八年级数学二次根式的性质与运算练习题及答案.doc

二次根式的性质与运算
练习题
温故而知新：
1.二次根式的概念
定义：一般地，我们把形如___（a≥0）的式子叫做二次根式，符号“”称为二次根号.
2.二次根式的性质
（1）（a≥0）是一个非负数；
（2）（）2＝a（a≥0）；
（3）.
3.二次根式的乘法
___________(a≥0，b≥0).
4.二次根式的除法
___________(a≥0，b>0).
5.积的算术平方根的性质
=_____________(a≥0，b≥0).
6.商的算术平方根的性质
___________(a≥0，b>0).
7.最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.
8.二次根式的加减
二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

例1 （2013·娄底）使式子有意义的x取值范围是 ( )
A.x≥-，且x≠1 B. x≠1
C. x≥- D. x>-，且x≠1

解析：根据二次根式有意义的条件可得2x+1≥0，解得x≥-；
由分式有意义的条件可知x-1≠0，即x≠1；
综上可知x≥-，且x≠1.

答案：A

小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为0.

举一反三：
1.（2012·南充）在函数y=中，自变量x的取值范围是( )
A. x ≠ B. C. D.

解析：由二次根式有意义的条件可知1-2x≥0，解得；由分式有意义的条件可知≠ 0，即x ≠；所以x的取值范围是.

例2 （2012·全国竞赛）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为 ( )
A.2c-a B.2a-2b
C.-a D.a

解析：观察数轴可知b<a<0<c，；
a+b<0，c-a>0，b+c<0；
=-a+（a+b）+（c-a）-（b+c）=-a.

答案：C

小结：解本题的关键是从数轴上获取信息，从而确定a，a+b，c-a，b+c的符号.

例3 已知 x y>0，化简二次根式x的正确结果为 ( )
A. B. C.- D.-

解析：由x y>0可知x>0且y>0或x<0且y<0；
由二次根式有意义的条件可知，又x2>0，所以-y>0，即y<0，所以x<0且y<0；
方法一：x=x·=x·=x·=；
方法二：x=-（-x）·=-·=-=.

答案：D

举一反三：
4.已知x<1，则化简的结果是（ ）
A.x-1
B.x+1
C. -x-1
D.1-x

解析：===1-x.

5.若整数m满足条件且，则m的值是_________.

解析：由得m+1≥0，m≥-1，所以-1≤<1；又因为m是整数，所以m的值是-1或0.

6.把（a-2）根号外的因式移到根号内后，其结果是______________.

解析：由二次根式有意义的条件可知>0，即2-a>0，所以（a-2）=
-（2-a）=-·=-=-.

例4 若，则x-y的值为（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3

解析：根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0且1-x≥0，解得x=1；
所以=0-0=0，所以（1+y）2=0，y=-1；
x-y=1-（-1）=2.

答案：C

小结：非负数有如下几个性质:(1)有限个非负数的和为非负数；(2)非负数与正数之和为正数；(3)有限个非负数的和为0,则每个非负数都为0.

例5 已知实数a满足，则a-20142的值为_______.

解析：根据二次根式有意义的条件可得a-2015≥0，解得a≥2015；
所以可化为，整理得
；
两边同时平方，整理可得a-20142=2015.

答案：2015

小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时，要谨记：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用.

例6 已知非零实数a，b满足，则a+ b等于（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2

解析：由
得≥0，所以=2a-4，
所以，即；
由几个非负数的和为0则这几个数都为0可知且，所以b+2=0，b=-2；（a-3）b2=0，a=3；
a + b=3+（-2）=1.

答案：C

小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于要能够想到将所给等式进行简单变形后，我们可以得到条件2a-4≥0，将等式化简为我们常见的几个非负数之和为零的形式，进而可分别求出a，b的值，进一步得到正确答案.常见的非负数有三种形式：、a2 、（a≥0）.

例7 已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b+=10a+-22，则△ABC为（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形

解析：将a2+b+=10a+-22的右边移到左边整理得（a-5）2+（-1）2+ =0；
由几个非负数的和为0则这几个数都为0可知，-1=0，=0，解得a=5，b=5，c=5；
所以a= b=c，故△ABC为等边三角形.

答案：B

小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2对所给等式进行变形，变形后再根据几个非负数的和为0则这几个非负数均为0分别求出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状.

举一反三：
2.若，则x y 的值为( )
A.8 B.2 C.5 D.-6

解析：根据可得x-2y=0，y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以
x y=8.

3.若a，b为实数，且满足，则b-a的值为（ ）
A.2 B.0 C.-2 D.以上都不对

解析：由可得a-2=0，-b2=0，所以a=2，b=0，所以b-a=0-2=-2.

7.已知a，b，c满足.
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.

解析：（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解；
（2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.