重庆市南开中学20152016学年八年级(上)期中数学试卷(解析版).doc

2015-2016学年重庆市南开中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷上对应的表格中．
1．实数，π﹣2，2.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．8，15，17 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25

3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2

5．已知点A（a+1，1），点B（3，﹣1），且A、B关于x轴对称，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2

6．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5﹣x与y=2x﹣1的交点坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）

7．已知直线l平行于直线y=﹣2x，且过点（4，5），则l的解析式为（　　）
A．y=2x+13 B．y=2x﹣13 C．y=﹣2x+13 D．y=﹣2x﹣13

8．如图为一次函数y=kx+b的图象，则一次函数y=bx+k的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，D点在AB上且AD=AB，那么CD的长是（　　）

A．2 B． C．4 D．2

10．若直线y=k1x+1与y=k2x﹣4的交点在x轴上，那么等于（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．

11．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h与时间t的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

12．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（　　）

A．886 B．903 C．946 D．990

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请把正确答案直接填在答题卷上相应的横线上．
13．比较大小：　　　　　　3．（填“＞”、“＜”或“=”）

14．函数y=中，自变量x的取值范围为　　　　　　．

15．已知2y﹣3x=4，则y可用含x的式子表示为y=　　　　　　．

16．图中的甲、乙、丙三个天平，其中甲、乙天平已保持左右平衡，现要使丙天平也平衡，则在天平右盘中放入的砝码应是　　　　　　克．

17．如图，在平面直角坐标系中点A（﹣3，1），点B（1，2），一束光线从点A处沿直线射出经x轴反射后，正好经过点B，则光线从A到B所经过路程为　　　　　　．

18．如图，Rt△AOC在平面直角坐标系中，OC在y轴上．OC=2，OA=5．将△AOC沿OB翻折使点A恰好落在y轴上的点A′的位置，则AB=　　　　　　．

19．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（10，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，点E的坐标为　　　　　　．

20．我校初二年级数学兴趣社的一位同学放假期间对小区某停车库进行了调查研究，发现该车库有四个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%．在每个出入口的车辆数均是匀速变化的情况下，如果开放1个进口和3个出口，6个小时车库恰好停满；如果开放2个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．开学后，由于小区人数增多，早晨7点时的车位空置率变为70%．又因为车库改造，只能开放1个进口和2个出口，则从早晨7点开始经过　　　　　　小时车库恰好停满．

三、计算题：（本大题共2个小题，21题8分，22题12分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程．
21．计算：
（1）|﹣2|×（3﹣π）0+（﹣1）2015×
（2）．

22．解方程组：
（1）
（2）
（3）．

四、解答题：（本大题共5个小题，23题8分，24题10分，25题10分，26题10分，27题12分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
23．王教授在本市车展期间购置了一辆涡轮增压轿车，该车在市效路段和高速路段的每公里耗油量有所不同．第1次王教授开了10公里市郊路和40公里高速路，耗油4.2升；第2次王教授开了20公里市郊路和60公里高速路，耗油6.8升．
（1）请分别求出该车在市郊路段和高速路段上的每公里耗油量；
（2）周六时，王教授准备从家出发到景区游玩，其间共有80公里市路，120公里高速路，现车内余油20升．问王教授能否不加油从家直接开到景区？请说明理由．

24．如图，直线y1=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y2过原点O且与直线
y1=﹣x+2交于点．
（1）求点A和点B坐标；
（2）求出直线y2的解析式；
（3）根据图象可知：当x　　　　　　时，y1＞y2，y1=﹣x+2．

25．某知名品牌在甲、乙两地的新店同时开张，乙店经营不久为了差异营销而进行了品牌升级，因此停业了一段时间，随后继续营业，第40天结束时两店销售总收入为2100百元．甲、乙两店自开张后各自的销售收入y（百元）随时间x（天）的变化情况如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）乙店停业了　　　　　　天；
（2）求出图中a的值；
（3）求出在第几天结束时两店收入相差150百元？

26．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD=90°且AB=AD，CD⊥BC，∠ACB=45°，AC=BC．
（1）求证：△DCA≌△OCB；
（2）若AC=4，求出四边形ABCD的面积．

27．如图，平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=，与x轴、y轴分别交于点B、D．直线AC与x轴、y轴分别交于点C、E，．
（1）若OG⊥CE于G，求OG的长度；
（2）求四边形ABOE的面积；
（3）已知点F（5，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O、Q、P为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年重庆市南开中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷上对应的表格中．
1．实数，π﹣2，2.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，π﹣2，2.1010010001…是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．8，15，17 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：82+152=172，A能作为直角三角形三边长；
52+122=132，B能作为直角三角形三边长；
22+32≠42，C不能作为直角三角形三边长；
72+242=252，D能作为直角三角形三边长；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】数形结合．
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
【解答】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴该点在第四象限．
故选D．
【点评】考查平面直角坐标系的知识；用到的知识点为：横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限．

4．若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】二元一次方程的解．
【分析】根据方程的解的定义，把代入方程kx+3y=5，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．
【解答】解：把代入方程kx+3y=5，得
2k+3=5，
∴k=1．
故选A．
【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．

5．已知点A（a+1，1），点B（3，﹣1），且A、B关于x轴对称，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点可得a+1=3，即可求出a的值．
【解答】解：
∵A、B关于x轴对称，
∴a+1=3，
解得a=2，
故选D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，熟记横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．

6．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5﹣x与y=2x﹣1的交点坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴一次函数y=5﹣x与y=2x﹣1的交点坐标为（2，3），
故选A．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

7．已知直线l平行于直线y=﹣2x，且过点（4，5），则l的解析式为（　　）
A．y=2x+13 B．y=2x﹣13 C．y=﹣2x+13 D．y=﹣2x﹣13
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】首先设它的函数解析式为y=kx+b，根据两函数图象平行k值相等可得k=﹣2，再把（4，5）代入函数解析式可得答案．
【解答】解：设它的函数解析式为y=kx+b，
∵平行于直线y=﹣2x，
∴k=﹣2，
∴y=﹣2x+b，
∵图象过点（4，5），
∴5=﹣8+b，
b=13，
∴函数解析式为y=﹣2x+13．
故选：C．
【点评】此题主要考查了两函数图象平行问题，关键是掌握两函数图象平行k值相等．

8．如图为一次函数y=kx+b的图象，则一次函数y=bx+k的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】根据一次函数y=kx+b的图象可知k＜0，b＞0，然后根据一次函数是性质即可判断．
【解答】解：由一次函数y=kx+b的图象可知k＜0，b＞0，
所以一次函数y=bx+k的图象应该见过一、三、四象限，
故选B．
【点评】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，D点在AB上且AD=AB，那么CD的长是（　　）

A．2 B． C．4 D．2
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】过D作DE∥BC，交AC于E．在Rt△ABC中，根据含30度角的直角三角形的性质得出AB=2BC=6，AC=BC=3，那么AD=AB=2．在Rt△ADE中，根据含30度角的直角三角形的性质得出DE=AD=1，AE=DE=，那么EC=AC﹣AE=3﹣=2，然后利用勾股定理得出CD==．
【解答】解：过D作DE∥BC，交AC于E．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，
∴AB=2BC=6，AC=BC=3，
∴AD=AB=2．
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠A=30°，BC=3，AD=2，
∴DE=AD=1，AE=DE=，
∴EC=AC﹣AE=3﹣=2，
∴CD===．
故选B．

【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线是解题的关键．

10．若直线y=k1x+1与y=k2x﹣4的交点在x轴上，那么等于（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】分别求出两直线与x轴的交点的横坐标，然后列出方程整理即可得解．
【解答】解：令y=0，则k1x+1=0，
解得x=﹣，
k2x﹣4=0，
解得x=，
∵两直线交点在x轴上，
∴﹣=，
∴=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，分别表示出两直线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．

11．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h与时间t的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据蚂蚁的爬行路线：AB段时爬行高度随时间的增加而增加，爬行BC段时爬行高度不变，爬行DE段时爬行高度随时间的增加而增加，可得答案．
【解答】解：当蚂蚁在AB段上爬行时，爬行高度随时间的增加而增加；当蚂蚁在BC段上爬行时，蚂蚁的爬行高度不变；当蚂蚁在DE段爬行时，爬行高度随时间的增加而增加，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论是解题关键，注意蚂蚁爬行的高度h随时间t变化是分段函数．

12．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（　　）

A．886 B．903 C．946 D．990
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型．
【分析】解决本题的关键就是要对平面直角坐标系的点按照横坐标分行，找到行与点个数的关系，利用不等式的夹逼原则，求出2015点的横坐标．
【解答】解：∵一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，
第1行：x=0 2个点 （共2个点）
第2行：x=1 3个点 x=2 1个点 （共4个点）
第3行：x=3 4个点 x=4 1个点 x=5 1个点 （共6个点）
第4行：x=6 5个点 x=7 1个点 x=8 1个点 x=9 1个点 （共8个点）
第5行：x=10 6个点 x=11 1个点 x=12 1个点 x=13 1个点 x=14 1个点 （共10个点）
第6行：x=15 7个点 x=16 1个点 x=17 1个点 x=18 1个点 x=19 1个点 x=20 1个点 （共12个点）
…
第n行：x= n+1个点 （共2n个点）
2+4+6+8+10+…+2n≤2015
（2+2n）×n÷2≤2015且n为正整数
得n=44，
∵当n=44时：2+4+6+8+10+…+88=1980
且当n=45时：2+4+6+8+10+…+90=2070
1980＜2015＜2027
∴2015在55行，
第45行：x==990 46个点
1980＜2015＜1980+46
∴第2015个粒子横坐标为990
故选：D．
【点评】题目考查了数字的变化规律，题目整体较难，对于此类问题一方面要理清已知量的关系，另一方面为了简便计算，可以适当掌握一些数列计算公式．例如等差数列的通项公式：an=a1+（n﹣1）d、等差数列求和公式：s=等．

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请把正确答案直接填在答题卷上相应的横线上．
13．比较大小：　＞　3．（填“＞”、“＜”或“=”）
【考点】实数大小比较．
【分析】将2和3化为二次根式，然后比较被开方数即可比较大小
【解答】解：∵2=，3=，而
∴2，
故答案为“＞”．
【点评】题主要考查了比较两个实数的大小，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．

14．函数y=中，自变量x的取值范围为　x≠5　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式的分母不为0回答即可．
【解答】解：由分式分母不为0可知；x﹣5≠0．
解得：x≠5．
故答案为：x≠5．
【点评】本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．

15．已知2y﹣3x=4，则y可用含x的式子表示为y=　　．
【考点】解二元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程2y﹣3x=4，
解得：y=，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．

16．图中的甲、乙、丙三个天平，其中甲、乙天平已保持左右平衡，现要使丙天平也平衡，则在天平右盘中放入的砝码应是　18　克．

【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设的质量为x千克，的质量为y克，根据题意列出方程组，进一步求得答案即可．
【解答】解：设的质量为x千克，的质量为y克，由题意得
，
解得：x+y=18，
所以要使丙天平也平衡，则在天平右盘中放入的砝码应是18克．
故答案为：18．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，理解图意，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

17．如图，在平面直角坐标系中点A（﹣3，1），点B（1，2），一束光线从点A处沿直线射出经x轴反射后，正好经过点B，则光线从A到B所经过路程为　5　．

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【专题】跨学科．
【分析】利用入射角等于反射角的原理可以△ADC∽△BEC，相似三角形的知识及勾股定理可以求出AC，BC的长，相加即可．
【解答】解：由题意得：∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠BCE，

∴△ADC∽△BEC，
∴DC：AD=CE：EB，
DC：1=（4﹣DC）：2
解得DC=，
∴CE=，
∴AC=，BC=，
∴AC+BC=5，
故答案为5
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形变换，点的反射问题；利用相似三角形的性质得到相关结论是解决本题的关键．

18．如图，Rt△AOC在平面直角坐标系中，OC在y轴上．OC=2，OA=5．将△AOC沿OB翻折使点A恰好落在y轴上的点A′的位置，则AB=　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【分析】由折叠的性质得：A′B=AB，OA′=OA=5，则A′C=3，由勾股定理求得AC设A′B=AB=x，则BC=﹣x，在Rt△A′BC中，由勾股定理可求得结论．
【解答】解：由折叠的性质得：A′B=AB，OA′=OA=5，
∴A′C=3，
∵AC===，
设A′B=AB=x，
则BC=﹣x，
在Rt△A′BC中，
，
解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了折叠问题，勾股定理得性质，能综合应用勾股定理和方程解决问题是解决此问题的关键．

19．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（10，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，点E的坐标为　（2.5，3）或（4，3）或（1，3）或（9，3）　．
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】先根据等腰三角形的判定画出符合条件的点，根据已知点的坐标和勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示：，
符合的有四个点：E1（OE=AE），E2（OE=OA），E3和E4（OA=AE），
∵A（5，0）、B（0，3）、C（10，3），
∴E1（2.5，3），E2（4，3），E3（1，3），E4（9，3），
故答案为：（2.5，3）或（4，3）或（1，3）或（9，3）．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，点的坐标与图形的应用，能求出符合的所有的情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．

20．我校初二年级数学兴趣社的一位同学放假期间对小区某停车库进行了调查研究，发现该车库有四个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%．在每个出入口的车辆数均是匀速变化的情况下，如果开放1个进口和3个出口，6个小时车库恰好停满；如果开放2个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．开学后，由于小区人数增多，早晨7点时的车位空置率变为70%．又因为车库改造，只能开放1个进口和2个出口，则从早晨7点开始经过　4.2　小时车库恰好停满．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据“如果开放1个进口和3个出口，6个小时车库恰好停满；如果开放2个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x、y，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得

解得：，
则70%a÷（a﹣a×2）=4.2小时
答：从早晨7点开始经过4.2小时车库恰好停满．
故答案为：4.2．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

三、计算题：（本大题共2个小题，21题8分，22题12分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程．
21．计算：
（1）|﹣2|×（3﹣π）0+（﹣1）2015×
（2）．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义及零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义及算术平方根定义计算，最后一项利用立方根定义及负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=2×1﹣1×2﹣3×3=2﹣2﹣9=﹣9；
（2）原式=+2﹣=16+4﹣4=20﹣4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．解方程组：
（1）
（2）
（3）．
【考点】解二元一次方程组；解三元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①×3﹣②得：11y=22，即y=2，
把y=2代入①得：x=1，
则方程组的解为；
（2），
②×2﹣①得：11y=33，即y=3，
把y=3代入①得：x=，
则方程组的解为；
（3），
②+③×3得：9x+7y=19④，
①×9﹣④得：2y=﹣10，即y=﹣5，
把y=﹣5代入①得：x=6，
把x=6，y=﹣5代入③得：z=﹣7，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、解答题：（本大题共5个小题，23题8分，24题10分，25题10分，26题10分，27题12分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
23．王教授在本市车展期间购置了一辆涡轮增压轿车，该车在市效路段和高速路段的每公里耗油量有所不同．第1次王教授开了10公里市郊路和40公里高速路，耗油4.2升；第2次王教授开了20公里市郊路和60公里高速路，耗油6.8升．
（1）请分别求出该车在市郊路段和高速路段上的每公里耗油量；
（2）周六时，王教授准备从家出发到景区游玩，其间共有80公里市路，120公里高速路，现车内余油20升．问王教授能否不加油从家直接开到景区？请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设市郊路段上的每公里耗油量为x公里/升，高速路段上的每公里耗油量为y公里/升，根据“第1次王教授开了10公里市郊路和40公里高速路，耗油4.2升；第2次王教授开了20公里市郊路和60公里高速路，耗油6.8升．”列出方程组解答即可；
（2）利用（1）只能够的数据计算出结果，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：设市郊路段上的每公里耗油量为x升/公里，高速路段上的每公里耗油量为y升/公里，由题意得
，
解得：
答：市郊路段上的每公里耗油量为0.1升/公里，高速路段上的每公里耗油量为0.08升/公里．
（2）0.1×80+0.08×120
=8+9.6
=17.6升
17.6升＜20升
所以王教授能不加油从家直接开到景区．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

24．如图，直线y1=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y2过原点O且与直线
y1=﹣x+2交于点．
（1）求点A和点B坐标；
（2）求出直线y2的解析式；
（3）根据图象可知：当x　＜　时，y1＞y2，y1=﹣x+2．

【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）由直线y1=﹣x+2，令y=0，则﹣x+2=0，解得x=4，令x=0，则y=2，从而求得A、B的坐标；
（2）把点代入y1=﹣x+2求得a的值，然后根据待定系数法即可求得；
（3）根据图象，结合解得坐标即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y1=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴令y=0，则﹣x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
∴A（4，0），B（0，2）；
（2）∵直线y1=﹣x+2与直线y2交于点．
∴a=﹣×+2=，
∴C（，），
设直线y2过的解析式为y2=kx，
∴k=，
∴k=1，
∴直线y2的解析式为y2=x；
（3）根据图象可知：当x＜时，y1＞y2．
故答案为＜．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，符合这两条直线相对应的一次函数表达式．

25．某知名品牌在甲、乙两地的新店同时开张，乙店经营不久为了差异营销而进行了品牌升级，因此停业了一段时间，随后继续营业，第40天结束时两店销售总收入为2100百元．甲、乙两店自开张后各自的销售收入y（百元）随时间x（天）的变化情况如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）乙店停业了　10　天；
（2）求出图中a的值；
（3）求出在第几天结束时两店收入相差150百元？

【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）乙店自20天到30天各销售收入没有变化，由此确定乙店停业的天数；
（2）设甲店销售收入y（元）与天数x（天）之间的函数关系式为：y=kx（k≠0），把点（60，1800）代入y=kx+b，求得解析式，然后代入x=40，求得甲店40天的销售收入，从而求得乙店40天的销售收入，然后根据待定系数法求得乙店停业以后的销售收入y（百元）随时间x（天）的函数解析式，把y=540代入即可求得a的值；
（3）先求得停业前，乙店的销售收入y（百元）随时间x（天）的变化的函数解析式为y=15x，然后分三种情况列出方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）由图象可知：乙店停业了30﹣20=10天，
故答案为10；
（2）设甲店销售收入y（元）与天数x（天）之间的函数关系式为：y=kx（k≠0），
把点（60，1800）代入y=kx得：1800=60k，
解得：k=30，
∴y=30x，
把x=40代入得y=40×30=1200，
∴乙店第40天结束时销售收入为2100﹣1200=900百元，
设乙店停业后销售收入y（元）与天数x（天）之间的函数关系式为：y=mx+n（m≠0），
把点（30，300）和（40，900）代入y=mx+n得：
解得：．
∴y=60x﹣1500，
把y=540代入得，540=60x﹣1500，解得x=34，
∴a=34；
（3）由图象可知停业前，乙店的销售收入y（百元）随时间x（天）的变化的函数解析式为y=15x，
根据题意：①30x=15x+150，
解得x=10；
②30x+150=60x﹣1500，解得x=55，
③30x=60x﹣1500+150，解得x=45，
所以，当第10天、45天、55天结束时两店收入相差150百元．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键是得到甲店销售收入y（元）与天数x（天）之间的函数关系式，乙店的销售收入y与天数x的函数关系式，进行分类讨论．

26．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD=90°且AB=AD，CD⊥BC，∠ACB=45°，AC=BC．
（1）求证：△DCA≌△OCB；
（2）若AC=4，求出四边形ABCD的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由∠BAD=90°，CD⊥BC，得到A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DAO=∠CAO，∠ACD=∠ACB，即可得到结论；
（2）过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，由∠ECB=∠DCF=45°，于是得到BE=CE，DF=CF，根据余角的性质得到∠ABE=∠DAE，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF=BE，AE=DF，等量代换得到AE=CF，求得BE+DF=AF+CF=AC=4，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAD=90°，CD⊥BC，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAO=∠CAO，
∵AB=AD，
∴，
∴∠ACD=∠ACB，
在△DCA与△OCB中，
，
∴△DCA≌△OCB；

（2）解：过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，
∵∠ECB=∠DCF=45°，
∴BE=CE，DF=CF，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAE，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF=BE，AE=DF，
∴AE=CF，
∴BE+DF=AF+CF=AC=4，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AC，
∴S四边形ABCD=AC2=8．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，求图形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．

27．如图，平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=，与x轴、y轴分别交于点B、D．直线AC与x轴、y轴分别交于点C、E，．
（1）若OG⊥CE于G，求OG的长度；
（2）求四边形ABOE的面积；
（3）已知点F（5，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O、Q、P为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；一次函数及其应用．
【分析】（1）求出直线CE解析式，得到线段OE、OC、CE长度，利用面积法求出线段OG．
（2）利用分割法，将四边形分割成一个三角形和一个梯形，求出面积即可．
（3）通过观察可以发现Q点与点G重合，通过直线求出点P坐标即可．
【解答】解：（1）∵，
设OE=5x，OC=12x，
∴（5x）2+（12x）2=（）2，
解得x=，
∴OE=，OC=，
∵OG⊥CE于G，
××=××OG，
解得：OG==5．
∴OG的长度为5．

（2）∵=，
设直线CE解析式为：y=﹣x+b，
∵OE=，
∴直线CE解析式为：y=﹣x+，
联系方程组：，
解得：x=﹣，y=，
∴A（﹣，）．
如图，过点A做AH⊥x轴，

∵直线AB的解析式为y=，与x轴、y轴分别交于点B、D，
∴B（﹣，0），
∴S四边形ABOE=S△ABH+S梯形ABOE
=（﹣）×+（+）×
=．
答：四边形ABOE的面积为．

（3）存在．
当点Q在AC上时，OG=OF=5，
∵点Q即为点G，
∴△OPQ≌△OPG，
∵F（5，0），直线CE解析式为：y=﹣x+，
∴P（5，）．
【点评】题目考查了一次函数综合应用，同时题目对面积求解、全等三角形进行考查，题目运算较难，需要注意运算的正确性．

2016年4月2日
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