高中数学数形结合.doc

数形结合
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
一、联想图形的交点
例1.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。
例2.

练习：设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）
答案C
二、联想绝对值的几何意义
例1、已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。
因为不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即而：函数在上单调递减，即
由题意可得：
三、联想二次函数
例1、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为
分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。
设。又为偶函数，由图可知
四、联想反函数的性质
例1、方程的实根分别为，则=
解：令
互为反函数，其图象关于对称，设 即
六、联想斜率公式
例1.

例2、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。
解：数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。
令，则由已知有得到
这个二元一次不等式组的解为内的点的集合由的几何意义为过点和点的直线的斜率
由此可以看出：即的取值范围是。
练习： 答案D

五、联想两点间的距离公式
例1、设，求证：
解：不妨设，构造如图的，其中
则
在中，有
六、联想点到直线的距离公式
例1、已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。
解：
要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可
即点到直线的距离，
而
七、联想函数奇偶性
例1、设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则
解：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，
则奇函数可得：，则又由对称性知：同理：
0
八、其它简单方法：
例1.
解：
，
课后练习：
1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
4. 若方程上有唯一解，求m的取值范围。
5. 设，试求下述方程有解时k的取值范围。。
练习答案1. C 2. D 提示：画出的图象
情形1： 情形2：
3. A
4.解：原方程等价于
令，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。
5.解：将原方程化为：，
∴
令，它表示倾角为45°的直线系，
令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，
∵原方程有解， ∴两个函数的图象有交点，由下图，知
∴ ∴k的取值范围为
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