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幂函数及其性质专题
一、幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
二、函数的图像和性质
（1） （2） （3） （4） （5）
用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：
定义域
奇偶性
在第Ⅰ象限单调增减性
定点（公共点）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
三．两类基本函数的归纳比较：
① 定义
对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
②性质
对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；
过点（1，0），即当=1，=0；
在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数
幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，
图象都过点（1，1）＞0时，幂函数的图象都通过原点，
在[0，+∞]上，、、、是增函数，
在（0，+∞）上， 是减函数。
【例题选讲】
例1．已知函数，当 为何值时，：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）或（2）（3）（4）（5）
变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：解得：
例2．比较大小：
（1） （2）（3）（4）
例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
例4、设函数f（x）＝x3，
（1）求它的反函数；
（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．
解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．
（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；
f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．
点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．
例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
当t＝－1时，ymin＝3．
∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．
【同步练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 下列函数在上为减函数的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. 下列幂函数中定义域为的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（ ）
A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）］［2，＋∞］ D．（0，2）
5．函数y＝（1－x2）的值域是（ ）
A．［0，＋∞］ B．（0，1） C．（0，1） D．［0，1］
6．函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞］ D．（－∞，＋∞）
7．若a＜a，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞0 C．1＞a＞0 D．1≥a≥0
8．函数y＝的定义域是 。
9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．
10、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
思路：函数y＝是幂函数．
（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．
（3）f（－x）＝＝＝f（x），
∴函数y＝是偶函数；
（4）∵n＝＞0，
∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．
由于幂函数y＝是偶函数，
∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减．
（5）其图象如下图所示．
11、比较下列各组中两个数的大小：
（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．
解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7，∴＜，
（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
∵＝，＝，又＞，
∴＞．
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