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选修2-2 1.5.3 定积分的概念
一、选择题
1．定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
[答案] A
[解析] 由积分的几何意义可知(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.
2．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关
[答案] A
[解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确．
3．下列说法成立的个数是( )
①f(x)dx＝(ξi)
②f(x)dx等于当n趋近于＋∞时，f(ξi)·无限趋近的值
③f(x)dx等于当n无限趋近于＋∞时，(ξi)无限趋近的常数
④f(x)dx可以是一个函数式子
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 由f(x)dx的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A.
4．已知f(x)dx＝56，则( )
A.f(x)dx＝28 B.f(x)dx＝28
C.2f(x)dx＝56 D.f(x)dx＋f(x)dx＝56
[答案] D
[解析] 由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形知由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．
∴f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx
即f(x)dx＋f(x)dx＝56.
故应选D.
5．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于( )
A．6 B．6(b－a)
C．36 D．不确定
[答案] C
[解析] ∵f(x)dx＝6，
∴在6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.故应选C.
6．设f(x)＝则－1f(x)dx的值是( )
[答案] D
[解析] 由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.
7．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则
B．若f(x)是连续的偶函数，则
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
[答案] D
[解析] 本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
[答案] B
9．利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分－1[(tanx)11＋(cosx)21]dx＝
( )
A．2[(tanx)11＋(cosx)21]dx
B．0
C．2(cosx)21dx
D．2
[答案] C
[解析] ∵y＝tanx为[－1,1]上的奇函数，
∴y＝(tanx)11仍为奇函数，而y＝(cosx)21是偶函数，
∴原式＝－1(cosx)21dx＝2(cosx)21dx.故应选C.
10．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值( )
A．小于零 B．等于零
C．大于零 D．不能确定
[答案] B
[解析] f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
二、填空题
11．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积可以写成________．
[答案]
[解析] 由定积分的几何意义可得．
12.(2x－4)dx＝________.
[答案] 12
[解析] 如图A(0，－4)，B(6,8)
S△AOM＝×2×4＝4
S△MBC＝×4×8＝16
∴(2x－4)dx＝16－4＝12.
13．(2010·新课标全国理，13)设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为________．
[答案]
[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖．
[解析] 因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，即f(x)dx＝.
三、解答题
15．利用定积分的几何意义，说明下列等式．
[解析] (1)2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1.
(2)－1dx表示由曲线y＝，直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积(而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上面的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，
16．利用定积分的性质求dx.
[解析] y＝，y＝sin3x均为[－1,1]上的奇函数，而对于f(x)＝，
∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
此函数为奇函数．
∵S＝·2＝(i)2
＝·n(n＋1)(2n＋1)
＝
∴S＝li ＝
即2x2dx＝2×＝
17．已知函数f(x)＝)，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
[解析] 由定积分的几何意义知
＝π2－4.
18．利用定积分的定义计算xdx.
[解析] (1)分割：将区间[a，b]n等分，则每一个小区间长为Δxi＝(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在小区间[xi－1，xi]上取点：ξi＝a＋(i＝1,2，…，n)．
Ii＝f(ξi)·Δxi＝·.
(3)求和：In＝(ξi)·Δxi
＝·
＝
＝
＝
＝(b－a)
(4)求极限：xdx＝liIn
＝li (b－a)
＝(b－a)＝(b2－a2)．
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