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初一数学上册知识点与测试题
第一章 基本的几何图形
1.1-2 我们身边的图形世界　几何图形
一、知识归纳
（一）几何图形
1、从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．
我们观察分析周围的物体时，如果只注意它们的形状、大小（如长度、面积、体积等）以及相对位置（如垂直、平行、相交等），而不考虑它们的颜色、材料和质量、用途等等，就从中抽象出了几何图形．
几何图形包括立体图形和平面图形．有些图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形；有些图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
像长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球等，它们都是立体图形；像线段、射线、直线、三角形、长方形、梯形、圆、扇形等等，它们都是平面图形．
2、

像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称为体．包围着体的是面．面有平的面和曲的面两种． 观察上面几何体的表面特点将它们分类： 圆柱、圆锥和球为一类，因为它们的面有的为曲面．棱柱和棱锥的面都是平的为一类，像这一类几何体也叫多面体.
（二）点、线、面、体
1、从图形运动的观点来看：点动成线、线动成面、面动成体．如天空中喷气式飞机喷烟拉线的过程给我们点动成线的印象；用一块木板的边缘平整沙地的过程给我们线动成面的印象；在桌面上旋转一枚硬币会看到一个小球体，这说明面动成体．
2、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．面和面相交的地方形成线．线和线相交的地方是点．
3、有些图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．

二、典型例题：
例1、（1）指出图中几何图形的名称．

（2）圆柱的侧面展开图是一个__________，圆锥的侧面展开图是一个__________．
（3）用一根长36cm长的铁丝，加工成一个正方体的框，则这个正方体的棱长是__________．
（4）一个长为10、宽为5的长方形，若绕它的长所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为__________；若绕它的宽边所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为__________．
例2、如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来．

例3、用平面截一个正方体，截面的形状有哪几种可能？
例4、把立方体六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花．各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：
颜色
红
黄
蓝
白
紫
绿
花的朵数
1
2
3
4
5
6
现将上述大小相同、颜色花朵分布完全一样的四个小立方体拼成一个水平放置的长方体．如图所示，问长方体的下底面共有多少朵花？

例5、下图（2）～（5）是图（1）的正方体切去一块，得到的几何体，

①它们各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？
②举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少．
③若面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f+v-e应满足什么关系？
例6、如下图，在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁，要从侧面爬一圈后，再回到A点，请你结合圆锥的侧面展开图，设计一条最短路线．

1.3 线段、射线和直线
一、知识归纳
1、线段
绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看作线段．线段有三个特征：①线段是直的，②线段有两个端点，有长短，③线段没有粗细．
线段用它的两个端点来表示．在几何中，通常用一个大写英文字母表示一个点，用 A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA，字母是无序的．线段还可以用一个小写英文字母表示，如线段 a．

2、射线
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线．射线只有一个端点，向一方无限延伸．
射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示，且端点在前，字母是有序的．射线AB与射线BA是不同的射线．也可以用一个小写字母来表示，如射线l等．

3、直线
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线．直线没有端点，向两方无限延伸．
线段和射线也可以看作是直线的一部分．线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分；射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．
直线用直线上任意两个点来表示，如 A、B是直线上任意两点，则这条直线可表示为直线AB或直线BA，字母是无序的．
直线还可以用一个小写字母来表示，如直线l．
4、经过两点有且只有一条直线．
这条性质包含两层含义：一是说经过两点有一条直线，肯定有，不是没有，即存在性；二是说经过两点只有一条直线，不会多，即惟一性．
这个性质可简单叙述为：两点确定一条直线，通常称为直线公理 .
如果两条直线经过同一点，称这两条直线相交，有惟一的公共点，这个公共点叫交点．
二、典型例题：
例1、（1）如图所示的两条直线交于P点，用两种方法表示这两条直线是__________．

（2）如图所示，在下列语句中，能正确表示出图形特点的有（　）

①直线l经过点A、B；
②点A和点B都在直线l上；
③直线l是A、B两点所确定的直线；
④l是一条直线，A、B是直线l上任意两点
A．1句　　　　B．2句　　　　C．3句　　　　　D．4句
　　（3）如图所表示的含义，下列说法正确的是（　）

A．延长射线AB　　　　　　　B．延长线段AB
C．反向延长线段BA　　　　　D．反向延长线段AB
（4）如图，直线上有A、B、C三点，下列说法正确的有（　）

①射线AB与射线BC是同一条射线；
②直线AB经过点C；
③射线AB与射线AC是同一条射线；
④直线AB与直线BC是同一条直线．
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
（5）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（　）

例2、如图中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条，分别是哪几条？

例3、已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线，可以画出几条？
例4、（1）如图，线段AB上有C，D两点，则图中共有线段（　）

　　　A．3条　　　　B．4条　　　　C．5条　　　　D．6条
　　（2）乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站(如图)，那么A、B两站之间需要安排多少种不同的车票．

1.4 线段的比较与做法
一、知识归纳
1、两点之间的所有连线中，线段最短．简单说成两点之间线段最短.
2、两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离．
线段的长度可用有刻度的直尺测量．
3、线段大小的比较方法
(1)叠合法．如比较线段AB、CD的大小，可将线段AB、CD移到同一条射线上，使它们的端点A、C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的三种大小关系．

(2)度量法．先用刻度尺量每条线段的长度，再按照长度比较它们的大小．线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．
表示方法：用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果．
若两线段为线段AB、线段CD，如上图，则分别有如下结论：AB<CD、AB=CD、AB>CD
4、线段的中点
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点，类似地，线段有三等分点、四等分点等．
如图所示，若点M是线段AB的中点，则

AM=BM=AB或AB=2AM=2BM．
二、典型例题：
例1、（1）如图，A、B是河流l两旁的两个村庄，若在河流l上建一个水厂，使它到两个村庄铺设的供水管道最短，请你在l上标出点C的位置，并说明理由．

（2）一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎么走路线最短？

例2、（1）C是线段AB的中点，D是线段BC上一点，则下列说法不正确的是（　）
A．CD=AC－BD　　B． C．CD=AD－BC　　　D．
（2）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①，②AB=BC，③AC=2AB，④AB＋BC=AC．能表示B是线段AC的中点的有（　）
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
（3）已知线段AB=10cm，PA＋PB=20cm，下列说法正确的是（　）
A．点P不能在直线AB上 B．点P只能在直线AB上
C．点P只能在线段AB的延长线上 D．点P不能在线段AB上
例3、如图所示，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD＝2cm，求AD的长．

例4、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
第二章 有理数
2.1 有理数 正数与负数（1）
一、知识归纳：
1、正数：像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数．
2、负数：像－3，－2，－2.7%这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．
3、0：0既不是正数，也不是负数．
一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.
对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.学会用正、负数表示具有相反意义的量．相反意义的量包含两个要素：一是意义相反.如向东的反向是向西，上升与下降，收入与支出．二是他们都是数量．
数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．
二、典型例题：
例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（　）
①4，1，，0.3　　　　②2，－3，0　　　　③－1，－0.1，　　　　④－2009，－2，0
A．①③④　　　　B．②④　　　　　C．①③　　　　　　D．①②③
例2、将下列各数填入相应的括号内：－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0，．
例3、下列说法中不正确的是（　）
A．0是自然数　　　B．0是正数 C．0是整数　　 　D．0表示没有
例4、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：（1）向南运动20米记作__________，向北运动50米记作__________；（2）＋25表示向____运动__________米，－26表示向__________运动__________米；（3）原地不动记作__________．
例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为－6cm，－4cm，＋1cm，＋2cm，－7cm，若实际选拔的男队员的身高为170cm～180cm，那么上述五人中有几人可入选？
例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：＋4，－3，＋10，－10，＋16，－17，0，＋7.5．
（1）分别写出这八名同学的实际成绩； （2）求出这八名同学的平均分．
例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：厘米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？
（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？
例8、观察下列一列数：1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，－9，……
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数．
（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2011和－2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？若不存在，请说明理由．
2.1有理数（2）
一、知识归纳：
有理数的分类：整数：正整数、0、负整数统称为整数；
分数：正分数和负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数；

二、典型例题：
例1、下列说法正确的是（　）
A．有理数是正数 B．有理数包括正数和负数
C．零不是有理数 D．有理数包括正有理数、0和负有理数
例2、下列关于有理数分类正确的是（　）
A．有理数分为正有理数和负有理数； B．有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；
C．有理数分为正有理数，0，分数； D．有理数分为自然数，负整数，分数．
例3、把下列各数填在相应的大括号里：负数{ }；整数{ }；自然数{ }；分数{ }．
　－5，2，，－2，0，2008，－25，6.3，－3.7
例4、在数6.4，－π，－0.6，，10.1，－2010中（　）
A．有理数有6个　　　　　　　B．－π是负数
C．非正数有3个　　　　　　　D．以上都不对
例5、下列各数：3，－5，，0.2，0.97，－0.21，－6，3009，，1．其中正数有________个，负数________个，正分数有________个，负分数有________个，非负整数有________个．
例6、按规律填空：
（1）－1，－2，3，－4，－5，6，________，________，________；
（2）________，________，________；
（3）－1，－3，－5，－7，________，________，________．
例7、将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？
（3）第2010个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
例8、已知A、B、C三个集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在下图圈内的相应位置．
A={－2，－3，－8，6，7}； B={－3，－5，1，2，6}； C={－1，－3，－8，2，5}．

2.2 数轴
一、知识归纳：
（一）数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线。三要素：原点、正方向、单位长度．
（二）包含三个内容：
第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；
第二是数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可；
第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是规定的，通常取向右为正方向．
所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数．
（三）数轴的画法
（1）画直线（一般画水平的）；
（2）在直线上取一点定为原点“0”（在原点下方标上“0”）；
（3）取原点向右的方向为正方向，并用箭头表示出来；
（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，4，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点依次表示为－1，－2，－3，…零用原点表示．如图：

二、典型例题：
例1、下列各图中，是数轴的是（　）
A．　B． C．　 D．
例2、数轴上原点及原点左边的点表示__________．
例3、如图，指出数轴上A、B、C、D、E分别表示什么数．

A点表示______；B点表示______；C点表示______；D点表示______；E点表示________．
例4、在数轴上距原点2010个单位长度的点表示的数是（　）
A．2010　　　　　B．－2010 C．2010或－2010　　　　　D．以上都不对
例5、2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（　）

A．伦敦时间2008年8月8日11时 B．巴黎时间2008年8月8日13时
C．纽约时间2008年8月8日5时 D．首尔时间2008年8月8日19时
例6、数轴上点A和点B表示的数分别是－1.2和2.2，点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是（　）
A．1　　　B．0.5 C．0.6　　　　　D．0.8
例7、已知数轴上有三个点A、B、C，点A表示的数是2，点B在点A的左侧5个单位长度，点C在点B的右侧4个单位长度，则点B表示的数是__________，点C表示的数是__________．
例8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．
（1）写出A、B、C三点表示的数；
（2）根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？
例9、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如图所示，

（1）若点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？
（2）若点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？
（3）若D点表示的数是6，A点表示的数是－12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点各表示什么数？
例10、（1）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位长度到C，若C表示的数为－3，则点A所表示的数为__________．
（2）若蝈蝈第一步从P0向左跳1个单位长度到P1，第二步从P1向右跳2个单位长度到P2，第三步由P2向左跳3个单位长度到P3，第四步由P3向右跳4个单位长度到P4，……，按以上规律跳了100步，蝈蛔落在数轴上的点P100所表示的数是2010，则这只蝈蝈初始位置P0所表示的数是__________．
2.3 相反数与绝对值（1）
一、知识归纳：
（一）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．零的相反数是零．
（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
（3）性质：互为相反数的和为0，即a＋b＝0a、b两数互为相反数.
（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a.
强调：“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数．
（二）除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0的相反数仍是0．
二、典型例题：
例1、如图，表示互为相反数的两个数的点是（　）

A．A和C　　　B．A和D C．B和C　　　D．B和D
例2、化简下列各数的符号：
（1）－（＋5）　　（2）＋（－3） （3）－[－（＋6）]　　 　（4）－[－（－8）]
例3、下列各对数中，互为相反数的有（　）
① －1）与＋（－1） ②＋（＋2）与－2 ③－（－3）与＋（－3）
④ ⑤＋[－（＋4）]与[＋（－4）] ⑥－[－（＋2）]与＋[＋（－2）]
A．1对　　　　　B．2对　　　　　C．3对　　　　　　D．4对
例4、点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是__________．

例5、如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为（　）

A．1，－2，0　　　　　B．0，－2，1 C．－2，0，1　　　　　D．－2，1，0
例6、数轴上的点A向右移5个单位长度后到点A′，若A与A′表示的数恰好互为相反数，那么点A表示的数是（　）
A．2.5　　　　B．－2.5 C．5　　　　　D．－5
例7、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示：

（1）在数轴上表示出－a、－b； （2）比较a、b、－a、－b的大小（用“＞”连接）．
例8、如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上，

（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上表示出原点的位置．
例9、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求x＋y＋z的值．
2.3 相反数与绝对值（2）
一、知识归纳：
（一）绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作|a|.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
（二）绝对值的性质：

①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，b＝0，c＝0.
③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如－5符号是负号，绝对值是5. 非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数．
二、典型例题：
例1、一个数的绝对值是2010，则这个数是__________；绝对值小于6的整数有__________个，它们是__________．
例2、如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么a＋b＝__________．
例3、如图，数轴上的点A所表示的是有理数a，则点A到原点的距离是__________．

例4、绝对值不大于4的非负整数有（　）
A．4个　　　　B．5个　　　　　C．7个　　　　D．9个
例5、下列各对数中，互为相反数的是（　）
A．－（－20）和|－20| B．|－3|和|＋3| C．－（－12）和－|－12| D．|a|和|－a|
例6、|3.14－π|的值为（ ）
A．0　　　　　B．3.14－π　　　C．π－3.14　　　　D．0.14
例7、如果|－a|=－a，下列成立的是（　）
A．a＜0　　　　B．a≤0　　　　　C．a＞0　　　　　　D．a≥0
例8、下列各题正确的是（　）
①若m=n，则|m|=|n| ②若m=－n，|m|=|n| ③若|m|=|n|，则m=－n ④若|m|=|n|，则m=n
A．①②　　　　B．③④　　　　　C．①④　　　　　D．②③
例9、当x＝__________时，|x|＋5取最小值，这个最小值是__________；当a＝__________时，36－|a－2|取最__________值，这个值为__________．
例10、已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图，计算a＋（－b）＋c的值．

例11、已知|a＋2|＋|b－1|=0，求a、b的值．
例12、按规定，食品包装袋上都应标明袋内装食品有多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”号分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断哪一种食品最符合标准．
威化
咸味
甜味
酥脆
＋10（g）
－8.5（g）
＋5（g）
－3（g）
2.3 利用绝对值比较有理数的大小（3）
一、知识归纳：
正数＞0＞负数
（1）一个数的绝对值越大，表示这个数在数轴上表示的点离原点越远． 
（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小．
有理数大小比较小结： 能化简的先化简,然后按照有理数大小比较法则进行比较：
异号两数比较大小，负数总是小于正数；
两正数比较大小：绝对值大的数大于绝对值小的数；
两负数比较大小：绝对值大的反而小；
负数小于零；零小于正数.
二、典型例题：
例1、（1）两个正数，绝对值大的__________；两个负数，绝对值大的__________．（填“大”或“小”）
（2）用“＞”或“＜”填空：
①－5__________－7；②；③－（－5）__________－|－7|．
例2、如图的数轴，填空：

（1）|a|________|b|； （2）|a|________|c|； （3）－a________－b；
（4）－|a|________|b|；　　（5）b________－c； （6）－a________|c|．
例3、如果m＞0，n＜0，m＜|n|，那么m，n，－m，－n的大小关系是（　）
A．－n＞m＞－m＞n　　　　　　　　　B．m＞n＞－m＞－n
C．－n＞m＞n＞－m　　　　　　　　　D．n＞m＞－n＞－m
例4、如图所示，已知有理数a，b，c在数轴上的对应点，试比较a，－a，b，－b，c，－c，0的大小．

例5、绝对值小于5且大于1的负整数有__________个，分别是__________．
例6、用不等号连接：－4，－|－（－2）|，|－（－2）|，－（－3），－[＋（－5）]，|－[－（－1.2）]|
例7、下列说法中正确的是（　）
A．若a和b都是负数，且|a|＞|b|，则a＜b
B．若a和b都是负数，且有|a|＞|b|，则a＞b
C．若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＜b
D．若a和b都是正数，且有|a|＞|b|，则a＜b
例8、正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定．下面是8个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）．
　　　－25，＋10，－11，＋30，－16，＋14，＋11，－39．
请指出哪个排球质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．
例9、已知，且a＞b，求a、b的值．
第三章 有理数的运算
一、知识归纳：
（一）有理数的加法法则
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3、互为相反数的两个数的和为0；
4、任何数同零相加都等于它本身．
（二）有理数加法运算律
1、交换律：a＋b＝b＋a；
2、结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
二、典型例题：
例1、计算：
（1）（－18）＋（－22）；
（3）（－3）＋（－3）； （4）（－2010）＋0
例2、列式计算：
（1）比－18的相反数大－30的数； （2）75的相反数与－24的绝对值的和．
例3、已知|a|=15，|b|=14，且a＞b，则a＋b的值等于（　）
A．29或1　　 　　B．－29或1 C．－29或－1　　　　D．29或－1
例4、若|a－2|与|b＋5|互为相反数，求a＋b的值．
例5、已知a＋c=－2009，b＋（－d）=2010，则a＋b＋c＋（－d）=__________．
例6、如果|a＋1.2|＋|b－1|=0，那么a＋（－1）＋（－1.8）＋b=__________．
例7、用适当的方法计算：
（1）（－51）＋（＋12）＋（－7）＋（－11）＋（＋36）
（2）（－3.45）＋（－12.5）＋（＋19.9）＋（＋3.45）＋（－7.5）

例8、在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，规定向东为正，当天航行记录如下：（单位：千米）
16，－8，13，－9，12，－6，10．
（1）B在A的哪一侧？相距多远？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.45升，则这一天共消耗了多少升汽油？
3.1 有理数加减与减法运算（2）
一、知识归纳：
（一）有理数的减法法则
1、交换律：a＋b=b＋a
2、结合律：（a＋b）＋c=a＋(b＋c)
3、有理数的减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数．即a－b=a＋（－b）
（二）小结：
1．有理数的加减法可统一成加法．
加减法统一成加法算式，按减法法则减去一个数可写成加上它们的相反数，这样便把加减法统一成加法算式．几个正数或负数的和称为代数和．
2．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 
3、有理数加减混合运算的方法和步骤
（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号．
（2）运用加法法则、加法运算律进行简便运算．
4、有理数加减混合运算的技巧方法
（1）把正数、负数分别相加．
（2）把和为零或整数的分别相加．
（3）把整数、分数分别相加．
（4）把同分母的、易通分的分数分别相加．
二、典型例题：
例1、将下列括号内填上适当的数．
（1）（－7）－（－3）=（－7）＋__________； （2）（－5）－4=（－5）＋__________；
（3）0－（－2.5）=0＋__________； （4）8－（＋2010）=8＋__________
例2、已知：|x|=5，y=3，则x－y=__________．
例3、当时，x，x＋y，x－y，y中最大的是（　）
A．x　　　　　B．x＋y C．x－y　　　　　D．y
例4、已知|m|=5，|n|=27，且|m＋n|=m＋n，则m－n=__________．
例5、如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数，结果是（　）

A．8　　　　　B．－8　　　　C．2　　　　　D．－2
例6、把18－（＋33）＋（－21）－（－42）写成省略括号的和是（　）
A．18＋（－33）＋（－21）＋42 B．18－33－21＋42
C．18－33－21－42 D．18＋33－21－42
例7、计算：
（1）（－5）－（－10）＋（－32）－（－7）
（2）
（3）1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100
例8、一只蚂蚁在一张棋盘的一条直线上爬行，规定向右为正方向，第一次它从A点向右爬了1个单位，第二次向左爬了2个单位到B点，第三次又向右爬了3个单位后到了C点，第四次再向左爬了4个单位到达D点…，这样它一直爬了20次，爬到了A0点．已知A0点表示－18，那么A点表示什么数呢？
例9、阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．

以上这种解题的方法叫做拆项法．

例10、先阅读下面的解题过程，然后解答后面的题目．

3.2 有理数的乘法与除法（1）
一、知识归纳：
（一）有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘，积仍得0；
（2）n个数相乘,当负因数的个数为奇数个时,积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；
（3）互为倒数的两个数乘积为1．
(二)有理数乘法的运算律
(1)乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即：ab＝ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变. 即：(ab)c＝a(bc).
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即：a(b＋c)＝ab＋ac.
二、典型例题：
例1、计算：
（－3）×5=________； （－2）×（－3）=________； （－3.125）×0=________．
例2、的倒数与的相反数的积是________．
例3、（1）下列说法正确的是（　）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab=0，则a=0，b=0
C．若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0，b＞0 D．a为任一有理数，则a·（－a）＜0
（2）若a·b＜|a·b|，则一定有（　）
A．a＜0，b＜0　　　　B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 　　　D．a·b＜0
（3）比较a与3a的大小，正确的是（　）
A．3a＞a　　　 　B．3a＜a C．3a=a　　　 　 D．上述情况都有可能
（4）若a、b满足a＋b＞0，ab＜0，则下列结论正确的是（　）
A．|a|＞|b| B．a＞0，b＜0时，|a|＞|b| C．a＜0，b＞0时，|a|＞|b| D．|a|＜|b|
（5）x、y、z是三个有理数，若x＜y，x＋y=0，且xyz＞0．
①判断x、y、z的正负性； ②试判断（x＋z）（x－y）的符号．
例4、已知｜a｜=2，｜b｜=4，a>b，ab<0．求－2ab－2a＋2b的值．
例5、（1－2）×（2－3）×…×（2007－2008）×（2008－2009）=__________．
例6、计算：

例7、用简便方法计算：
（1）（－8）×（－5）×（－0.125）； ；
； ．
3.2 有理数的乘法与除法（2）
一、知识归纳：
有理数的除法法则
除法是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算.
1、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，可以表示成：a÷b=a·，其中b≠0．
2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何不等于0的数都得0．
3、0不能作除数．
乘积为1的两个有理数互为倒数.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
注意：(1)0没有倒数.(2)互为倒数的两数为同号.
二、典型例题：
例1、计算：

例2、（1）若a、b、c均为负数，则_______0．（填“＞”或“＜”）；
（2）若=0，则一定有（　）
A．a=0　　　　　B．b=0且a≠0 C．a=b=0　　　　D．a=0或b=0
（3）当x=_______时，式子没有意义；
（4）如果，那么a是（　）
A．正数　　　　　　B．负数 C．非正数　　　　D．非负数
例3、化简下列分数：

例4、计算：

例5、当a=－2，b=－4，c=－7，d=－3.5时，计算下列各式的值：
（1）a÷b－c÷d； （2）（d－c）÷（b－a）．
例6、设a=1÷2÷3÷4，b=1÷（2÷3÷4），c=1÷（2÷3）÷4，d=1÷2÷（3÷4）．
计算（b÷a）÷（c÷d）的值.
例7、（1）若ab＜0，求的值．
（2）三个有理数a、b、c为不等于0的有理数，其积为负数，其和为正数．求的值．
（3）a、b、c均为不等于零的有理数，求的值．
3.2 有理数的加减乘除混合运算（3）
一、知识归纳：
1、在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 
2、在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减，注意运算律．
3、合理运用运算律：合理运用运算律是提高有理数运算能力的基本保证，在运用时，首先要搞清楚各种运算律的名称和使用的方法.
(1)加法交换律和结合律通常在加、减运算中同时使用，交换的目的在于结合，结合时一般是按正负结合，按相反数结合，总之，将容易计算的数进行结合.
(2)乘法交换律和结合律通常在乘、除运算中使用，交换的目的同样是为了结合，结合时一般将能约分的数结合.
(3)分配律是乘法对加法的分配，它既可以正用(即a(b＋c)＝ab＋ac)，也可以逆用(即ab＋ac＝a(b＋c))，要特别注意除法对加法没有分配律，不要出现12÷(4＋3)＝12÷4＋12÷3＝3＋4＝7的错误.
4、含多重括号时，要注意灵活去括号，没必要墨守成规，总是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，也可以先去大括号，再去小括号．
有理数的加减乘除混合运算，应按照“先乘除，后加减”的