高中数学曲线与方程.doc

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9.9 曲线与方程
一、填空题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是________．
解析　(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
∴或
故此方程表示两个点．
答案　两个点
2．方程|y|－1＝表示的曲线是________．
解析　原方程等价于
⇔
⇔或
答案　两个半圆
3. 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为_______．
解析 考查抛物线定义及标准方程,知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为.
答案
4．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为________．
解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，
由＝λ得(λ＞0)，
∴
由于x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴M的轨迹为椭圆．
答案　椭圆
5.设P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 .
解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得.
答案
6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．

解析　由条件知PM＝PF.
∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.
∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．
答案　椭圆
7．若△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
解析　如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．

答案　－＝1(x>3)
8．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜.
其中所有正确命题的序号为________．
解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当即时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示双曲线．
答案 ③④　
9．在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．
解析　由正弦定理得－＝×，
∴AB－AC＝BC，由双曲线的定义知动点A的轨迹为双曲线右支．
答案　－＝1(x>0且y≠0)
10．已知P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是______________．
解析　由＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1(a＞b＞0)．

答案　＋＝1(a＞b＞0)
11．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
解析　设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
即
消去r得动点M满足的几何关系为d22－d21＝25，
即－＝25.
化简得(x＋1)2－y2＝65.
此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．
答案　(x＋1)2－y2＝65
12．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是______．
解析　(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
答案　x＋y＝1(x≠0，x≠1)
13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是________．
解析　在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等，∴|x|＝，
∴x2－y2＝a2，故该轨迹为双曲线．

答案　双曲线
二、解答题
14.求过直线x-2y+4=0和圆1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:
(1)过原点;
(2)有最小面积.
解析 设所求圆的方程是+4)=0,
即.
(1)因为圆过原点,所以即.
故所求圆的方程为.
(2)将圆系方程化为标准式,有:
.
当其半径最小时,圆的面积最小,此时为所求.
故满足条件的圆的方程是.
点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
15．如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．

(1)求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；
(2)过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于点B)，且它们的斜率k1，k2满足k1k2＝－，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标．
解析　(1)由题意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)．
所以直线DE的方程为y＝x－2，直线BP的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以直线DE与直线BP的交点坐标为.
因为＋＝1，
所以点在椭圆＋＝1上．
即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
(2)设直线BR的方程为y＝k1x＋2.
解方程组
得或
所以点R的坐标为.
因为k1k2＝－，所以直线BS的斜率k2＝－.
直线BS的方程为y＝－x＋2.
解方程组得或
所以点S的坐标为.
所以点R，S关于坐标原点O对称．
故R，O，S三点共线，即直线RS过定点O.
16．已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若点P是圆O上的一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；
(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与点A、B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．
解析　(1)因为a＝，e＝，所以c＝1.
则b＝1，即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为P(1,1)，所以kPF＝，所以kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.
又椭圆的左准线方程为x＝－2，所以点Q(－2,4)．
所以kPQ＝－1.又kOP＝1，所以kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．
(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切．
证明如下：
设P(x0，y0)(x0≠0，±1)，则y＝2－x，所以kPF＝，kOQ＝－.
所以直线OQ的方程为y＝－x.
所以点Q.
所以kPQ＝＝＝＝－，又kOP＝，
所以kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切．
17．如图，在直角坐标系中，A、B、C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO＝m(m为常数)，平面的点P满足PA＋PB＝6m.

(1)试求点P的轨迹C1的方程；
(2)若点(x，y)在曲线C1上，求证：点一定在某圆C2上；
(3)过点C作直线l与圆C2相交于M、N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．
解析　(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A、B为焦点的椭圆，
且半焦距长c＝m，长半轴长a＝3m，则C1的方程为＋＝1.
(2)若点(x，y)在曲线C1上，则＋＝1.设＝x0，＝y0，
则x＝3x0，y＝2y0.
代入＋＝1，得x＋y＝m2，
所以点一定在某一圆C2上．
(3)由题意，得C(3m,0)．
设M(x1，y1)，则x＋y＝m2.①
因为点N恰好是线段CM的中点，所以N.
代入C2的方程得2＋2＝m2.②
联立①②，解得x1＝－m，y1＝0.
故直线l有且只有一条，方程为y＝0.
18．在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)，B(4,0)，动点P与点A、B连线的斜率之积为－.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.
①求圆M的方程；
②当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
解析　(1)设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为
k1＝，k2＝.
由题意，知·＝－，即＋＝1(x≠±4)．
所以动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠±4)．
(2)①由题意，得C(0，－2)，A(－4,0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.
设M(a,2a＋3)(a＞0)，则⊙M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.
圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋2，得a＝.
所以⊙M的方程为2＋(y－r－3)2＝r2.
②假设存在定直线l与动圆M均相切．
当定直线的斜率不存在时，不合题意．
设直线l∶y＝kx＋b，
则＝r对任意r＞0恒成立．
由＝r，
得2r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.
所以解得或
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．

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