高中数学解析几何双曲线性质与定义.doc

双曲线
双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义
①双曲线的第一定义
一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F1、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

设M(x，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。

将这个方程移项，两边平方得：

两边再平方，整理得：
由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以c2-a2＞0．设 (b＞0)，代入上式得：
双曲线的标准方程：
两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：，

②双曲线的第二定义
与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：，我们将代入，
可得：
所以有：双曲线的第二定义可描述为：
　　平面内一个动点（x,y）到定点(c,0)的距离与到定直线()的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线，其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。
1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率；
（2）范围：；
（3）双曲线形状与的关系：
；

因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；
（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；
2、准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
位置关系：，焦点到准线的距离（也叫焦参数）；
对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。

3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线，是其左右焦点，
， ∴，∴；同理 ；
即：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：其中分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点

同理：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：

二、双曲线的性质
　　1、轨迹上一点的取值范围：（焦点在x轴上）或者（焦点在y轴上）。
　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
　　3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a；
　　 B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b。
4、渐近线：
由，当所以：双曲线的渐近线方程为：
　　　焦点在x轴：，焦点在y轴：
　　5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
　　右焦半径：r=│ex-a│
　　左焦半径：r=│ex+a│
6、共轭双曲线
双曲线S: ，双曲线
　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
　　特点： （1）共渐近线
　　 （2）焦距相等
　　 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
7. 焦点到一条渐近线的距离

特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要．
 三、例题求解：
例1：已知双曲线的渐近线是，我们可以判断直线与双曲线的交点个数
 ①当直线的斜率时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，如果，则它与双曲线有一个只有一个交点。
②当直线的斜率时，则与双曲线有两个交点。
③当直线的斜率时，则与与双曲线没有交点
例2　已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．
 解：由可得，
 从而，解得．
 又因为的渐近线方程是，所以.故

例3　已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是             
 解：由已知可知,所以 
例4 双曲线上一点与左右焦点构成，求的内切圆与边的切点的坐标。
分析：设点在已知双曲线的右支上，要求点的坐标。即求的长度，而，其中，只需求的长度，即是圆⊙的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。
解：设点在已知双曲线的右支上，由题意得，，，又，，，又，
当点在已知双曲线的右支上时，切点为顶点,当点在已知双曲线的左支上时，切点为顶点
例5 已知是双曲线的左右焦点，在双曲线的左支上，，，求的值
分析：如右图，先做出的内切圆⊙，则⊙切于点，等于内切圆的半径。且，
解：做出的内切圆⊙，则⊙切于点，
，，，，
例6 设是曲线:的焦点， 为曲线:与的一个交点，则的值
分析：利用双曲线及椭圆的定义找出、之间的关系。
解析：设，，不妨设，显然椭圆和双曲线共焦点，由椭圆和双曲线的定义可知且
，在三角形中，由余弦定理可知

例7 已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，求双曲线的离心率.
解析：由题意的，，由定义知，则。
例8 已知双曲线的左右焦点分别为若双曲线上存在一点使得，求双曲线离心率的范围。
解析：由双曲线的定义，，在中，结合双曲线的图像，，即
例9 已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。
解析：设为圆与双曲线在第二象限的交点，则，，在
中，

例10 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上任意一点，的内角平分线为，过的垂线M，设垂足为，求点的轨迹。
解析：延长交于由角平分线及垂直关系得，有是的中位线，从而，故为定值，即点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆（去掉与轴的交点）
方程为

例11、已知⊙：，⊙：，若⊙与⊙内切与⊙外切，求⊙的圆心的轨迹方程。
解析：⊙：，圆心，半径，
⊙：圆心，半径，由题意的，。，即是以为焦点的双曲线的左支。
，，，，。
点的轨迹为
例12、已知是双曲线的左右焦点，是双曲线内部一点，为双曲线左支上一点，求的最小值
解析：双曲线的定义，即

当且仅当、、三点共线时“”成立。
例13、已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形中证明：。
证明

又
综上
例14①一个动圆与两个圆x2＋y2=1和x2＋y2－8x＋12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
②、已知两圆，，动圆M与两圆都相切，则动圆圆心M的轨迹方程。
例15、设是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离。
分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。
解析：由及，得 或。
由， 知右支的顶点到的距离为，而已知，说明点在左支上，此时，，所以，点到焦点的距离为。
点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当时，有两解；当时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。
例16、如图，双曲线
其焦点为，过作直线交双曲线的左支于
两点，且，则的周长为 。
分析：本题中，都是焦半径，而的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定义便可得。
解析：由；
由，；
故的周长为。
点评：本题结合定义，求出，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过作直线交双曲线的左支于两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？
例17、已知双曲线的左、右两焦点分别为，为双曲线上一点，若，且，求的面积。
分析：欲求面积，首先要确定的值，由第一定义及可以构成方程组，通过方程组求得及的值。
解析：由，又
或，
由于，得，又，即，从而得，因为且，得或；
若，则，此时，不合题意；
若，则，此时，符合题意；
那么，从而
故的面积为
点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。
例18、解方程
分析：对第一个式子配方，得。联想两点间的距离公式，可设，此时变为，问题即可解决。
解析：原方程可变为，令，
则方程以变为，显然，点在以，为焦点，实轴长为的双曲线上，易得其方程为。
由，得。
双曲线学生练习和重要结论
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
9. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
10. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
11. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
12. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.