资源描述
1.1 命题
学习目标 1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.
知识点一 命题的概念
思考1 给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④5能被4整除.
请你找出上述语句的特点.
答案 上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.
梳理 (1)定义
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.
(2)分类
①真命题：判断为真的语句叫作真命题；
②假命题：判断为假的语句叫作假命题.
知识点二 命题的形式
思考1 你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？
答案 若两个角为内错角，则这两个角相等.
思考2 “内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？
答案 是命题，是假命题.
梳理 命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
由p能推出q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.
知识点三 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.
梳理 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.
把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
知识点四 四种命题的关系及其真假判断
思考1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
答案 互逆、互否、互为逆否.
思考2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题.
梳理 (1)四种命题的相互关系
(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.
(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.
类型一 命题的概念
例1 下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1，2，3}中的元素.
其中是命题的是________.(填序号)
答案 (1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).
反思与感悟 一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.
其流程图如图：
跟踪训练1 下列语句中，是命题的为________.
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
答案 ①④
解析 ②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.
类型二 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；
(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；
(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.
解 (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.
(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.
(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练2 命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
答案 B
解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.
命题角度2 四种命题的相互关系
例3 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.同一命题
答案 B
解析 已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数.
命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.
反思与感悟 (1)判断四种命题之间四种关系的两种方法
①利用四种命题的定义判断；
②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.
(2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪训练3 有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②一个实数不是正数就是负数；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是________.
答案 1
解析 ①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题.
②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.
③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，
解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，
而x＝4>－3不是不等式的解，
故是假命题.
④“相等的角是同位角”，是假命题.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.
解 方法一 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥≥1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真.
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假.
解 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题.
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.
1.下列语句是命题的是( )
A.2 014是一个大数
B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点
C.对数函数是增函数吗
D.a≤15
答案 B
解析 A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.
2.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
答案 D
解析 只要分清命题中的条件和结论即可.
3.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
答案 B
解析 否命题是既否定条件又否定结论.
因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.
4.命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A.0 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题.
该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题.故选B.
5.给出以下命题：
①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.
其中为真命题的是________.
答案 ①③
解析 ①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题.
②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题.
③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.
1.可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变.
3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定和结论q的否定；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题.
4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.
40分钟课时作业
一、选择题
1.下列语句中，不能成为命题的是( )
A.5>12
B.x>0
C.已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0
D.三角形的三条中线交于一点
答案 B
解析 A是假命题，C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题.
2.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
答案 D
解析 对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.
3.已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”
B.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”
C.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”
D.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”
答案 B
解析 “若a>0且b>0，则ab>0”是真命题，又“若a>0且b>0，则ab>0”是“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”.
4.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>2 016，则x>0”的逆命题
B.命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题
C.命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”
D.命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
答案 B
解析 A选项，“若x>2 016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2 016”是假命题；B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题.
5.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A.互逆命题 B.互否命题
C.互为逆否命题 D.以上都不正确
答案 A
6.已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题.
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
7.下列命题：(1)若“a2<b2，则a<b”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；(3)“若a≥0，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；(4)“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”.其中正确的命题是( )
A.(3)(4) B.(1)(3)
C.(1)(2) D.(2)(4)
答案 A
解析 对于(1)，逆命题是“若a<b，则a2<b2”，易知是假命题；
对于(2)，否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，易知是假命题；
对于(3)，结论成立的条件是
a＝0或
故a≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，
所以(3)正确；
对于(4)，若x为有理数，则x必为无理数，因为x为有理数，故x为无理数，则(4)正确，故选A.
二、填空题
8.已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________________________________________________，
q是________________________________________________________________________.
答案 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段的两个端点的距离相等
9.已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________.
答案 若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2
解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.
10.在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________.
答案 1
解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
11.给定下列命题：
①若k>0，则方程x2－2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题.
其中真命题的序号是________.
答案 ①②④
解析 ①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴①是真命题.
②其逆否命题为真，故②是真命题.
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.
④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题.
三、解答题
12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.
解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致，
所以只需判断原命题的真假即可.
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，
所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.
13.已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
证明 假设a＋b<0，则a<－b.
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，又∵f(x)为奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b).
即f(a)＋f(b)<0.
∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.
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