高中数学复习专题一函数图象问题.doc

专题一 函数图象问题
数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.
一、知识方法
1． 函数图象作图方法
（1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与、轴的交点，端点，极值点等））、连线（注意关键线：如；对称轴，渐近线等）
（2）利用基本函数图象变换。
2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。
（1）平移变换
① 水平平移：函数的图象可以把函数的图象沿轴方向向左 或向右平移个单位即可得到；
② 竖直平移：函数的图象可以把函数的图象沿y轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
（2）对称变换
① 函数的图象可以将函数的图象关于轴对称即可得到；
② 函数的图象可以将函数的图象关于轴对称即可得到；
③ 函数的图象可以将函数的图象关于原点对称即可得到；
（3）翻折变换
① 函数的图象可以将函数的图象的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
② 函数的图象可以将函数的图象右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．
（4）伸缩变换
① 函数的图象可以将函数的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
② 函数的图象可以将函数的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长()或压缩为原来的倍得到．
3．函数图象的对称性：对于函数，若对定义域内的任意都有
①（或，则的图象关于直线对称；
②（或，，则的图象关于点对称.
4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象
5、作函数图象的一般步骤：
（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利用描点法或图象变换作图
6．判断函数图象的方法
判断函数图象是高考中经常出现的内容，大多属于简单题，值得重视。常用方法有：
（1）取点（描点）
（2）考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面
（3）利用平移
（4）利用基本形状
4．应用：利用函数图象解决有关问题，即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。
二、题型演练
题型一、作函数的图像
例1、作出下列函数的图象.
（1）y=(lgx+|lgx|);（2）y=;（3）y=|x|.
解 （1）化简解析式得y=利用对数函数的图像即得图（1）
（2）由y=,得y=+2.
作出y=的图象，将y=的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得y=+2的图象如图（2）.
（3）作出y=（）x的图象，保留y=（）x图象中x≥0的部分，加上y=（）x的图象中x＞0的部分关于y轴的对称部分，即得y=（）|x|的图象.如图（3）

（1） （2） （3）
例2、作出的图象.
［分析］利用图象变换作图（如图）
解：第一步：作出的图象（图①）.
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位得的图象（图②）.
第三步：将的图象在轴下方的图象，以轴为对称轴对称到轴的上方得的图象）（图③）.
第四步：将的图象沿轴方向向上平移2个单位，得到的图象（图④）.

［评注］运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把点取在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
题型二、已知两个函数解析式，指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换，求另一个解析式。
例3．说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像．
解：方法一：
（1）将函数的图像向右平移3个单位，得到函数的图像；
（2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像；
（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．
方法二：
（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像；
（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像；
（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．
例4、已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．求函数y＝g(x)的解析式．
解：由已知，将函数f(x)＝log2(x＋1)的图象向左平移一个单位，得到y＝log2(x＋1＋1)的图象，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)＝2log2(x＋2)的图象．
故g(x)＝2log2(x＋2)．

题型三、选择正确的函数图象
例5．如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，恒成立”的只有（ ）

解：的自变量为的中点，对应的函数值即“中点的纵坐标”，为自变量对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”。再结合函数图象的凹凸性，可得到答案A，这是函数凹凸性的基本应用。故选A。
例6、已知，且1，函数与的图象只能是图中的（ ）

［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数对图象的影响。
解：解法一：首先，曲线只可能在上半平面，只可能在左半平面上，从而排除A、C。
其次，从单调性着眼，与的增减性正好相反，又可排除D。
解法二：若，则曲线下降且过点(0,1)，而曲线上升且过，以上图象均不符合这些条件. 若时，则曲线上升且过(0,1)，而曲线下降且过，只有B满足条件。
解法三：如果注意到的图象关于轴的对称图象为，又与互为反函数（图象关于直线对称），则可直接选定B。
［答案］B
例7函数与函数的图象如右，
则函数·的图象是（ ）

解：由图象可知，是偶函数，是奇函数，且与的公共定义域为，排除C、D。令·，则·，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B。故选A。
题型四、函数图象的应用
例8、若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．
解：（1）当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图(1)所示，

由已知得0＜2a＜1，∴0＜a＜.
（2）当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图(2)所示，
由已知可得0＜2a＜1，∴0＜a＜，但a＞1，故a∈.
综上可知，0＜a＜.
例9、已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。
解：解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，
即f(0)=0,得d=0，
又f(x)的图象过(1，0)，
∴f(1)=a+b+c=0　　　①
又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ②
①+②得b＜0，故b的范围是(－∞，0)
解法二：如图f(x)=0有三根0，1，2，
∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，
∴b=－3a，
∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，
∴b＜0。
[评注]通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。
例10（1）试作出函数的图像；
（2）对每一个实数，三个数中最大者记为，试判断是否是的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？
解：（1）令，∵∴为奇函数，从而可以先作出时的图像，再利用的图像关于原点对称可得时的图像。又∵时，
∴时，的最小值为2，图像最低点为，
又∵在上为减函数，在上是增函数，
同时即以为渐近线，
于是时，函数的图像应为下图①，图象为图②

③

①

②

（2）是的函数,作出的图像可知，的图像是图③中实线部分．定义域为；值域为；单调增区间为；单调减区间为；当时，函数有最小值1；函数无最大值．
【评注】解决图像的应用问题，准确地做出图像是问题的关键。
小结：函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换等。注意：平移、伸缩变换的先后次序对变换的影响，可结合具体问题阐述如何进行平移、伸缩变换。
习题一
1．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象只可能是

2．函数y= 的图象 （ ）
A.关于点(-2,3)对称 B.关于点(2,-3)对称
C.关于直线x= -2对称 D.关于直线y= -3对称。
3、设函数若则关于x的方程的解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4、方程的实根的个数为（ ）A：0 B：1 C：2 D：3
5．为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）
A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
6定义运算则函数f(x)=的图象是

7。要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。

8。已知是偶函数，则的图像关于__________对称；已知是偶函数，则函数的图像关于____________对称.
9、写出函数的图像经过怎样的变换可得到函数的图像。
10、 若,则方程有几个实根
11、设曲线C的方程是,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线。 (1)写出曲线的方程；(2)证明曲线C与关于点对称。
12、试讨论方程的实数根的个数。