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历年上海高考试题(立体几何)
(01春)若有平面与，且，则下列命题中的假命题为（ ）
（A）过点且垂直于的直线平行于．（B）过点且垂直于的平面垂直于．
（C）过点且垂直于的直线在内． （D）过点且垂直于的直线在内．
（01）已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（   ）D
    A. 若a∥b，则α∥β                    B.若α⊥β，则a⊥b
C.若a、b相交，则α、β相交             D.若α、β相交，则a、b相交
(02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段AB、CD、EF和GH 在原正方体中相互异面的有　　对。3

(02)若正四棱锥的底面边长为,体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是
(03春)关于直线以及平面，下列命题中正确的是( ).
(A) 若,则
(B) 若,则
(C) 若,且,则
(D) 若,则 D
(03) 在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）arctg2
(03)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β. D
(04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中,E是BC的中点,若△VAE的面积是,则侧棱VA与底面所成角的大小为 (结果用反三角函数表示) arctg
(04) 在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是( )
(A)若lβ且α⊥β,则l⊥α. (B) 若l⊥β且α∥β,则l⊥α.
(C) 若l⊥β且α⊥β,则l∥α. (D) 若α∩β=m且l∥m,则l∥α. B
(05春)已知直线及平面，下列命题中的假命题是
（A）若，，则. （B）若，，则.
（C）若，，则. （D）若，，则.D
(05)有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是 ．0<a<
(06春)正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
(06文)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 A
(06理)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）A
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．

A
(07文) 如图，在直三棱柱中，，
，，则异面直线与所成角的
大小是 （结果用反三角函数值表示）．

(07理)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个
相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是
直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件：
．，并且与相交（，并且与相交）
(01春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．
（1）求关于的函数解析式；
（2）设容器的容积为立方米，则当为何值时，最大？求出的最大值．
（求解本题时，不计容器的厚度）
解（1）设为正四棱锥的斜高
由已知
解得
（2）
易得
因为，所以
等式当且仅当，即时取得。
故当米时，有最大值，的最大值为立方米．
(01春) 在长方体中，点、分别、上，且，。

（1）求证：；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。
试根据上述定理，在，，时，求平面与平面所成的角的大小。（用反三角函数值表示）
证（1）因为，所在平面上的射影为
由，得，
同理可证
因为
所以

解（2）过作的垂线交于，
因为，所以
设与所成的角为，则即为平面与平面所成的角．
由已知，计算得．
如图建立直角坐标系，则得点，
，
，
因为与所成的角为
所以

由定理知，平面与平面所成角的大小为

(01) 在棱长为a的正方体OABC－O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.
    （1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'－BEF的体积取得最大值时，求二面角B'－EF－B的大小.（结果用反三角函数表示）
（1）利用空间直角坐标系证明；
      （2）arctan2
(02春) 如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB= OO1=2，OA=√3。
　　求：（１）二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；
　　　　（２）异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。
　　　　（上述结果用反三角函数值表示）
[解] （1）取OB的中点D，连结O1D，则O1D⊥OB。
    ∵平面OBB1O1⊥平面OAB，
　　∴O1D⊥平面OAB
    过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E，则O1E⊥AB。
　　∴∠DEO1为二面角O1-AB-O的平面角。
    由题设得O1D=√3，
　　∴DE=DBsin∠OBA=√21/7.
　　∵在Rt△O1DE中，tg∠DEO1=√7,
　　∴∠DEO1=arctg√7.即二面角O1-AB-O的大小为arctg√7.
　　(2)以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴、过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则
O（0，0，0），O1（0，1，√3），A（√3，0，0），A1（√3，1，√3），B（0，2，0）。
    设异面直线A1B与AO1所成角为α，
(02)如图，在直三棱柱中，，，D是线段的中点，P是侧棱上的一点，若，求与底面所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）
[解法一]
如图,以点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有
设，则

因为

因为平面AOB
是OP与底面AOB所成的角

[解法二]取中点E，连结DE、BE，则
平面
是BD在平面内的射影。
又因为
由三垂线定理的逆定理，得
在矩形中，易得
得
（以下同解法一）

(03春)已知三棱柱，在某个空间直角坐标系中，
其中
(1) 证明：三棱柱是正三棱柱；
(2) 若，求直线与平面所成角的大小.
（2）
(03)已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.

在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.
又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以
∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=.
(04春)如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.
(1) 求证：CC1⊥MN;(6分)
(2) 在任意△DEF中有余弦定理：
DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.(8分)
证明：(1) ∵CC1∥BB1, ∴CC1⊥PM, CC1⊥PN,且PM、PN相交于点P,
∴CC1⊥平面PMN.
∵MN平面PMN, ∴CC1⊥MN.
解：(2)在钭三棱柱ABC-A1B1C1中,有
S=S+S－2SScosα
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角
∵ CC1⊥平面PMN,
∴平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角为∠MNP …
在△PMN中,PM2=PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNP,
PM2·CC= PN2·CC+ MN2·CC－2(PN·CC1)(MN·CC1) cos∠MNP
由于S= PN·CC1, S= MN·CC1, S=PM·BB1及CC1=BB1,
则S=S+S－2SScosα
(04)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
【解】由题意得
xy+x2=8,∴y==(0<x<4).
于定, 框架用料长度为
l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时, x≈2.343,y=2≈2.828.
故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.
(05春)已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）求底面中心到侧面的距离
[证明]（1）取边的中点，连接、，
则，，故平面. …… 4分
∴ . …… 6分
[解]（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. …… 9分
设为，由题意可知点在上，
∴ ，.
, …… 11分
∴ ，
∵ ，∴ .
即底面中心到侧面的距离为3.
(05文)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2.B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
[解]联结B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN,
∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.
联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB1⊥平面ABCD, ∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角, ∴∠B1DB=60°.
在Rt△B1BD中, B1B=BDtan60°=2,
又DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C,
在Rt△DB1C中, tan∠DB1C=,
∴∠DB1C=arctan.
即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan.
(05理)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC1与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
[解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=.
又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.
在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H,
得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=.
又在Rt△CBC1中,可得BC1=,
在△ABC1中,cos∠C1BA=,∴∠C1BA=arccos
异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在
直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴=(-2,-3,2),
=(0,-1,0),设与所成的角为θ,
则cosθ==,θ= arccos.
异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
(06春)在长方体中，已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的大小(结果用反三角函数表示).
[解法一]连接A1D
∵A1D∥B1C, ∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成的角 ……4分
连接BD,在△A1DB中,AB=A1D=5,BD=4 ……6分
cos∠BA1D=
== ……10分
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos ……12分
[解法二]以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. ……2分
则A1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B1(4,4,3) 、C(0,4,0),
得=(0,4,-3),=( -4,0,-3) ……6分
设与的夹角为θ,
cosθ== ……10分
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos
(06文)在直三棱柱中，.
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积
解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,
∴AA1=.
∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.
(06理)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
P
A
B
C
D
O
E
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.

（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,－,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA=，则EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，
cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
(07春)如图，在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）
[解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分
由题意可知.
. …… 6分
设直线与所成角为，则
. …… 10分
，
即异面直线与所成角的大小为. …… 12分
[解法二] 连接， …… 2分
，且，是平行四边形，则，
异面直线与所成的角就是与所成的角. …… 6分
由平面，得.
在△中，，则
， …… 10分
.
异面直线与所成角的大小为.

(07文)在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求
正四棱锥的体积．
解：作平面，垂足为．连接，是
正方形的中心，是直线与平面
所成的角．
＝，． ．
，，
．
17．解： 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ，
．
(07理) 如图，在体积为1的直三棱柱中，．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
解法一： 由题意，可得体积
，
．
连接． ，
平面，
是直线与平面所成的角．
，
，则 ＝．
即直线与平面所成角的大小为．

解法二： 由题意，可得
体积，
，
如图，建立空间直角坐标系． 得点，
，． 则，
平面的法向量为．
设直线与平面所成的角为，与的夹角为，
则， ，
即直线与平面所成角的大小为．
17．解： 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ， ．

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