2),元素,x,的像,y,是唯一的,但,y,的原像不一定唯一,.,对映射,若,则称,f,为,满射,;,若,有,则称,f,为,单射,;,若,f,既是满射又是单射,则称,f,为,双射,或,一一映射,.,9,-,例如,f,既是满射又是单射,故,f,为,双射,或,一一映射,.,又如,海伦公式,(,满射,),10,-,X,(,数集 或点集,),说明,:,在不同数学分支中有不同的惯用名称,.,X,(,),Y,(,数集,),f,称为,X,上的,泛函,X,(,),X,f,称为,X,上的,变换,R,f,称为定义在,X,上的,函数,映射又称为,算子,.,例如,目录,11,-,定义域,二、函数的概念,1.,函数的概念,设数集,则称映射,为定义在,D,上的函数,记为,自变量,因变量,叫作函数在,x,0,处的,函数,值,.,称为函数的,值域,.,函数图形,:,12,-,（,1,）单值函数,多值函数,没有特别说明，均指单值函数,.,说明：,例如,在,(-,r,r,),内为多值函数,.,为单值函数,在,（,2,）函数相等,例如：,和,是不同的函数,（对应关系不同）,和,是不同的函数,（定义域不同）,和,是相同的函数,.,13,-,例,1,已知函数,解,及,写出,f,(,x,),的定义域及值域,并求,f,(,x,),的定义域,值域,14,-,例,2,函数,例,3,绝对值函数,例,4,符号函数,Sign sain,1,x,显然：,定义域为,值域为,15,-,例,5,取整函数：,如,3,y,x,1,1,2,3,-1,-2,-3,-2,-1,-3,2,不超过,x,的最大整数，,记做：,目录,除例,2,外都是分段函数,16,-,1.,函数的有界性,上界,:,为一个上界,.,称,f,(,x,),在,X,上有,上界,.,下界,:,称,f,(,x,),在,X,上有,下界,.,为一个下界,.,有界,:,|,f,(,x,),|,M.M,为正数,无界,:,在,(0,1),内有下界,但没有上界,所以无界,.,例如,f,(,x,)=sin,x,有界,.,结论,f,(,x,),在,X,上,有界,f,(,x,),在,X,上,既有上界又有下界,.,使得,三、函数的几种特性,17,-,2.,函数的单调性,设,f,(,x,),的定义域为,D,，,区间,I,D,对于,I,上任意两点,若恒有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),单调增加或单调减少的函数统称为,单调函数,.,图象：,18,-,3,.,函数的奇偶性,设,f,(,x,),的定义域,D,关于原点对称,（即,x,D,，,x,D,），,偶函数的图形关于,y,轴对称，奇函数的图形关于原点对称,.,若恒有,，,则称,f,(,x,),在,D,内为,偶函数,.,若恒有 ，,则称,f,(,x,),在,D,内为,奇函数,;,说明,若,在,x,=0,有定义,为奇函数时,则当,必有,19,-,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,P13,：,20,-,再如,奇函数,双曲正切,记,说明,给定,则,偶函数,奇函数,P11,例,11,自学：,P11,函数的运算,21,-,4.,函数的周期性,都有,(,x,l,),D,，,且,f,(,x,l,),=,f,(,x,),恒成立，,则称,f,(,x,),为,周期函数,，,设,f,(,x,),的定义域为,D,，,如果,存在,l,0,使得对于任意,x,D,l,称为,f,(,x,),的,周期,.,通常，周期是指,最小正,周期,.,周期为,周期为,注,周期函数不一定存在最小正周期,.,例如,常量函数,狄利克雷函数,x,为有理数,x,为无理数,目录,22,-,1.,反函数的概念,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为,f,的,反函数,.,其反函数,(,减,),(,减,).,(1),y,f,(,x,),单调递增,且也单调递增,2.,反函数的性质,四、反函数,相对而言，,y,=,f,(,x,),称为,直接函数,.,23,-,(2),函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线,对称,.,指数函数,24,-,考虑正弦函数、余弦函数,:,25,-,得到反正弦函数、反余弦函数,:,反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值,.,26,-,考虑正切函数,:,得到反正切函数,:,27,-,考虑余切函数,:,得到反余切函数,:,目录,28,-,则,设有函数链,称为由,确定的,复合函数,u,称为,中间变量,.,注意,构成复合函数的条件,不可少,.,例如,函数链,:,可定义复合函数,五、复合函数,但函数链,不能构成复合函数,.,29,-,两个以上函数也可构成复合函数,.,例如,可定义复合函数,:,约定,:,为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件,.,目录,30,-,六、初等函数,1.,基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,2.,初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为,非初等函数,.,例如,并可用,一个式子,表示的函数,经过,有限次,四则运算和复合步,骤所,构成,称为,初等函数,.,可表为,故为初等函数,.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,.,(,自学,P13 P15),如,31,-,设函数,x,换为,f,(,x,),例,6,解,32,-,例,7,求,的反函数及其定义域,.,解,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,33,-,内容小结,1.,映射的概念,定义域,对应规律,3.,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.,初等函数的结构,2.,函数的定义及函数的二要素,第一章第一节,作业：,16,结束,34,-,且,备用题,证明,证,:,令,则,由,消去,得,时,其中,a,b,c,为常数,且,为奇函数,.,为奇函数,.,1.,设,35,-,2.,设函数,的图形与,均对称,求证,是周期函数,.,证,:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数,周期为,36,-,设,求,3.,解,37,-,答案,4.,结束,38,-,