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选修2-2 2. 3 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3
D．1＋＋＋＜3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
[答案] B
[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
＝
－＝＋－
＝－.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
[答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )
A．n＝1时命题成立
B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立
D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
[答案] D
[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，
当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)
由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0
⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30
B．26
C．36
D．6
[答案] C
[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝an (n≥2)．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝
a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝
猜想an＝，故选B.
10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
12．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.
[答案]
[解析] 解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案] 5
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.
(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．
(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．
(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．
[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；
(k－1)[3(k－1)＋1]
(2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2
(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析] 由数学归纳法的法则易知．
三、解答题
15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
16．求证：＋＋＋…＋>(n≥2)．
[证明] ①当n＝2时，左＝>0＝右，
∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．
即＋＋…＋>成立．
那么n＝k＋1时，＋＋…＋
＋＋…＋
>＋＋…＋>＋＋＋…＋
＝＋＝，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
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