高中数学小结论.doc

1. 常见的数值：e≈2.72，2≈1.41，3≈1.73
ln2≈0.69，ln3≈1.10
2. 类似“n+1-1”的式子都可以写成n项和的形式，在一些证明题中会有应用：
n+1-1=(n+1-n)+( n-n-1)+...+( 2-1)=k=1n(k+1-k)
3. 几何平均不等式：i=1nai≥nna1a2a3…an
4. 组合数的性质：Cn+1m=Cnm+Cnm-1
组合数性质的推论：Cnn+Cn+1n+...+Cn+mn=Cn+m+1n+1
5. 正四面体中，外接球半径：内接球半径=3:1
6. 圆台的侧面积：S侧=π(r+r1)l (r、r1为上下底圆的半径，l为母线长。特殊的，当r1=0时，即为圆锥时，有S侧=πrl)
7. 圆台的体积公式：V=13(S+SS1+S1)h
8. 矩形ABCD的对角线AC与BC、CD所成的角分别为α、β，则有sin2α+sin2β=1

类比推理有长方体ABCD-A1B1C1D1中，体对角线BD1与AB、BB1、BC所成角分别为α、β、γ
则有cos2α+cos2β+cos2γ=1
sin2α+sin2β+sin2γ=2

9. an+1=φan+qγan+h，一般为周期数列
10. 重要不等式的推论：ex≥x+1，ex-1≥x，ex≥ex
11. 发生的概率等于1的事件不一定为必然事件
12. AB=(x1，y1)，AC=(x2，y2)，则S△ABC=12x1y2-x2y1

13. 泰勒展开：ex=x00!+x11!+x22!+x33!+…, -∞<x<∞
14. f(x)关于直线x=a对称，则f(x+a)为偶函数
15. f(a+x)=-f(b-x)，则f(x)关于(a+b2,0)中心对称
16. n等分点公式：x2=βx1+(1-β)x3
x1、x2、x3均为坐标，当β=12时，即为中点公式

17. A1(x1，y1)与A关于直线l：y=x+a的对称点A2(x2，y2)的关系：y2=x1+ax2=y1-a
18. 在上方时是sinθ-cosθ＞0
在下方时是sinθ-cosθ＜0

19. 在上方时sinθ+cosθ＞0
在下方时sinθ+cosθ＜0

20. 对于阴影区域有：
sin2θ+cos2θ=1，tan2θ+1=1cos2θ，cot2θ+1=1sin2θ
对角线相乘等于1，如：sinθ×1sinθ=1
相邻两边构成的三角形，底角相等等于顶角，比如
cosθ×1sinθ=cotθ

21. 若f(x)是a，b上的凸函数，则对不相等的x1，x2，x3，x4∈a，b则有:
f(x1+x2+x3+x44)＞14fx1+fx2+fx3+f(x4)
22. (x-a)2+(lnx-2a)2具有几何意义：表示(x,lnx)与(a,2a)两点间的距离平方
23. 在证明题中，1+122+132+...+1n2通常进行裂项处理
24. g(x)=ex-1ex+1为奇函数
25. sin2α=2t1+t²，cos2α=1-t²1+t²，tan2α=2t1-t²， (t=tanα)

26. tanα2=1-cosαsinα=sinα1+cosα
27. 1±sin2α=(sinα±cosα)²
28. 若α+β=45°，则有(1+tanα)(1+tanβ)=2
29. 类似cos20°cos40°cos60°cos80°这样cos连乘的式子，且角度为公比为2的等比数列，可采用同时乘除sinθ的形式，连续用倍角公式
30. 在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3),则△ABC的重心O为(x1+x2+x33，y1+y2+y33)
31. 在△ABC中，GA+GB+GC=0,则G为△ABC的重心
32. 在△ABC中, OA. OB= OA. OC= OB. OC,则O为△ABC的垂心
33. 在△ABC中，a、b、c分别为三角形的三条边，若有aOA+bOB+cOC=0,则O为△ABC的内心
34. 若G是三角形的重心，有OG=13(OA+OB)

35. 若P、G、Q三点共线，则有OP=μOG+(1-μ) OQ(即后面系数和要为1),其中μ=nn+m，1-μ=mn+m

36. P、A、B、C四点满足，OP=xOA+y OB+ zOC，x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面
37. 角平分线定理：DC为∠BCA的角平分线,则有BDAD=BCAC

38. 在△OAB中，OC是∠AOB的内角平分线，ON是∠AOB的外角平分线。
若O为动点，则O的轨迹是以CN为直径的圆，因为∠CON=90°
内外角平分线定理：OAOB=ACBC=ANBN

39. 若μ1OA+μ2OB+μ3OC=0,O为△ABC中任意一点，则有S1:S2:S3=μ1:μ2:μ3

40. x∈(0,π2),则有sinx＜x＜tanx，同时三个函数在x=0相切，k=1
41. aa表示a所在方向的单位向量
42. 数列1,11,111....的通项公式为an=10n-19
43. 若数列前n项和为二次函数，则数列为等差数列。不过要尤其注意的是！若二次函数带有常数项，则从第二项开始为等差数列，a1要分开来写，即数列要分段
44. 广义的对勾函数，f(x)=ax+bcx,勾点为二者相等时，即ax=bcx，解得x=bac
45. 要证明数列前n项和小于某个常数，要不就是某个等比数列的前n项和，要不就是裂项
46. 若ax²+bx+c=0的两根为α、β，则
cx²+bx+a=0的两根为1α、1β
cx²-bx+a=0的两根为-1α、-1β
47. 对于分子为二次项，分子为一次项，即y=ax2+bx+cdx+e，通过长除法可以化成y=(dx+e)+ qdx+e+k的形式
48. Sn=1+12+13+...+1n为发散数列，故前n项和趋近无穷大
49. S直观图=24S原图
50. 正四面体可以补形成正方体，三对对棱长相等可补形成长方体
51. 两条异面直线有唯一一条公垂线
52. 在三棱锥中有：
三条侧棱互相垂直，顶点P到底面的射影为三角形垂心
若三对侧棱两两垂直(两对也可以),则P在底面的投影为垂心
若三条侧棱相等，则P到底面的射影为外心
若三个侧面与底面的夹角相等时，若P在底面的射影O在形内，则O为内心；若射影在形外，则O为旁心
53. 若M为△ABC的重心，则有OM=OA+OB+OC3

54. 若二面角为θ，则DB2=m2+n2+l2-2mncosθ(形式类似余弦定理)

55. 已知PC⊥面ABC，有三余弦定理：
cos∠PAB=cos∠PAC.cos∠BAC(∠BAC和∠CAP只能为锐角)

56. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C交面BDC1于G点，有CG=13A1C

57. 面α上存在不共线的三点到β的距离相等，则α∥β，这是一个假命题。
58. 圆内接三角形面积最大时，为等边三角形
证明：S=12absinC=122RsinA.2RsinB.sinC=2R²sinA.sinB.sinC≤2R²(sinA+sinB+sinC3）³≤2R²sinA+B+C3³=343R²
运用了均值不等式与琴生不等式，且这两个不等式取等条件相同，即当A=B=C时取等
59. 过两直线交点的直线系方程：
已知l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1与l2相交，则 (A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0，(μ∈R)，表示经过l1与l2交点的所有直线(但不包括l2)
60. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆，方程为:
(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=0
61. 相交弦定理：
有AO.BO=CO.OD(由相似三角形证明)

62. 射影定理：
BD²=AD.DC AB²=AD.AC BC²=DC.CA

63. 椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，P(x0,y0)为椭圆上的一点，左右焦点为F1，F2，焦半径r1=PF1, r2=PF2,则有：
r1=a+ex0，r2=a-ex0
证明：r1=(x0+c）2+y02=(x0+c）2+b2-b2a2x02=(a+ex0）2=a+ex0(最后一步直接硬说)
64. 双曲线的焦半径为r=ex0±a，根据象限判断绝对值要不要开，±a看长短，长的+a，短的-a
65. 椭圆的焦点三角形面积：S=b2tanθ2(θ=∠F1PF2)
66. 双曲线的焦点三角形面积：S=b2cotθ2(θ=∠F1PF2)
67. 垂直于长轴的焦点弦为通径，通径是最短的弦l=2b2a，而所有有心二次曲线的通径均为2b2a
68. 两点间距离公式：AB=1+k2x1-x2 (tanθ=k)(可通过三角函数证明)

69. 对双曲线使用点差法时，得到结果要带回去检验，因为对双曲线点差，是针对b2x2-a2y2=μa2b2的点差，当μ=0时，双曲线退化为渐近线，此时求得的点在渐近线上。
70. 等轴双曲线重要特点：可化为平方差形式
71. 过抛物线y²=2px的线段AB有：
AB=2psin2θ 1AF+1BF=2p

72. 恒过抛物线对称轴上的一点，则与对称轴垂直的弦为恒过该点的最短弦
73. 判断两个二次曲线有无交点，不能将二者联立，然后用∆判断，因为二次曲线的x、y均有限制条件
74. 直线与圆锥曲线联立，令∆=0，能判断直线与圆锥曲线相切，但是不能判断是否只有一个交点。例如，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，但是∆＞0；抛物线中，与对称轴平行的直线，与抛物线只有一个交点，但∆＞0
75. 不能联立两个极坐标方程求交点，因为极坐标的点有多样性，一个点有很多表示，不唯一。要求交点必须先化成直角坐标系，联立直角坐标方程来求交点，最后再化回极坐标。
76. 可以联立两个极坐标方程，求交点与原点所成直线的角度。
77. 抛物线中，以过焦点的弦为直径作圆，圆会与准线相切。
78. 对于二次曲线的切线方程，切点为(x0,y0),x²改写成xx0 y²改写成yy0 x改成写x+x02 y改写成y+y02
79. TA与圆相切，AC、AE与圆相交
切割线定理：AT²=AB. AC
割线定理：AB. AC=AD. AE

80. 抛物线中，过焦点的直线AB，准线与x轴交于M，则x轴为∠AMB的角平分线

81. 等差数列前n项和Sn，Sn=an²+bn，其中a=d2
82. 等比数列前n项和Sn，Sn=cqn-c
83. 若圆与直线相切，将二者写成圆系方程，则可以表示所有过相切点且与直线相切的圆。当圆无限小，小成一个点，也会符合圆系方程。故如果知道圆的切线以及切点，可以把切点当成半径为0的圆，一样可以写圆系方程，表示所有过相切点且与直线相切的圆。
84. 若圆x²+y²=r²，过圆外一点P(x0,y0)做两条圆的切点，分别交于C、D，则直线CD的方程为xx0+ yy0=r²，该性质适用于其他二次曲线
85. 等差数列和等比数列可以互相转化。
86. 若an为等比数列，则lnan为等差数列(取对数)
87. 若an为等差数列，则aan(a＞0，a≠0)为等比数列
88. 等比数列与等差数列类比推理时，等差的“+”，对应于等比的“×”；等差的“×”，对应等比的次方；等差的“÷”，对应等比的开方(开几次方看分母，分母是多少就开多少次方，不需要对分母中的符号做任何变化)
89. 棣莫弗定理：两个复数z1，z2，复数用三角函数形式表示z1=r1(cosθ1，isinθ1)，z2=r2(cosθ2，isinθ2)
z1.z2=r1r2(cos(θ1+θ2)，isin(θ1+θ2))
推广：z=a+bi，z=r(cosθ，isinθ)，其中r=a2+b2，tanθ=ba，θ与(a,b)所在象限一致
则有zn=rn(cos⁡(nθ)+isin(nθ))
90. 正多面体是底面是正多边形，顶点的射影在正多边形中心的多面体
91. 根据S1S总=AD.AEAB.AC,可类比推理得，VP-A1B1C1VP-ABC=PA1.PB1.PC1PA.PB.PC

92. y=f(x)关于y=x对称的函数为x=f(y);关于y=-x对称的函数为-x=f(-y)
93. 有关复数的模的运算：
z1.z2=z1.z2 z1z2=z1z2 zn=zn
94. 立体几何中，面方程的求法：
面ABC与x轴交于(a,0,0),y轴交于(0,b,0),z轴交于(0,0，c)，则类比直线方程，面ABC的方程为：xa+yb+zc=1
面ABC中，A(a,b,c),设面中任意一点P为(x,y,z),面ABC的法向量n为(n,m,k),则根据AP. n=0，可得面方程为：n(x-a)+m(y-b)+k(z-c)=0
95. 立体几何中，直线方程的求法：
直线AT中A(a,b,c),设T为(x,y,z), AT与n共线，n为(n,m,k)，则有x-an=y-bm=z-ck，故直线AT的参数方程为：x=a+nty=b+mtz=c+lt (t为参数)，故类似平面直线的参数方程，前面的常数为直线上的一点，而t前的系数为方向量。
96. 函数渐近线分为三种：水平渐近线垂直渐近线斜渐近线，其中斜渐近线的求法：
若函数y=f(x)存在斜渐近线y=kx+b，则：
k=limx→+∞f(x)x, b=limx→+∞fx-kx
97. 积化和差：
sinαcosβ=12sinα+β+sin⁡(α-β）
cosαcosβ=12cosα+β+cos⁡(α-β）
sinαsinβ=-12cosα+β-cos⁡(α-β）
若积为异名，则用sin；若为同名，则用cos
同名时，cos用“+”，sin用“-”
98. 和差化积：
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2
sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2
cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2
和只能是同名的
“sin+”时，对应sin在前，cos在后
“sin-”时，对应cos在前，sin在后
“cos+”时，对应+cos
“cos-”时，对应-sin
99. 对于复杂的三角函数，若给的是和的形式，则周期为各项周期的最小公倍数；若给的是积的形式，则要用积化和差，化为和的形式，再用上述结论。
100. 立体几何中，三个面相交，三条交线有两种情况：平行交于一点
101. a∥c是(a. b). c=a.( b. c)的充要条件
102. 经过正方体体心的面，其面积为定值
103. 直角梯形中，DC=AE=EB，则O为BD靠D的三等分点，可通过△DOC∽△A0B证明

104. ab＜a-blna-lnb＜a+b2
105. 二次曲线极坐标方程：ρ=ep1-ecosθ，若e＞1，则为双曲线；e=1，则为抛物线；0＜e＜1，则为椭圆。p为焦准距，椭圆与双曲线的p=b2c(焦点与准线的距离，准线为a2c，对于椭圆：a2c-c=b2c；对于双曲线：c-a2c=b2c)
106. 若∠POA=∠POB，在直线OP上任意一点做面α的垂线，垂足P1一定在∠AOB的角平分线上。

107. 四棱柱的特点是是个侧面都是平行四边形
108. 防止洛必达被扣分的写法(实际上就是推导了一遍)：例如f(x)=x-2ex+e(x-1)2 设f1(x)= x-2ex+e
f2(x)= (x-1)2 ∴f1(1)= f2(1)=0
limx→1+f(x)=limx→1+f1(1)f2(1)=limx→1+f1x-f11x-1f2x-f21x-1=limx→1+f1'(1)f2'(1)
109. 抛物线y²=2px中，若OA⊥OB，则C为(2p,0)

110. 抛物线中，AO交准线于D，AB过焦点，则BD平行x轴(逆过程也成立，即AD会过原点)

111. f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(x),则“任意x1、x2∈R，且x1≠x2，f(x1)-f(x2)x1-x2＜2017”是“f'(x)＜2017”的充分不必要条件。
可从f(x)=x³去理解，f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，而f'(x)≥0
112. 托密勒不等式：对于凸四边形有AD.BC+DC.AB≥AC.BD

113. tanx的中心对称点还包括了不存在的点，即x=π2+kπ，所以tanx 的中心对称点为x=kπ2
114. 若a+β+γ=90°，则tan(α+β)tanγ=1
115. 椭圆中，kPA.kPB为定值

116. 若过准线的直线AB和CD关于x轴对称，则直线AC和BD交于焦点

117. 正方体中，类似墙角的三条边，AB、AD、AA1会与类似△AB1D1这样的等边三角形所成角相等

118. 圆柱被平面截开得到的几何体，其展开图形大致为正弦曲线

119. S△AOE=S2' S△EOF=S3' S△AOF=S4',证明：S1²=S2²+S3²+S4²
即证：S1(S2'+S3'+S4')=S2²+S3²+S4²
下面证S1S2'=S2² S1S3'=S3² S1S3'=S3²
根据射影定理有PH²=HO.HF,即14 PH².AE²=14 HO.HF.AE²→ (12AE.PH)²=(12AE.HO).(12AE.HF)→S2²=S1S2'

120. 奇函数的导数为偶函数
121. 残差图中反映回归模型拟合精度教高的体现是残差的点都是在水平线附近。如果残差的点呈y=kx+b(k＞0)趋势变化，则表明残差随x的增大而增大，但是这种误差是可以修正的，只需要在回归方程中减去一个(kx+b)即可。
122. 抛物线y²=2px的参数方程为x=2pt2y=2pt (t为参数)，其中t表示除顶点外任意一点与原点连线的斜率的倒数
123. 双曲线x2a2-y2b2=1的参数方程为x=acosθy=btanθ(θ为参数)
124. 过抛物线准线与x轴的交点的直线，交抛物线与AB，B的关于x轴的对称点为C，则直线AC过焦点。

125. 抛物线y²=2px，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若AFBF=n，则该直线的斜率k=±2nn-1

抛物线x²=2py，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若AFBF=n，则该直线的斜率k=±n-12n

126. 三角锥中，比较四条高的大小，如果不好算，可以转化为比较四个面的面积。
127. 椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中,内接矩形的最大面积为2ab(均值不等式可证)
128. 椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，P、Q为椭圆上任意两点，且OP⊥OQ，则有1OP2+1OQ2=1a2+1b2

129. 椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中,P为椭圆上一点，M是△PF1F2的内心，延长PM交x轴于N，则有PMMN=ac

130. 所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中x、y的取值范围。
131. 等差数列an中
项数为2n时，有S奇S偶=anan+1
项数为2n-1时，有S奇S偶=nn-1
132. 1+2²+3²+...+n²=16n(n+1)(2n+1)
133. 1+2³+3³+...+n³=12n(n+1)2
134. 1nn+1(n+2)=121n(n+1)-1n+1(n+2)
135. 随机变量δ～N(μ,σ2),其概率密度为f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2
E(δ)=μ，D(δ)=σ2
136. 经过点(p0,θ0)且倾斜角为α的直线的极坐标方程为：
ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)
证明：可通过先化为直角坐标方程，再写成极坐标。
137.