高中数学三角函数19三角函数的简单应用学案北师大版必修.doc

§9　三角函数的简单应用

1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点)
2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)

[基础·初探]
教材整理　三角函数模型的应用
阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题．
1．三角函数模型的应用
(1)根据实际问题的图像求出函数解析式．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
2．解答三角函数应用题的一般步骤

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x在第一象限内是增函数．(　　)
(2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.(　　)
(3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．(　　)
(4)函数y＝sin(πx－4)的周期为2.(　　)
【解析】　(1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝＋kπ(k∈Z)是y＝sin x的对称轴；(4)T＝＝2.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

三角函数在物理学中的应用
　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
【精彩点拨】　(1)求t＝0时所对应的电压．
(2)求函数的周期．(3)求函数的最值．
【自主解答】　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝(s)时第一次取得最大值．

由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象．

[再练一题]
1.如图1－9－1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：

图1－9－1
(1)经过多长时间，小球往复振动一次；
(2)这条曲线的函数解析式；
(3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移．
【解】　(1)由图像可知，周期T＝2×＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π s.
(2)由题意可设该曲线的函数解析式为
s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
从图像中可以看出A＝4，又＝π，所以ω＝2.
从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝，s＝4代入上式，
得sin＝1，所以φ＝.
故这条曲线的函数解析式为
s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin ＝2(cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.
[探究共研型]

三角函数的实际应用
探究1　建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？
【提示】(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型．
(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题．
(3)最后将所得结果翻译成实际答案．
探究2　如何建立拟合函数模型？
【提示】　(1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”．
(2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型．
(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．
探究3　由图像怎样确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b中的A和b.
【提示】　A＝，b＝.
　某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：

t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出曲线，如图1－9－2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin ωt＋b的图像．

图1－9－2
(1)试根据以上数据，求函数解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
【精彩点拨】　(1)根据题意确定A，b，ω，φ.
(2)根据题意水深y≥11.5可求解．
【自主解答】　(1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，
因此＝12，得ω＝.
∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.
∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.
∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．
∴当y≥11.5时就可以进港．
令y＝3sint＋10≥11.5，得sint≥，
∴＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．
因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．

根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．

[再练一题]
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图像可近似地看成函数y＝Acos ωt＋b的图像．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【解】　(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以
y＝cost＋1>1，cost>0，
2kπ－<t<2kπ＋，
即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．
又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，
所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9<t<15.
[构建·体系]

1．如图1－9－3所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是(　　)

图1－9－3
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【解析】　由图像可知，该质点的振动周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B.
【答案】　B
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A．60　　　 B．70　　　
C．80　　　 D．90
【解析】　∵T＝＝，∴f＝＝80.
【答案】　C
3．如图1－9－4所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【导学号：66470033】

图1－9－4
【解析】　设函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则由题意得
A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，
∴ω＝＝π.又π×0.1＋φ＝，∴φ＝，
∴解析式为y＝2 sin.
【答案】　y＝2sin
4．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
【解析】　在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．

根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又∵0<A≤2，
函数图象过点(4，－2)，∴A＝2，
∵函数图象过点(0,1)，∴2sin φ＝1.
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
∴函数的最小正周期为6.
∴ω＝.
【答案】　y＝2sin
5．如图1－9－5，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

图1－9－5
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【解】　(1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)b＝＝40，A×1＋40＝50⇒A＝10，
由图可知，＝14－8＝6，
则T＝12，ω＝＝，
则y＝10sin＋40，
代入(8,30)得φ＝，
∴解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．

我还有这些不足：
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我的课下提升方案：
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