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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第2章 数字逻辑基础,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,第2章 数字逻辑基础,2,.1 数制和码,2,.2 逻辑代数基础,习题,1/133,学完本章要掌握,惯用数制（十进制、二进制、十六进制、八进制）及不一样数制数相互转换；惯用二-十进制码,逻辑代数基本概念、公式、定理及应用,逻辑函数表示方法（真值表、函数表示式、逻辑图、卡诺图、波形图）及其相互转换,逻辑函数公式化简和卡诺图化简。,2/133,1.1 数 制 和 码-惯用数制,数制是计数进位制简称,在日常生活和生产中，人们习惯用十进制数.,而在数字电路和计算机中，只能识别“0”和“1”组成数码，所以经常采取是:,二进制数,十六进制数,八进制数。,3/133,十进制（Decimal）,有09共10个数码,计数“基数”为10,数组成自左向右由高位到低位排列,计数时，“逢十进一，借一当十”,数码在不一样位置代表数值不一样，对应位数码 所代表实际数值称之为“位权”或简称为“权”,位数越高，权值越重,左边位权是右边位权10倍,（个位权10,0,，十位10,1,，百位10,2,）,十进制数616可表示为,616=610,2,110,1,610,0,4/133,对于任意一个十进制数，都能够表示成,式,中，,K,i,为十进制数第,i,位数码，,n,表示整数部分位数，,m,表示小数部分位数，,n,、,m,都是正整数，10,i,为第,i,位位权值。,（个位权10,0,）,比如，十进制数54.214可表示为,54.214=510,1,410,0,210,-1,110,-2,410,-3,5/133,二进制（Binary）,数码：0和1,组成：自左向右由高到低位排列,计数基数：2,位权值：2幂,计数规律：“逢二进一，借一当二”,6/133,对于任意一个二进制数，都能够表示为,式中，,K,i,为二进制第i位数码，2,i,为第,i,位位权值，,n,表示整数部分位数，,m,表示小数部分位数，,n,、,m,均为正整数。,比如，二进制数1101.101能够展开成,（,1101.101）,2,=12,3,+12,2,02,1,12,0,12,-1,0,2,-2,1,2,-3,7/133,十六进制（Hexadecimal）,数码：09，A、B、C、D、E、F,组成：自左向右由高位向低位排列,计数基数：16,计数规律：“逢十六进一，借一当十六”,位权值：16,幂,8/133,十六进制数比二进制数位数少，便于书写和记忆，所以在计算机中经常使用。任意十六进制数可表示为：,9/133,式中，,K,i,为十六进制数第,i,位数码，16,i,为第i位位权值，n、m含义与式（1-1）和式（1-2）中含义相同。比如，十六进制数5A.B4可表示,为,(5A.B4）,16,=516,1,1016,0,1116,-1,416,-,2,10/133,八进制数,8个数码：07,计数基数：8,计数规律：“逢八进一，借一当八”,位权值：8幂,位权展开式：同二、十、十六进制数,11/133,数,制,对,照,表,12/133,数制转换,二进制数转换成十进制数按权相加法,将二进制数按位权展开后相加，即得等值十进制数。比如,（101.101）,2,=12,2,02,1,12,0,12,-1,+0,2,-2,+12,-3,4010.50+0.125,（,5.625,）,10,13/133,二进制数位权值表,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0.0625,0.125,0.25,0.5,1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,14/133,十进制数转换成二进制数,整数部分：“除2取余”法,纯小数部分“乘2取整”法,15/133,例：将十进制数37.562转换成误差小于2,-6,二进制数，可按下述步骤进行：,整数部分,37,用“除,2,取余”法：,16/133,例,2|37,1,K,0,=1,2|18.0,K,1,=0,2|9.1,K,2,=1,2|4.0,K,3,=0,2|2.0,K,4,=0,2|1,.,1,K,5,=1,0,K,6,=0,17/133,可得,（,37,）,10,=,（,100101,）,2,小数部分,0.562,用“乘,2,取整”法：,0.5622=1.124 1,K,-1,=1,0.1242=0.248 0,K,-2,=0,0.2482=0.496 0,K,-3,=0,0.4962=0.992 0,K,-4,=0,0.9922=1.984 1,K,-,5,=1,18/133,最终余小数,0.984,0.5,，依据“四舍五入”标准，可得,K,-6,=1,。所以,（,0.562,）,10,（,0.100011,）,2,其误差,2,-6,。,最终得到,（,37.562,）,10,（,100101.100011,）,2,19/133,二进制数转换成十六、八进制数,十六进制基数为 16，4位二进制数就相当于 1位十六进制数,将二进制数11010011010.010011转换成十六进制数.,解:先将其分组为（0110 1001 1010.0100 1100）2，再将各组4位二进制数转换为对应十六进制数，得,（,0110 1001 1010.0100 1100,),=(69A.4C,）,16,20/133,八进制基数为82,3,，3位二进制数就相当于1位八进制数。所以，二进制数转换成八进制数方法是将二进制数按,3,位分成一组转换成对应八进制数即可。,21/133,4.十六、八进制数转换成二进制数,因为每位十六进制数对应于一个4位二进制数，所以，任意十六进制数均可由各位变成,4,位二进制数而得对应二进制数形式。,比如，,将十六进制数,6E.5A3,转换成二进制数，即,（,6E.5A3,）,16,=(0110 1110.0101 1010 0011,）,2,一样，每位八进制数对应于一个3位二进制数，所以，任意八进制数均可由各位变成3位二进制数而得对应二进制数形式。,比如，,将八进制数,52.4,转换成二进制形式，,即,（,52.4,）,8,=(101 010.100,）,2,22/133,5.十六、八进制数转换成十进制数,可由“按权相加”法分别得到十六十、八十转换。比如，把十六进制数5A.48转换成十进制数，即,（5A.48）,16,516,1,1016,0,416,-1,816,-2,=8010+0.250.031 25,=,（,90.281 25,）,10,把八进制数,63.4,转换成十进制数，,即,（63.4）,8,68,1,38,0,48,-1,48+30.5,（,51.5,）,10,23/133,6.十进制数转换成十六、八进制数,十进制数转换成十六进制数方法：整数部分采取“除16取余”法，小数部分采取“乘16取整”法,十进制数转换成八进制数方法：整数部分采取“除8取余”法，小数部分采取“乘8取整”法。,也能够先将十进制数转换成二进制数，再由二进制数转换成十六或八进制数。,比如,（,42.25,）,10,（,101010.01,）,2,（,2A.4,）,16,（,52.2,）,8,24/133,二进制数算术运算,1.四则运算,在二进制数运算中，进位时“逢二进一”，借位时“借一当二”。,25/133,二进制数有以下基本数值运算关系式,0+0=0 00=0,0+1=1 01=0,1+1=10 1,1=1,26/133,下面举例说明二进制加、,减运算。,加法,减法,1101 1101,+0011 -0011,10000 1010,在数字系统（如计算机）中乘法运算普通用加法运算做，即被乘数本身连续相加，相加个数等于乘数；除法运算可用减法运算来做，即从被除数中不停减去除数，所减次数就是商，,剩下不够减部分就是余数。,若能把减法也变为加法，运算形式就单一化了。数字系统中正是这么做。,27/133,2.减法补码运算,怎样实现减法变加法呢？以时钟为例，把时针从8拨到5，既能够逆时针后拨（减法）3小时，也能够顺时针前拨（加法）9小时。因为表盘最大读数为 12，任一读数加 12后仍为原值，即:,8-3=5 89=12+5,28/133,减法补码运算,这里，称12为模，-3叫原码，9是-3补码。这个例子表明，利用补码运算能够把减法运算变成加法运算，在运算时须把参加运算数变为补码形式，然后相加，其和也为补码形式。,比如4位二进制数，其模为（10000）,2,，其最高位1不可能在电路中表示出来，而低4位全是0，所以任何4位二进制数加其模数仍为原4位二进制数。,29/133,3.补码运算基本步骤,（1）,找到运算模数,n,位二进制数运算模数为2,n次方,。,因为数字系统中一个实际加法器电路位数,n,总是确定，运算中若出现向最高位以上进位必定被舍去（称为溢出）。,()运算数变为补码形式,()运算时符号位和数值位一起参加运算,30/133,二进制数补码：,最高位为符号位，正数为0，负数为1,；,正数补码和它原码相同（正数加模不变)；,负数补码将,其原码逐位求反,得到其反码，,然后在最低位加1,求得（由负数加模可得）。,补码运算后和数仍是补码形式，,若结果是正数,，和数大小直接表示和数值；,若和数是负数,，必须对和数求一次补码才能得到该负数值。,31/133,运算结果,怎样判断运算结果（补码）是正数还是负数呢？能够从补码最高位看出，当最高位为“0”时，表示是一个正数补码，也就是该正数原码，当最高位为“1”时，表示是一个负数补码。也就是说，带符号数补码最高位也是符号位。,需要说明是，,若符号位不参加运算,，则补码求和后当最高位为“1”时，表示是一个正数补码，也就是该正数原码，当最高位为“0”时，表示是一个负数补码。,32/133,【例】设,A,1,=0111，,A,2,=0011，试求:,（1）,A,1,A,2,；,（2）,A,2,A,1,。,解,（1）,A,1,-,A,2,（0111）,2,（0011）,2,（0 0111）,2,（1 1100）,2,+（0001）,2,（,00100,）,2,最高位为,0,，所以其差值是一个正数，,差值为（,0100,）,2,=,（,4,）,10,。,33/133,（2）,A,2,A,1,（0011）,2,（0111）,2,（0 0011）,2,（1 1000）,2,+（0001）,2,（1 1100）,2,最高位为,1,，,所以其差值是一个负数，,需再求一次补码才能变为原码：,（,1100,）,2,补,（,0011,）,2,（,0001,）,2,=,（,0100,）,2,所以差值为,（,0100,）,2,=,（,4,）,10,。,34/133,惯用二十进制码与ASCII码,1.惯用二十进制码,用4位二进制数码表示1位十进制数，简称二十进制码，又叫BCD码。,惯用BCD码分有权码和无权码两类。有权码用代码位权值命名。如8421码自左至右位权值为8、4、2、1；2421码位权值则为2、4、2、1。它们均可按位权展开式求得所代表十进制数。,8421码是最为惯用，应予切记,35/133,无权码,无权码每位无确定位权值，不能使用位权展开式，但各有其特点和用途。,比如格雷码（又叫循环码、反射码），其相邻两个编码只有一位码状态不一样，在后面将会用到它这一特点来进行逻辑函数图形法化简。,36/133,常,用,BCD,码表,37/133,奇偶校验码,功效：能检验二进制信息在传送过程中出现错误,组成：信息位（需要传送信息）和奇偶校验位。,特点：代码中1个数按预先要求为奇数或偶数,1总个数为奇数时称为奇校验，,1总个数为偶数时称为偶校验。,一旦某一代码在传送过程中出现1个数不是奇（偶）数个时，就会被发觉。,38/133,十进制数码奇偶校验码表,39/133,7,位字符编码表,(ASCII,码),40/133,.2 逻辑代数基础,1.逻辑变量:,二值(”0”1”)变量称为逻辑变量。,0和1不表示数量大小，只表示完全对立两种逻辑状态。,通常，1表示条件具备或结果发生；0表示条件不具备或结果不发生。,比如:开关通和断、灯泡亮和暗、信号有和无、电平高和低、晶体管导通和截止等相互对立逻辑关系.在逻辑代数中用仅有两个取值（0和1）变量来表示.,逻辑变量能够分为两类：逻辑自变量（简称逻辑变量）和逻辑因变量（即逻辑函数）。,41/133,逻辑代数基础,2.逻辑函数,假如逻辑自变量,A、B、C,、取值确定以后，逻辑因变量Z值也被惟一地确定了，则称,Z,是,A、B、C,、逻辑函数，记作,Z=F,(,A,B,C,),42/133,3.基本逻辑关系（运算）,及表示方法,逻辑关系是指逻辑变量因果关系。,最基本逻辑关系有“与”、“或”、“非”3种，对应也有3种最基本逻辑运算：与运算、或运算和非运算。,逻辑关系能够用图形符号、逻辑表示式和真值表来表示,43/133,与逻辑关系、与运算,当决定一件事情各个条件全部具备时，这件事才会发生，这么因果关系叫做与逻辑关系，简称与逻辑.,图2.2.1（a）电路中，只有当开关A与B全闭合时灯Z才会亮，所以说灯Z与 A、B是与逻辑关系。,图 2.2.1（b）是我国新国家标准所要求（下同）与逻辑图形符号。,44/133,图 2.2.1 与逻辑,(a)电路举例；(b)图形符号,45/133,真值表:,列出逻辑自变量取值全部状态组合及逻辑因变量对应值,状态赋值:,表中，0表示开关断开（条件不具备）、灯灭（结果不发生）；1表示开关闭合（条件具备）、灯亮（结果发生）,表2.2.1与逻辑真值表,AB,Z,00,01,10,11,0,0,0,1,46/133,Z=A,B,与运算表示式,(,对应图,2.2.1,（,a,）电路),读作,Z,等于,A,与,B,或,Z,等于,A,乘,B,，,逻辑乘符号“”能够省略，,故上式也可写为,Z=AB,。,与逻辑运算规则与普通代数相同：,0,0=0 0,1=0 1,0=0 1,1=1,47/133,或逻辑关系、或运算,当在决定一件事情各个条件中，只要具备一个或者一个以上条件时，这件事情就会发生，这么因果关系称之为或逻辑关系，简称或逻辑。,图2.2.2（a）所表示电路中，灯Z亮与开关,A,、,B,闭合是或逻辑关系,图2.2.2（b）是或逻辑图形符号。,或逻辑关系对应逻辑运算为或运算。,对于图2.2.2（a）电路中逻辑变量Z、A、B，其逻辑运算表示式为,48/133,图 2.2.2 或逻辑,(a),电路举例；,(b),图形符号,或逻辑电路举例和图形符号,49/133,表2.2.2二变量A、B或逻辑真值表,50/133,Z,=,A,+,B,读作,Z,等于,A,或,B,，,也可读作,Z,等于,A,加,B,。,或逻辑关系对应逻辑运算为或运算。对于图2.2.2（a）电路中逻辑变量Z、A、B，其逻辑运算表示式为,或逻,辑运算表示式,51/133,或逻辑运算规则,00=0,01=1,10=1,1,1=1,52/133,非逻辑关系、非运算,非（反）逻辑关系就是结果否定所给逻辑条件，或者结果产生是条件逻辑反。,在图.2.3（a）所表示电路中，灯,Z,亮与开关,A,闭合是非逻辑关系，即开关,A,闭合，灯暗，开关,A,断开，灯亮。,图.2.3（b）是非逻辑图形符号。,53/133,图.2.3 非逻辑,(a),电路举例；,(b),图形符号,非逻辑电路举例和图形符号,54/133,表2.2.3 非逻辑真值表,55/133,非逻辑关系相对应逻辑运算为非运算。图.2.3（a）电路逻辑运算表示式为,读作,Z,等于,A,非（反）。,A,上面一横和图.2.3（b）中小圆圈都是表示逻辑非意思。,非逻辑运算规则为,非逻,辑运算表示式,56/133,其它5种基本逻辑关系,在上述3种最基本逻辑关系基础上，能够组合其它5种逻辑关系：与非、或非、与或非、异或和同或。图.2.4所表示为它们图形符号，其逻辑运算表示式为,57/133,图.2.4,()与非逻辑；(b)或非逻辑；,(c)与或非逻辑；(d)异或逻辑；,(e),同或逻辑,惯用5种逻辑关系图形符号,58/133,异或逻辑和同或逻辑,异或逻辑关系含义为：两个逻辑自变量状态相同时，结果不发生，而状态不一样时，结果才发生。,异或逻辑反为同或逻辑，即两变量相同时，输出为1，相异时，输出为0。表1.2.4是异或和同或逻辑真值表。,59/133,表2.2.4 异或逻辑Z,4,和同或逻辑Z,5,真值表,60/133,逻辑代数主要规则、基本公式和定理,1.逻辑代数3个主要规则,（1）对偶规则：,假如两个逻辑表示式相等，则它们对偶式也一定相等,。,对于任何一个逻辑表示式Z，假如把式中“”换成“”，“”换成“”，“1”换成“0”，“0”换成“1”,且保持原表示式运算优先次序，就能够得到一个新表示式,Z,，,Z,称为,Z,对偶式。比如,61/133,在利用对偶规则时，要尤其注意保持原表示式运算符号优先次序：先括号，后“与”，,再“或”运算。,必要时加上括号（比如,Z,1,对偶式,Z,1,）。,求对偶式,62/133,（2）反演规则：对于任意一个函数表示式 Z，假如将 Z中全部“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到表示式就是,Z,反函数。,利用反演规则能够很轻易地求出一个函数反函数。,比如：,63/133,利用反演规则时，要尤其注意两点：,运算符号优先次序与对偶规则相同。,不是一个变量上反号应保持不变。,（3）代入规则：,在任何逻辑等式中，假如等式两边均出现某一,变量，都代之以一个函数，则等式依然成立。,64/133,2.逻辑代数基本公式和定理,（,2,）,还原律,（,3,）,同一律,A,A=AA+A=A,（1）1-0律,65/133,（,4,）,交换律,A,B=B,AA+B=B+A,（,5,）,结合律,(,A,B,),C=A,(,B,C,)(,A+B,),+C=A+,(,B+C,),（,6,）,分配律,A,(,B+C,),=A,B+A,CA+B,C=,(,A+B,)(,A+C,),（,7,）,反演律,66/133,（,8,）,吸收律,(9),附加律,67/133,上述反演律（又叫德摩根定律）在进行逻辑函数表示式转换和求逻辑函数反函数时十分有用，应予灵活掌握。,经过反演律也能够证实反演规则,上列公式都能够用分别列出等式两边真值表来证实其正确性。,68/133,代入规则应用,能够扩大基本公式利用范围,将已知等式中某一变量用任意函数代替后，,就可得到新等式。比如，已知,用,Z=AC,代替等式中,A,，依据代入规则等式依然成立，则得到,69/133,交换律,结合律,分配律,异或运算相关公式,70/133,假如,，,则,因果交换律,异或运算相关公式,71/133,常量和变量异或运算,异或运算相关公式,72/133,2.2.3 逻辑函数表示方法及其转换,逻辑函数4种表示方法：,真值表,逻辑表示式（函数表示式）,逻辑图,卡诺图。,它们各有特点，而且能够相互转换。,73/133,1.真值表,真值表是以表格形式反应输入逻辑变量取值组合与函数值之间对应关系。,特点:直观、明了,在把一个实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表最为方便。,在进行数字电路逻辑设计时，首先是依据设计要求，,列出真值表。,74/133,【例2.2.1】一个电路有3个输入端，1个输出端，其功效是输出电平应与输入信号多数电平保持一致。列出该电路真值表。,解（1）设定输入、输出变量:,设输入变量为,A、B、C,，输出变量为,Z,;,进行逻辑变量状态赋值:,设高电平用,1,表示,低电平用,0,表示。,75/133,（2）列真值表,3个输入变量共有8种取值组合，在真值表中一一列出，再依据题意分析输出与输入信号逻辑关系，即可列出如例2.2.1真值表以下。,76/133,表2.2.5 例,2.2.1,真值表,77/133,列真值表时要注意问题,一定要把全部输入逻辑变量取值组合列全，,n,个输入变量共有2,n,次方个取值组合，在此基础上列出输出逻辑变量(即逻辑函数)全部对应值。,有时输出变量不只一个，它们和输入变量之间都是逻辑函数关系，亦应在真值表中一一列出。,有时为了简便，在真值表中只列出那些使函数值为1输入变量取值组合，而不列出使函数值为0和不会出现组合，这也是允许。,78/133,2.函数表示式,用与、或、非等逻辑运算表示逻辑函数中各个变量之间逻辑关系代数式，叫做函数表示式或逻辑表示式。,主要优点：,（1）书写简练、方便,便于利用逻辑代数公式和定理进行运算、变换。,（2）便于画出逻辑图(工程图)。只要用对应逻辑关系图形符号代表表示式中相关运算，即可得到逻辑图。,缺点:不如真值表直观，尤其是在逻辑函数比较复杂时，难以直接从变量取值看出函数值。,79/133,3.逻辑图,逻辑图就是用逻辑图形符号来表示逻辑函数与变量之间逻辑关系。,普通图形符号都有相应电路器件，,所以，,逻辑图也叫逻辑电路图，,它比较靠近工程实际。,4.卡诺图,卡诺图实际上是真值表另一个表示形式，我们将在下面逻辑函数化简部分中详细介绍。,80/133,5.真值表和函数表示式之间相互转换,1）由真值表求函数表示式,(1)最小项概念：对于,n,个变量，假如,P,是一个含有,n,个因子乘积项，在,P,中每一个变量都以原变量或反变量形式作为一个因子出现一次，且仅出现一次，则称,P,为,n,个变量一个最小项。,n,个变量共有2,n,个最小项。,81/133,例2.2.1所表示函数Z与变量逻辑关系真值表中，3个变量ABC有8种取值组合，即000、001、010、011、100、101、110、111；对应乘积项也有8个，即。这8个乘积项都有3个因子；每一个变量都以原变量或者反变量形式作为一个因子出现一次，且仅出现一次，,我们把这,8,个乘积项称为,3,个变量,A,、,B,、,C,最小项。,最小项性质：每一个最小项对应了一组变量取值，而任意一个最小项只有对应那一组变量取值组合使其值为,1,；任意两个最小项积恒为,0,；,全体最小项之和恒为,1,。,82/133,表2.2.6 三变量最小项真值表,83/133,对最小项进行编号主要是为了叙述和书写方便，编号方法是：把与最小项对应那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应十进制数就是该最小项编号。比如变量,A,、,B,、,C,最小项对应变量取值组合是 000，对应十进制数是“0”，所以其编号是“0”，记作,m,0,。表2.2.6中列出了三变量,A,、,B,、,C,每个最小项对应编号。,最小项编号,84/133,(2)由真值表求函数表示式,在真值表中，挑出那些使函数值为1变量取值组合所对应最小项相加，即得到函数标准与或式。比如,由表2.2.5写出函数标准与或式为,也可写成,85/133,2）由函数表示式求真值表,两种方法：,(1)把函数表示式中全部输入变量全部取值组合（,N,个变量有2,N,个状态取值组合）一一带入函数表示式中，分别计算对应函数值后列表（真值表）即可。,(2)把函数表示式化为标准与或式（最小项之和式），再由标准与或式求真值表。,86/133,【例2.2.2】求函数,Z,=,AB,+,BC,+,CA,真值表。,解:,显然，此例函数,Z,真值表即为表,2.2.5,所表示,。,先把函数表示式变换成标准与或式，再求真值表。,87/133,【例2.2.3】求函数真值表,。,解,其简化真值表为表,2.2.7,。,先把函数表示式变换成标准与或式，再求真值表,88/133,表2.2.7 例2.2.3真值表,89/133,6.函数表示式和逻辑图之间相互转换,1）由函数表示式画逻辑图,只要把函数表示式中逻辑运算用对应图形符号一一代替画出即可。比如，函数,逻辑图如图2.2.5所表示,。,90/133,图,2.2.5,L,逻辑图,91/133,图,2.2.6,S,i,、,C,i,逻辑图,2）由逻辑图求函数表示式,92/133,由图2.2.6可求出输出函数逻辑表示式为,方法:在逻辑图中，先逐层写出逻辑表示式，,最终写出输出逻辑函数式。,93/133,2.2.4 逻辑函数化简,一个逻辑函数真值表是惟一，但函数表示式能够有各种形式。,对逻辑函数进行化简，求得最简表示式，可使实现逻辑函数逻辑电路及问题分析简单化，在工程上能够节约元器件，提升电路可靠性。,逻辑函数化简有公式法和图形法两种。,94/133,2.2.4 逻辑函数化简,1.逻辑表示式类型和最简与或表示式,与或表示式 或与表示式、,与非与非表示式、或非或非表示式、,与或非表示式。比如，逻辑函数式,能够有5种表示式，其转换方法以下：,95/133,（1）原式是与或表示式。,（2）将原式两次求反，再用反演律，求得 是与非与非表示式。,（3）由与非与非表示式，用反演律和附加公式,求得 是与或非表示式。,（4）由与或非表示式，用反演律，求得 是或与表示式。,（5）将或与表示式两次求反，再用反演律,求得 是或非或非表示式。,96/133,最简与或表示式要求：乘积项个数最少；每个乘积项中变量个数也最少。,化简逻辑函数时普通是先求最简与或表示式。假如工程上需要用其它电路形式来实现，利用上述转换方法可求得所需逻辑函数表示式。,最简与或表示式,97/133,2.公式化简法,利用逻辑代数中公式和定理对函数进行化简。方法基础是熟记并灵活利用所学逻辑代数公式。惯用公式有:,98/133,【例 1.2.4】求函数,最简与或式,。,解,(,并项,),（吸收）,（消去）,（配冗余项）,（吸收）,（消去冗余项）,99/133,【例1.2.5】求函数最简与或 式。,解,（反演律）,（吸收）,（消去）,（吸收）,（反演律）,100/133,3.图形化简法,方法:借助卡诺图求逻辑函数最简与或表示式,逻辑变量卡诺图:把全部组成逻辑函数逻辑变量最小项用小方格形式表示出来即可得到逻辑变量卡诺图。,n,个变量卡诺图由2,n,次方个小方格组成，每个小方格对应着,n,个变量一个最小项。,变量卡诺图组成特点是把逻辑相邻最小项安排在几何位置相邻小方格中。,101/133,3.图形化简法,两个最小项中除一个变量不一样外，其它变量都相同，这两个最小项叫做逻辑上含有相邻性。比如，,m,7,和,m,5,是逻辑相邻。,卡诺图中最小项编号能够在小方格右下角标出，也能够不一一列出，而是在图形左上角标注变量，在左边和上边标注其对应变量取值，这么每个小方格所代表最小项编号，就是其左边和上边变量取值组合对应最小项编号。,102/133,图2.2.7 变量卡诺图,(a),三变量卡诺图；（,b,）四变量卡诺图；（,c,）五变量卡诺图,3、4、5变量卡诺图,103/133,图形化简法,几何相邻包含 3种情况：相接紧挨着；相对任意一行或一列两头；相重对折起来位置重合。,为了使几何相邻最小项含有逻辑相邻性，变量取值次序要按照格雷码排列。比如图2.2.7（b）中，AB和 CD都是按照 00、01、11、10次序排列。,逻辑相邻两个最小项相加时，能够消去互补那一个变量而留下公因子项。比如图2.2.7（a）中，,m,5,+,m,7,=,AC,。,104/133,2）逻辑函数卡诺图,在变量卡诺图中，在对应逻辑函数值为1变量取值组合对应小方格填上1，函数值为0填上0，就可得到逻辑函数卡诺图。,假如给出是逻辑函数真值表，只要一一对应填入函数值即可。比如对应表2.2.5所表示真值表，画出函数,Z,卡诺图如图2.2.8所表示。,105/133,图 2.2.8,Z,卡诺图,逻辑函数卡诺图,106/133,假如给出是逻辑函数标准与或式最小项表示式，只要在变量卡诺图上找到函数表示式所包含全部最小项对应小方格，并填上1，其余小方格填0，即可得函数卡诺图。,比如，,函数表示式为,即,只要在四变量卡诺图中最小项,m,5,、,m,6,、,m,10,、,m,11,、,m,14,、,m,15,对应小方格中填1，其余填0，即可得Y卡诺图如图2.2.9所表示。,107/133,图,2.2.9,Y,卡诺图,108/133,假如给出是普通逻辑函数表示式，可先将函数变换成与或表示式，然后再变换为标准与或式，即可依据上述方法画出逻辑函数卡诺图。,也可由逻辑函数普通与或表示式直接画出卡诺图，即在变量卡诺图中，把与或表示式中每一个乘积项所包含那些最小项（该乘积项就是这些最小项公因子）处都填上,1,，,其余填上,0,，,即可得函数卡诺图。,图形化简法,109/133,【例2.2.6】画出函数卡诺图。,解,式中,:,110/133,图,2.2.10,【例2.2.6】,Z,卡诺图,【例2.2.6】卡诺图,111/133,3）用卡诺图化简逻辑函数步骤,(1)画出逻辑函数卡诺图。,(2)画合并圈。将包含2,i,（,i,=0，1，2，3，）个相邻为1小方格圈起来，目标在于合并最小项，消去一些变量。,(3)合并最小项，写出最简与或表示式。,对卡诺图中所画每一个合并圈，都能够写出一个对应与项，将这些与项相加即得函数最简与或式。,112/133,画合并圈时应注意问题,：,(1)圈内1格个数必须是2,i,（,i,0，1，2，3，），即为1，2，4，8，。因为2,i,个最小项相加，提出公因子后，剩下2,i,个乘积项，恰好是要被消去,i,个变量全部最小项，依据最小项性质，它们和恒等于1，所以可被消去，如图2.2.11图2.2.13所表示。2个1格合并可消去一个变量，4个1格合并可消去两个变量，8个1格合并可消去三个变量。,113/133,图,2.2.11 2,个,1,格合并消去一个变量,114/133,图,2.2.12 4,个,1,格合并消去两个变量,115/133,图,2.2.13 8,个,1,格合并消去三个变量,116/133,(2)1格都不能漏圈，不然，最终化简出表示式与所给函数不相等。,(3)在不违反（1）、（2）标准下，合并圈应尽可能大，圈个数尽可能少。圈大，消去变量多，与项中变量数就少；圈个数少，与项个数也少，这么才有利于达到最简。,图,2.2.14,和图,2.2.15,给出了两个例子。,画合并圈时应注意问题,：,117/133,图,2.2.14,圈面积尽可能大,（b）正确,118/133,图2,.2.15,圈个数尽可能少,（b）正确,119/133,(4)允许1格重复圈，但每个圈最少应包含1个新1格。能够重复圈依据是同一律,A,A,=,A,。不过，假如某个圈中全部1格都已被其它圈圈过，那么这个圈对应与项是多余项，,如图,2.2.16,所表示。,画合并圈时应注意问题,：,120/133,图,2.2.16,每个圈最少应包含一个新最小项,（b）正确,121/133,图形法化简逻辑函数时，因为合并最小项方式不一样，得到最简与或式也会不一样。,这种方法简单直观、轻易掌握。但假如逻辑变量个数大于5，就会因图形复杂而失去实用意义。,122/133,【例2.2.7】用图形法将以下逻辑函数化为最简与或式,：,(1),1,(A,B,C)=,m,(0,3,4,7);,(2)。,解,Z,1,、,Z,2,可直接由表示式画卡诺图，然后化简，如图2.2.17所表示，化简得,123/133,图,2.2.17,例,2.2.7,函数卡诺图,124/133,4）用卡诺图求反函数最简与或表示式,在函数,Z,卡诺图中，合并那些使函数值为0最小项，即可得到 最简与或式。,比如，用卡诺图求函数 反函数最简与或表示式，只需画出Z卡诺图，合并使函数值为0最小项,m,3,、,m,5,、,m,6,、,m,7,，即可得,125/133,4.含有约束逻辑函数化简,1）约束、约束项和约束条件,约束是指逻辑函数各个变量之间含有相互制约关系，由有约束变量所决定逻辑函数，叫做有约束逻辑函数。,约束项是指不会或不允许出现变量取值组合所对应最小项。,约束条件是由约束项加起来所组成函数表示式。,126/133,【例2.2.8】要求一个逻辑函数Z能够实现对用8421码ABCD表示一位十进制数判断奇、偶数。,解 该逻辑函数Z真值表如表2.2.8所表示，图1.2.18是其卡诺图。其中10101111六个状态不可能出现，所以,m,10,m,15,是约束项，在真值表和卡诺图中用,(,或,),表示。,含有约束逻辑函数化简,127/133,表2,.2.8,例2,.2.8,真值表,128/133,图2.2.18 Z卡诺图,（,a,）,约束项看成,0,画圈；,（,b,）约束项,m,11,、,m,13,、,m,15,看成,1,画圈,含有约束逻辑函数化简,129/133,约束条件可写为,d,（10，11，12，13，14，15）=0，也可表示成ABAC=0。,函数,Z,逻辑表示式可写成,Z（A，B,C，D）=,m,（1，3，5，7，9）,d,（10，11，12，13，,14,，,15,）,含有约束逻辑函数化简,130/133,因为约束项是不可能出现项，所以在合并最小项时，或者作0，或者作1，都能够。上例中，若将,m,11,、,m,13,、,m,15,看成“0”处理，如图2.2.18（a）所表示，化简后函数为,若将,m,11,、,m,13,、,m,15,看成“1”处理，如图2.2.18（b）所表示,化简后函数为,Z=D,。,显然，利用约束项化简逻辑函数，结果要简单,。,含有约束逻辑函数化简,131/133,习 题,1.9 逻辑函数,Z,1,Z,4,真值表如表1.1 所表示，试分别写出它们标准与或式，,并画出逻辑图。,表,1.1,题,1.9,表,132/133,2.11,写出题,2.11,图所表示逻辑函数,L,1,、,L,2,、,L,3,、,L,4,逻辑表示式。,题,1.11,图,133/133,
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