北师大版七年级数学下册《同底数幂的乘法》导学案.doc

1、《同底数幂的乘法》导学案
１、经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，了解正整数指数幂的意义。
２、了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。
一、 学习过程
（一） 自学导航
１、的意义是表示　　　　　　　相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。　　　　　　　　叫做底数，　　　　　叫做指数。
阅读课本p16页的内容，回答下列问题：
２、试一试：
（1）×=（×）×（××）=
（2）×= =
（3）= =
想一想：
1、等于什么（m,n都是正整数）？为什么？
2、观察上述算式计算前后底数和指数各有什么关系？你发现了什么？
概括：
符号语言： 。
文字语言： 。
计算：
(1) × (2) (3)

（二） 合作攻关
判断下列计算是否正确，并简要说明理由。
（1）= （2） += 　
（３）＝２ （４）=
（５） +=
（三） 达标训练
１、 计算：
（１）×　　　　（２）　　　　　（３）

２、 填空：
（　　　）＝　　　　　　　（　　　）＝
（　　　　）＝
３、 计算：
（１）　　　　　　　　　　（２）＋　

（３）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）

４、灵活运用：
（１）＝２７，则ｘ＝　　　　　　。
（２）９×２７＝，则ｘ＝　　　　　　。
（３）３×９×２７＝，则ｘ＝　　　　　　。
（四） 总结提升
1、怎样进行同底数幂的乘法运算？
2、练习：
（1）×２７　　　　　　　　　　　
（2）若＝３，＝５，则＝　　　　　　　　　。　

能力检测
1．下列四个算式：①a6·a6=2a6；②m3+m2=m5；③x2·x·x8=x10；④y2+y2=y4．其中计算正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．m16可以写成（ ）
A．m8+m8 B．m8·m8 C．m2·m8 D．m4·m4
3．下列计算中，错误的是（ ）
A．5a3-a3=4a3 B．2m·3n=6 m+n
C．（a-b）3·（b-a）2=（a-b）5 D．-a2·（-a）3=a5
4．若xm=3，xn=5，则xm+n的值为（ ）
A．8 B．15 C．53 D．35
5．如果a2m-1·am+2=a7，则m的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．同底数幂相乘，底数_________，指数_________．
7．计算：-22×（-2）2=_______．
8．计算：am·an·ap=________；（-x）（-x2）（-x3）（-x4）=_________．
9．3n-4·（-3）3·35-n=__________．
2、《幂的乘方》导学案
一、学习目标
１、 经历探索幂的乘方的运算性质的过程，了解正整数指数幂的意义。
２、 了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
二、 学习过程
（一）自学导航
１、 什么叫做乘方？
２、 怎样进行同底数幂的乘法运算？
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
（1）==2 （2）= =3
（3）= =
想一想：
= （m,n为正整数），为什么？
概括：
符号语言： 。
文字语言：幂的乘方，底数 指数　　　　　。
计算：
（1） 　　　　　　　　（2）

（二）合作攻关
1、判断下列计算是否正确，并简要说明理由：
（1）= （2）= （3）=9

2、计算：
（1） （2）
（3） （4）
３、能力提升：
（１）　　　　　　　（２）　　　　。
（３）如果，那么ａ，ｂ，ｃ的关系是　　　　　　　。
（三）达标训练
１、 计算：
（１）　　 （２）　　
（３）　　　　　　　　　　　　　　（４）
（５）　　
２、选择题：
（１）下列计算正确的有（　　　　）
A、　　　　　　B、　　
C、　　　　D、　
（２）下列运算正确的是（ ）．
A．（x3）3=x3·x3 B．（x2）6=（x4）4
C．（x3）4=（x2）6 D．（x4）8=（x6）2
（3）下列计算错误的是（ ）．
A．（a5）5=a25; B．（x4）m=（x2m）2;
C．x2m=（－xm）2; D．a2m=（－a2）m
（４）若（　　　）
A、９　　　B、６　　C、２７　　　D、１８
（四）总结提升
１、 怎样进行幂的乘方运算？

２、（1）x3·（xn）5=x13，则n=_______．
（2）已知am=3，an=2，求am+2n的值;

（3）已知a2n+1=5，求a6n+3的值．

3、《积的乘方》导学案
一、学习目标：
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程，了解正整数指数幂的意义。
2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
二、学习过程：
（一）自学导航：
1、复习：
（１）×　　　　　（2）　　 （3）　
（4）　 （5）

阅读课本p18页的内容，回答下列问题：
2、试一试：并说明每步运算的依据。
（1）
（2）= = =
（3）= = =
想一想：
=，为什么？
概括：
符号语言：= （n为正整数）
文字语言：积的乘方，等于把 ，再把 。
计算：
（1） （2） （3） （4）

（二）合作攻关：
1、判断下列计算是否正确，并说明理由。
（1） （2）
2、逆用公式：=，则= 。
（1） （2）
（3）

（三）达标训练：
1、下列计算是否正确，如有错误请改正。
（1） （2）
2、计算：
（1） （2）

（3） （4）

3、计算：
（1） （2）

（四）总结提升
1、怎样进行积的乘方运算？
2、计算：
（1） （2）

3、已知：xn＝5   yn＝3 求﹙xy﹚3n的值

4、《同底数幂的除法》导学案
1、回忆同底数幂的乘法运算法则： ，(m、n都是正整数)
语言描述：
二、深入研究，合作创新
1、填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、从上面的运算中我们可以猜想出如何进行同底数幂的除法吗？
同底数幂相除法则：同底数幂相除， 。
这一法则用字母表示为： 。(a≠0,m、n都是正整数，且m＞n)
说明：法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a≠0。
3、特殊地：，而
∴ ，（ ）
总结成文字为： ；
说明：如 ，而无意义。
三、巩固新知，活学活用
1、下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2、若，则( )
A. B. C. D.
3、填空：
= ； = ；
= ； =
= ； = ；
= = = = = = = ；
4、若，则_ ； 若，则 _
5、设，，， ，则的大小关系为
6、若，则 ；若，则的取值范围是
四、想一想

总结：任何不等于0的数的次方（正整数），等于这个数的次方的倒数；或者等于这个数的倒数的次方。即 = ；(a≠0,正整数)
练习： = = ； = ； = ；
= ； = ； = ；
= = ；
= = ；
= = ；
五、课堂反馈，强化练习
1．已知3m=5，3n=2，求32m-3n+1的值．

2.已知,求(1)；(2)

5、《单项式乘以单项式》导学案
同底底数幂的乘法：
幂的乘方：
积的乘方：
1. 叫单项式。 叫单项式的系数。
3计算：①＝　　　 ②＝　　　 ③＝　　 ④-3m2·2m4 =
4.如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，这是何种运算？你能算吗?
ac5·bc2=（　　　　　）×（　　　　　）=　　　　　
5.仿照第2题写出下列式子的结果
(1)3a2·2a3 = （　）×（　　）= (2) -3m2·2m4 =（　）×（　）=　　　　
(3)x2y3·4x3y2 = （　　）×（　　）= (4)2a2b3·3a3= （　）×（　）=
4.观察第5题的每个小题的式子有什么特点？由此你能得到的结论是：单项式与单项式相乘，　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　
新知应用（写出计算过程）
①（a2）·（6ab） ②4y· (-2xy2) ③
= = =

④（2x3）·22 ⑤ ⑥(-3x2y) ·(-2x)2
= = =

归纳总结：(1)通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点：一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；二是把各因式的_____ 相乘，底数不变，指数相加；三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式。(2)单项式相乘的结果仍是 ．
推广： =
一.巩固练习
1、下列计算不正确的是( )
A、 B、
C、 D、
2、的计算结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列各式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、下列运算不正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、计算的结果等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6. ；7. ；
8. ；9.）= ；
10. ；11. ；
11.计算
（1） （2）

（3）（4）

6、《单项式乘多项式》导学案
一．练一练：
(1) (2) (3)
= = =

二．探究活动
1、单项式与单项式相乘的法则：

2、2x2-x-1是几次几项式？写出它的项。

3、用字母表示乘法分配律

三.自主探索、合作交流
观察右边的图形：回答下列问题
二、 大长方形的长为 ，宽为 ，面积为 。
三、 三个小长方形的面积分别表示为 ， ， ，
大长方形的面积= + + =
（3）根据（1）（2）中的结果中可列等式：
（4）这一结论与乘法分配律有什么关系？
（5）根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？
单项式乘多项式法则：

２、例题讲解：
（１）．计算
1．2ab（5ab2＋3a2b）　　　　　　　2．

３． 　　 ４．

（２）．判断题：
（1）3a3·5a3＝15a3 （　 　）
（2） （　 　）
（3） （　 　）
（4）－x2(2y2－xy)＝－2xy2－x3y （　 　）
四．自我测试
１．计算:（1） （2）； （3）

（4）－3x(－y－xyz)；　　　(5）3x2(－y－xy2＋x2)；　（6）2ab(a2b－c)；

（7）(a＋b2＋c3)·（－2a）； （8）[－(a2)3＋(ab)2＋3]·（ab3）；

2．已知有理数a、b、c满足|a―b―3|＋（b＋1）2＋|c－1|＝0，
求（－3ab）·（a2c－6b2c）的值．

3．已知：2x·（xn＋2）＝2xn＋1－4，求x的值．

4．若a3（3an－2am＋4ak）＝3a9－2a6＋4a4，求－3k2（n3mk＋2km2）的值．

7、<<多项式乘多项式>>导学案
一.复习巩固
1．单项式与多项式相乘，就是根据______________________________________.
2．计算：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
3、计算：（1） （2）

二．探究活动
１、独立思考，解决问题：如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算．你从计算中发现了什么？
方法一：__________________________________.
方法二：__________________________________.
方法三：__________________________________
2．大胆尝试
（１） （２）

总结：实际上，上面都进行的是多项式与多项式相乘，那么如何进行运算呢
多项式与多项式相乘，_____________________________________________
_______________________ ___________________ _______________.
3．例题讲解
例1计算:　　　　

例2 计算：
　　 (2)

三．自我测试
1、计算下列各题：
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7） （8） （9）

2．填空与选择
（1）、若 则m=_____ ， n=________
（2）、若 ，则k的值为（ ）
（A） a+b （B） －a－b （C）a－b （D）b－a
（3）、已知 则a=______ b=______
(4)、若成立，则X为
3、已知的结果中不含项和项，求m，n的值.

8、《平方差公式》导学案
一．探索公式
1、沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积

2、计算下列各式的积
(1)、 (2)、
= =

(3)、 (4)、
= =

观察算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？
①上面四个算式中每个因式都是 项.
②它们都是两个数的 与 的 .(填“和”“差”“积”)
根据大家作出的结果，你能猜想（a+b）（a－b）的结果是多少吗？
为了验证大家猜想的结果，我们再计算：
（ a+b）（a－b）= = .
得出： 。其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 公式，用语言叙述为 。

1、判断正误：
(1)(4x+3b)(4x-3b)＝4x2-3b2； ( ) (2)(4x+3b)(4x-3b)＝16x2-9； ( )
2、判断下列式子是否可用平方差公式
(1)(-a+b)(a+b)（ ） (2) (-2a+b)(-2a-b) （ ）
(3) (-a+b)(a-b)（ ） (4) (a+b)(a-c) （ ）
3、参照平方差公式“（a+b）（a－b）= a2－b2”填空
（1）(t+s)(t-s)= (2) (3m+2n)(3m-2n)=
(3) (1+n)(1-n)= (4) (10+5)(10-5)＝
二、自主探究
例1：运用平方差公式计算
（1） （2） （3）

例2：计算
（1） （2）

达标练习
1、下列各式计算的对不对？如果不对，应怎样改正？
(1) (x+2)(x-2)=x2-2 (2) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4
(3) (x+5)(3x-5)=3x2-25 (4) (2ab-c)(c+2ab)=4a2b2-c2
2、用平方差公式计算：
1）(3x+2)(3x-2) 2）（b+2a）（2a-b）

3）（-x+2y）（-x-2y） 4）（-m+n）(m+n）

5) (-0.3x+y)(y+0.3x) 6) (-a-b)(a-b)

3、利用简便方法计算：
(1) 102×98 (2) 20012 -19992

(1) (x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x-y) (2) (a+2b+c)(a+2b-c) (3) (+5)2 -(-5)2

探索：1002-992+982-972+962-952+……+22-12的值。

9、《完全平方公式》导学案
一、探索公式
问题１.利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？
（1）__________________________.
（2）＝_______________________.
(3) _____ _______________.
(4) =_________________________.
(5) =_________________________ .
(6) =________________________.
问题２.上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？
问题3．尝试用你在问题３中发现的规律，直接写出和的结果.
即：＝ ＝
问题4：问题3中得的等式中，等号左边是 ，等号的右边： ，把这个公式叫做（乘法的）完全平方公式
问题5. 得到结论:
(1)用文字叙述：
（3）完全平方公式的结构特征：

问题6：请思考如何用图１５.２－２和图１５.２－３中的面积说明完全平方公式吗？

问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异
二、例题分析
例１：判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来.
(1)(a+b)2=a2+b2； （ ）
(2)(a-b)2=a2-b2； （ ）
(3)(a+b)2=(-a-b)2； （ ）
(4)(a-b)2=(b-a)2. （ ）
例2.利用完全平方公式计算
(1) (2) (3) (x+6)2 (4) (-2x+3y)(2x-3y)

例3.运用完全平方公式计算：
(5) (6)

三、达标训练
1、运用完全平方公式计算：
(1) (2x-3)2 (2) (x+6y)2 （３）（-x + 2y）2

（４）（-x - y）2 (5) (-2x+5)2 (6) (x-y)2

２.先化简，再求值：

３.已知 x + y = 8，xy = 12，求 x2 + y2 的值

4.已知 ，求和 的值

10、《单项式除以单项式》导学案
一、复习回顾，巩固旧知
1.单项式乘以单项式的法则:

2.同底数幂的除法法则:
二、创设情境，总结法则
问题1：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

问题2:（1）回顾计算的过程,说说你计算的根据是什么？

(2)仿照(1)的计算方法，计算下列各式：

分析: 就是的意思,
解:

分析: 就是的意思
解:

分析: 就是的意思
解:

（3）讨论（2）中的三个式子是什么样的运算．
答
问题3同学们你能根据上面的计算，尝试总结一下单项式除以单项式的运算法则吗？（提示:从系数、相同字母、只在被除式中出现的字母三个方面总结）
得到结论：单项式除以单项式的法则：

三、例题分析
例1. （1）28x4y2÷7x3y （2）-5a5b3c÷15a4b

（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 （4）5（2a+b）4÷（2a+b）2

达标训练
1.计算：
（1） （2）

（3） （4）

2.把图中左边括号里的每一个式子分别除以，然后把商式写在右边括号里.

课后练习
1. (1) (2)

(3) (4)

11、《多项式除以单项式》导学案
一、 课前预习
１、单项式除以单项式法则是什么?

2、计算：
（1） （2）
（3） (4) 8m2n2÷2m2n=
(5) 10a4b3c2÷(-5a3b)= (6) (-2x2y)2÷(4xy2)=
二、自主探究
请同学们解决下面的问题：
(1)；
(2)；
(3)；
通过计算、讨论、归纳，得出多项式除单项式的法则
多项式除单项式的法则:多项式除以单项式，先把
，再把 。
用式子表示运算法则
想一想
如果式子中的“＋”换成“－”，计算仍成立吗?
三、 例题分析
1、计算:
(1) (2)

(3) (4)

(5 (6)

2、练一练
（１） （２）

（３） （４）

（５）

四、 能力拓展
1、计算：
(1) （2）［(x+y)(x-y)-(x-y)2］÷2y

（3）(8a2-4ab)÷(-4a) （4）

（5） （6）

2.

12《 因式分解（1）》
问题一：1. 回忆：运用前两节所学的知识填空：
（1）2（x＋3）＝___________________；
（2）x2（3＋x）＝_________________；
（3）m（a＋b＋c）＝_______________________.
2.探索：你会做下面的填空吗？
（1）2x＋6＝（ ）（ ）；
（2）3x2＋x3＝（ ）（ ）；
（3）ma＋mb＋mc＝（ ）2.
3.归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）.
4.反思：①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式.
②分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数.
问题二：1.公因式的概念．
⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两个不同的代数式表示这块场地的面积.
① _______________________________,
② ___________________________
⑵填空：①多项式有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式.
②3x2+x3有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式.
③ma+mb+mc有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式.
※多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式.
2．提公因式法分解因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）
3.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab； （2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)； （4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
（5）36 （6）
4. 试一试： 用提公因式法分解因式：
（1）3x+6=3 ( )（2）7x2-21x=7x ( )
（3）24x3+12x2 -28x=4x( ) （4）-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( )
5.公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.
6.方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a、确定公因式b、把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.
问题三：1.把下列多项式分解因式：（1）-5a2+25a    （2）3a2-9ab

分析（1）：由公因式的确定方法，我们可以这样确定公因式：
①定系数：系数-5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为（     ）
②定字母：两项中的相同字母是（   ），故公因式的字母取（   ）；
③定指数：相同字母a的最低指数为（  ），故a的指数取为（   ）； 
所以，-5 a2+25a 的公因式为：（    ）
2．练一练：把下列各式分解因式：
(1)ma+mb (2)5y3-20y2 (3)a2x2y-axy2 (4)-4kx-8ky

(5)-4x+2x2 (6)-8m2n-2mn (7)a2b-2ab2+ab (8)3x3–3x2–9x

(9)-20x2y2-15xy2+25y3 （10）a(a+1)+2(a+1) （11）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)

达标检测，体验成功（时间20分钟，满分100分）
1．判断下列运算是否为因式分解：(每小题10分，共30分)
（1)m(a+b+c)= ma+mb+mc. （ ）（2)a2-b2 = (a+b)(a-b) （ ）
（3) a2-b2+1= (a+b)(a-b)+1 （ ）④（ ）
2．①3a+3b的公因式是：   ②-24m2x+16n2x公因式是：  
③2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： ④ 4ab-2a2b2的公因式是：
(2)把下列各式分解因式：①12a2b+4ab = ②-3a3b2+15a2b3 =
③15x3y2+5x2y-20x2y3 = ④-4a3b2-6a2b+2ab =
⑤4a4b-8a2b2+16ab4 = ⑥ a(x-y)-b(x-y) =  
3．若分解因式，则m的值为 .
4．把下列各式分解因式:⑴8m2n+2mn ⑵12xyz-9xy2 ⑶ 2a（y－z）-3b(z－y)

5．利用因式分解计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14

6. 已知a+b=5,ab=3, 求a2b+ab2的值.

13 《因式分解（2）》
1．因式分解概念：把一个多项式化成 的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与 互为逆运算.
2． 判断下列各变形，属于整式乘法还是因式分解：
(1) x2-9= (x+3)(x-3) （ ） ⑵（x＋1）（x－1）=x2－1（ ）
3. （1）（a＋b）（a－b）=________；（2）（a＋b）2=___ __.（3）（a－b）2=__________.
4. 探索：你会做下面的填空吗？
（1）a2－