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选修2-2 3.1.2 复数的几何意义
一、选择题
1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )
A．a>0，b<0
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
[答案] D
[解析] 复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D.
2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案] C
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
3．当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴Z点在第三象限．故应选C.
5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5
＝－(b－2)2－1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[答案] C
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C.
7．下列命题中假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0⇔.⇔|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( )
A．－<x<2
B．x<2
C．x>－
D．x＝－或x＝2
[答案] A
[解析] 由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，
解之得－<x<2.故应选A.
9．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，则实数b适合的条件是( )
A．b<－1或b>1
B．－1<b<1
C．b>1
D．b>0
[答案] B
[解析] 由|z1|<|z2|得<，
∴b2<1，则－1<b<1.
10．复平面内向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案] C
[解析] 由题意＝，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.
二、填空题
11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．
[答案] ∪
[解析] 复数z对应的点在第一象限
需解得：m<或m>.
12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
[答案] ±15－8i
[解析] 设复数z＝a－8i，由＝17，
∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．
[答案] 3<m<5
[解析] 将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵复数z对应点位于复平面上的第二象限
∴解得3<m<5.
14．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝＋i的模的取值范围是________．
[答案] [，＋∞)
[解析] |z|2＝2＋2≥2·＝2.
∴|z|≥.
三、解答题
15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
[解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.
(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0<m<2.
(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，
则＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
16．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．
[解析] |z1|＝，|z2|＝|x2＋a|
因为|z1|>|z2|，所以>|x2＋a|
⇔x4＋x2＋1>(x2＋a)2⇔(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．
不等式等价于1－2a＝0或
解得－1<a≤
所以a的取值范围为.
17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，当θ为何值时
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|<.
[解析] (1)z1＝z2⇔
⇒⇒θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
⇒⇒
⇒θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|<⇒<
⇒3sin2θ＋cos2θ<2⇒sin2θ<
⇒kπ－<θ<kπ＋(k∈Z)．
18．已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求||及||的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解析] (1)||＝|＋i|＝＝2
||＝＝1.∴||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．
|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，
∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．
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