北师大版七年级数学下册三角形难题全解.doc

来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）
考点：三角形

如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．

求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．

【答案】
见解析
【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF；
（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，
由（1）知：∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，
∴AE⊥BF．
（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；
（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF

来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）
考点：四边形

如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.

（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；
（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.

【答案】
（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．
【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质
（1）根据旋转的概念得出；
（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．
（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．
（2）BE=DF，BE⊥DF；
延长BE交DF于G；

由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；
又∠AEB=∠DEG；
∴∠DGB=∠DAB=90°；
∴BE⊥DF．

来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）
如图，在△abc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.
1.求的度数；
2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.

【答案】
1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）
∵∠BAD=∠EBC，
∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，
∴∠BFD=∠ABC=30°；
2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）
∵EH⊥BE，
∴∠HEB=90°，
∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．
【解析】
1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，
2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．
三角形强化训练和深化 ☣
1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°．

 解析：
由题意可知折叠前，由BC//AD得：
∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，
∠GEF=∠DEF=25°
所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°
又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°
则由：∠DGF+∠GFC=180°
所以：∠GFC=180°－50°＝130°
将纸带再沿BF第二次折叠成图C后
∠GFC角度值保持不变
且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE
所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=105
2、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．
解法1： 
【解析】证明：∵∠BAC=900
AD⊥BC
∴∠1=∠B
∵CE是角平分线
∴∠2＝∠3
∵∠5＝∠1+∠2
∠4＝∠3+∠B
∴∠4＝∠5
∴AE＝AF
过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N
∴MN//AB
∵FG//BD
∴四边形GBDF为平行四边形
∴GB=FN
∵AD⊥BC,CE为角平分线
∴FD=FM
在Rt△AMF和RtNDF中

∴△AMF≌△NDF
∴AF＝FN
∴AE＝BG
解法2：
解：作EH⊥BC于H，如图，
∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EG=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
∵在△AFG和△EHB中，

∠GAF=∠BEH
∠AGF=∠B
AF=EH

，∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．

3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．
解：作CF⊥AB于F，交AD于G，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CEB中

∠1=∠2
AC=CB
∠ACG=∠CBE

，∴△AGC≌△CEB（ASA），
∴CG=BE，
∵AD为腰CB上的中线，
∴CD=BD，
在△CGD和△BED中

CG=BE
∠GCD=∠B
CD=BD

，∴△CGD≌△BED（SAS），
∴∠CDA=∠EDB．
4、如图，已知AD和BC相交于点O，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形
证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，
∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．
∵四边形ODEB是平行四边形，
∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．
∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
∴△ABE≌△EDC．
∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．
∵BE∥AD，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠EAD=∠ECD．
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠ADC=60°．
∴△ACE为等边三角形．
5.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+BO=8. 求AD+BC的值.

6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC, D是△ABC内一点， 且
求证：BD=BA。
解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED；
又∵AE=ED，BE=BE，
∴△BEA≌△BED（SAS），
∴BA=BD．
7.已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC
求证：
延长CA至F，使得AF=CA
则三角形DAF与三角形BAC全等，
DF=BC,且<C=<F
又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以<DEF=<DEA=<F=<C
8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。求的周长。
过D做AC和AB的垂线交与H G
找到一个 I 点，使∠EDI = 60度
可以证明。
过D做AC和AB的垂线交与H G
找到一个 I 点，使∠EDI = 60度
那么 三角形HDF和GDI全等。
证明：
∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）
∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG
∠HDF = ∠GDI
DH=GD
∠DHF = ∠DGI = 90度
由此可知FD=ID
那么 三角形FDE和IDE全等。
证明：
因为 FD=ID
ED=ED
∠FDE = ∠IDE = 60°
由此可知 FE=IE （蓝色线）
那么 三角形AFD和BID全等。
证明：
∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）
∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI
所以 ∠BDI = ∠FDA
因为FD=ID，AD=BD
那么，AE = BI (红色线)
最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。
为固定值。

初一下册数学难题（全内容）
1、解方程：，则= 60°
2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg，问10%和5%的盐水各需多少kg？
设需10%的盐水X千克，则需要5%的盐水（10-X）千克
X*10%+（10-X）*5%=10*8%
5%X=0.3
X=6
10-6=4（千克）
所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克
3、已知的解为正数，则k的取值范围是
4、（2）若的解为x＞3，则a的取值范围
（3）若的解是-1＜x＜1，则（a+1）（b-2）=
（4）若2x＜a的解集为x＜2，则a=
（5）若有解，则m的取值范围
5、已知，x＞y，则m的取值范围 ；
6、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？

7、已知，则x= ，y= ；
8、已知（），则 ， ；
9、当m= 时，方程中x、y的值相等，此时x、y的值= 。
10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
11、的解是的解，求。
12、若方程的解是负数，则m的取值范围是 。
13、船从A点出发，向北偏西60°行进了200km到B点，再从B点向南偏东20°方向走500km到C点，则∠ABC= 。
14、的解x和y的和为0，则a= 。
15、a、b互为相反数且均不为0，c、d互为倒数，则 。
a、b互为相反数且均不为0，则 。
a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则 。
16、若，则m 0。（填“＞” 、“＜”或“=” ）
17、计算： ； 。
18、若与互为相反数，则 。
19、倒数等于它本身的数是： ；相反数等于它本身的数是： 。
20、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？

21、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.

图1 图2 图3
(1)试说明: BD=DE+CE.
∵∠ABD+∠BAD=90°, ∠CAE+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE
在Rt△ABD和Rt△CAE中，∠ABD=∠CAE, ∠ADB=∠CEA=90°, AB=CA, ∴△ABD≌△CAE,
∴BD=AE, AD=CE, ∵DE+AD=AE, ∴DE+CE=AE=BD
(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 不需说明.
DE=BD+CE(AAS)
(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何?
DE=BD+CE(AAS)
22、 如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰Rt△EOF中,∠EOF=900, 连结AE、BF. 求证:
(1) AE=BF; (2) AE⊥BF.
证明：
（1）
∵∠AOE+∠EOB=∠AOB=90º
∠BOF+∠EOB=∠EOF=90º
∴∠AOE=∠BOF
又∵AO=BO，EO=FO
∴⊿AOE≌⊿BOF（SAS）
∴AE=BF
（2）
∵⊿AOE≌⊿BOF
∴∠OAE=∠OBF
延长AE交BF于G
∵∠ABO+∠BAE+∠OAE=90º
∴∠ABO+∠BAE+∠OBF=90º
∴∠AGB=90º
即AE⊥BF
23、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=AB，
已知△ABE≌△ADF. （1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（3分）

（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论。（10分）
BE=DF且垂直于DF
过程如下：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
∵ E是AD的中点
∴AE=1/2AD
又 ∵AF=1/2AB
∴AE=AF
∵∠DAB=90°
∴∠DAF=90°
∴△DFA≌△BEA（边角边)
∵∠FDA+∠F=90°，∠EBA=∠FDA
∴∠F+∠EBA=90°
∴∠FPB=90°（P是延长后交DF的点)
∴BE⊥DF
24、上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（9分）
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. （5分）