初一数学绝对值综合专题讲义.doc

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绝对值综合专题讲义
绝对值的定义及性质

绝对值的定义：
绝对值的性质：
（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示

（2） |a|=

（3） 若|a|=a，则 ；若|a|=-a，则 ；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
（4） 若|a|=|b|，则
（5） |a+b| |a|+|b| |a-b| ||a|-|b||
|a|+|b| |a+b| |a|+|b| |a-b|

【例1】
（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？
（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0
（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）
A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b
C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b)
（4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

（5） 若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？

（6） 若|x+3|+(y-1)=0，求的值

【巩固】
1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
2、有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）
A.a＞b B.a=b C.a<b D.无法确定
3、若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________
4、若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）
A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0
5、设是有理数，则是有最大值还是最小值？其值是多少？

小知识点汇总：
若(x-a)+(x-b)=0,则 ；若|x-a|+(x-b)=0,则 ；
若|x-a|+|x-b|=0，则 ；

简单的绝对值方程

【例2】
（1） 已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿
（2） 已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（3） 已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（4） 如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？
（5） 解方程

（6） 解方程|4x+8|=12

（7） 若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值

【巩固】
1、 巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值
2、 解方程 |3x+2|=-1

3、已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值

化简绝对式

【例3】
（1） 已知a=-，b=-，求的值
（2） 若|a|=b，求|a+b|的值
（3） 化简：|a-b|

C
B
0
A
（4） 有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

【巩固】
1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x≥8）

2、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
a
0
c
b

3、数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
a
0
b

【例4】（1）若a<-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|

（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|

（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值

（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

（5）化简|x+5|+|2x-3|

（6）若a<0，试化简
（7）若abc≠0，则的所有可能值

【巩固】
1、如果0<m<10并且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|

2、有理数a，b，c，d，满足，求的值

3、化简：|2x-1|

4、求|m|+|m-1+|m-2|的值

绝对值几何意义的应用

|a|的几何意义： ；|a-b|的几何意义：
【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

【巩固】
1、 如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居
A
B
C
D
E
民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？

2、设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a< a< a< a< a,求|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|的最小值

3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值

题后小结论：
求|x-a|+|x-a|+…+|x-a|的最小值：

附加例题

【例1】 若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿

【例2】 已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿

【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ）
A.|m-1|≥|m| B.|m-1|≤|m| C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1

【例4】 设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|

【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|

【例6】 已知有理数a，b，c满足，求的值

【例7】 若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|

家庭作业

1、 当b为何值时，5-有最大值，最大值是多少？

2、 已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.
求式子的值.

3、 |m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值

4、 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值

5、 （1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？

（2）解方程：|4x-5|=8

6、 （1）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
a
c
0
b

（2）若a＜b，求|b-a+1|-|a-b-5|的值

（3）若a＜0，化简|a-|-a||

7、 已知a是非零有理数，求的值

8、 化简|x-1|-|x-3|

9、 6、设a＜b＜c，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值

10、 若与互为相反数，求的值

11、 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。

12、 不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1) 在A，C点的右边；　　(2)在A，C点的左边；　　
(3) 在A，C点之间；　　 (4)以上三种情况都有可能

13、 设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
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