高中数学椭圆经典试题练习.doc

椭圆练习题
一、选择题
1.椭圆+=1的焦距为2，则m的值为（　　）
A.5 B.3 C.5或3 D.8
2.设椭圆的离心率为e=,右焦点为F（c,0)，方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P（x1,x2)（　　）
A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能
3．在椭圆上取三点，其横坐标满足，三点与某一焦点的连线段长分别为，则满足（ ）
A．成等差数列 B．
C．成等比数列 D．以上结论全不对
4．椭圆的离心率满足方程，则的所有可能值的积为（ ）
A．3 B． C．16 D．-16
5．已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是 ( )
A (1, +∞) B C D
6. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B. C. D.
7.过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )
A B C D.
8.椭圆上离顶点A(0,)最远点为(0,成立的充要条件为( )
A B C D.
9. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 ( )
A B C D
10、已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
11．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m＝ .
12．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是 .
13、F1，F2是＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最大值是　　
14、在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　　.
15.中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程是 。
16.已知F1、F2是椭圆C： =1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 ⊥.若△PF1F2的面积为9，则b= .
17．椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上.若|PF1|=4，则|PF2|= ，∠F1PF2的大小为 .
18．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为，则该椭圆的方程为 .
19．M是椭圆不在坐标轴上的点，是它的两个焦点，是的内心，的延长线交于，则 .
20.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 .
三、解答题
21.已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.
① 求椭圆的方程;
② 设点P在椭圆上,且,求cos.

简解:① .
　　②设则
又 ,

22.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1（-2，0），左准线l1与x轴交于点N（-3，0），过N点且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.
（1）求直线l和椭圆方程；
（2）求 ·的值；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过F1的所有圆中，求面积最小的圆的半径.

解：（1）由已知，椭圆中c=2, =3,
∴a2=6,b2=a2-c2=6-4=2,

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

=-9+2+7=0.
（3）易知：当圆的半径等于F1到直线l的距离时，圆的面积最小.即面积最小时，

23.如图，直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A、B两点，记△AOB的面积为S.
（1）求在k=0,0<b<1的条件下，S的最大值；
（2）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程.

解析：

24、已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．

．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值
25、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为
，

(II)设，由得
，
，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
，，
，
，解得
，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
课外作业：
1.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

2．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，原点O到过点和的直线的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点E，若直线y＝kx＋2与椭圆交于C 、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E?请说明理由．

3.设椭圆的左焦点为，离心率为, 过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左右顶点, 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若 ， 求的值.

1.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。
19．
（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，
，解得：
由韦达定理得：①，，②
设，，
方程为：，则，
，，
欲证三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

22．（ 12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，原点O到过点和的直线的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点E，若直线y＝kx＋2与
椭圆交于C 、D两点，问：是否存在k的值，
使以CD为直径的圆过点E?请说明理由．
解：（Ⅰ）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0 ………1分
　　依题意　解得　 …3分
∴　椭圆方程为　 …4分
（Ⅱ）假若存在这样的k值，由得
　∴　 　　　　　　　　 ①
　　设， ，，则　②………6分
　　而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE，
即时， ……8分
则即
　　∴　 　　　　③
　　将②式代入③整理解得 …11分
经验证，，使①成立。
　　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 。 …12分
24.设椭圆的左焦点为，离心率为, 过点且与轴
垂直的直线被椭圆截得的线段长为
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左右顶点, 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若
， 求的值.
、解：（1）由题可知：
所以椭圆的方程为：
（2）由题可知：直线的方程为的坐标分别为
由消得：
设，则

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