高考复习：极坐标参数方程练习题.doc

极坐标参数方程练习题
1．(导学号：05856335)[选修4－4：坐标系与参数方程]
以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知A(2，π)，B(2， )，圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.F为圆C上的任意一点．
(Ⅰ)写出圆C的参数方程；
(Ⅱ)求△ABF的面积的最大值．
2．(导学号：05856289)[选修4－4：坐标系与参数方程]
直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2(sinθ＋cosθ)，直线l的参数方程为： (t为参数) .
(Ⅰ)写出圆C和直线l的普通方程；
(Ⅱ)点P为圆C上动点，求点P到直线l的距离的最小值．
3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0.
(1)求直线l与曲线C的普通方程；
(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M(2，0)，求的值.
4．[选修4－4：坐标系与参数方程]
平面直角坐标系xOy中，射线l：y＝x(x≥0)，曲线C1的参数方程为 (α为参数)，曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
(Ⅰ)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；
(Ⅱ)已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值．
5．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为 (t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.
(Ⅰ)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为普通方程；
(Ⅱ)C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．
6．已知直线l： ，曲线C：
(1)当m＝3时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围.
7．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（， 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；
（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.
8．已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点.
(1)求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；
(2)求的值.
9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
10．已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为，
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．
(1)求|AB|的长；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．
12．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.
（1）求曲线在极坐标系中的方程；
（2）求直线被曲线截得的弦长.
13．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l的参数方程是 (t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

15．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 (θ为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝t(其中t为常数)．
(Ⅰ)若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的值；
(Ⅱ)当t＝－1时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．
16．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l的参数方程为 (t为参数)，若l与C交于A，B两点．
(Ⅰ)求|AB|；
(Ⅱ)设P(1,2)，求|PA|·|PB|的值．

参考答案
1．(1) (2) 9＋2
【解析】试题分析：（1）圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程，利用cos2α+sin2α=1可得参数方程．
（2）A（2，π），B（2， ），分别化为直角坐标：A（﹣2，0），B（0，2）．可得|AB|=2，直线AB的方程为：x﹣y+2=0．因此圆C上的点F到直线AB的距离取得最大值时，△ABF的面积取得最大值．
试题解析：
(Ⅰ)因为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0，故x2＋y2－6x＋8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝4，故圆C的参数方程为 (θ为参数).
(Ⅱ)易知A(－2,0)，B(0,2)，故直线AB的方程为x－y＋2＝0，
点F(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，
△ABF的面积S＝×|AB|×d
＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|2sin(－θ)＋9|，
所以△ABF面积的最大值为9＋2.
2．(1) (x－1)2＋(y－1)2＝2 , x－y－3＝0 (2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知圆C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ），即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ），利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程为： （t为参数），消去参数t可得普通方程．
（Ⅱ）由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离为d，进而得出．
试题解析：
(Ⅰ)由已知ρ＝2(sinθ＋cosθ)得
ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，
所以x2＋y2＝2y＋2x，即圆C的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2.
由得y＝－1＋(x－2)，所以直线l的普通方程为x－y－3＝0.
(Ⅱ)由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径，
令圆心C到直线l的距离为d，
则d＝＝>，
所以最小值为－＝.
3．(1)y＝ (x－2)；y2＝4x.(2) .
【解析】试题分析：
（1）利用三种方程的转化方法，求直线与曲线的普通方程即可；
（2）直线的参数方程，代入，整理可得，利用参数的几何意义，即可求得的值.
试题解析：
(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数，得普通方程y＝
(x－2).
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0，直角坐标方程为y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝4x，整理可得3t2－8t－32＝0，
设A、B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，
∴＝＝.
4．(1) (2)
【解析】试题分析：（1）因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)，把曲线C1的参数方程化为普通方程；（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，进而表示|MN|的值即可.
试题解析：
(Ⅰ)依题意，因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)；
因为曲线C1：故曲线C1：＋＝1.
(Ⅱ)曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4，故x2＋y2－4y＝0，
故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，
故|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.
5．(Ⅰ)C2是圆，C2的普通方程是：(x－1)2＋y2＝4.(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）C2是圆，利用极坐标方程与普通方程转化方法，将C2的方程化为普通方程；（2）利用参数的几何意义，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．
试题解析：
(Ⅰ)C2是圆，C2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，
化为普通方程：x2＋y2－2x－3＝0即：(x－1)2＋y2＝4.
(Ⅱ)P的极坐标为，
平面直角坐标为(1,1)，在直线C1上，
将C1的参数方程为(t为参数)
代入x2＋y2－2x－3＝0中得：
2＋2－2－3＝0
化简得：t2＋t－3＝0 设两根分别为t1，t2，
由韦达定理知：
所以AB的长|AB|＝|t1－t2|
＝＝＝，
定点P到A，B两点的距离之积
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.
6．(1)直线l与曲线C相切.(2)[－2，4].
【解析】试题分析：（1）分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d与半径比较即可得出结论．
（2）曲线C上存在到直线l的距离等于的点，可得圆心C（1，0）到直线l的距离即得解.
试题解析：
（1）当 时，直线： ，展开可得： ，
化为直角坐标方程： ，
曲线C： ，利用平方关系化为: ．
圆心 到直线的距离 ， 因此直线l与曲线C相切．
（2）∵ 曲线C上存在到直线的距离等于的点，∴ 圆心C(0,1)到直线的距离 ， 解得 ．∴实数m的范围是．
点睛：本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离， ，利用三角函数求最值即可；
（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.
试题解析：
（1）直线的直角坐标方程为.
曲线上的点到直线的距离，
，
当时， ，
即曲线上的点到直线的距离的最大值为.
（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，
∴对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
∴.
又，∴解得，
∴实数的取值范围为.
8．(1) ；(2)4.
【解析】试题分析：
（1）根据直角坐标和极坐标系之间的转化关系可知，曲线的标准方程为，则其左焦点为，将其代入直线的参数方程，即可求得. （2）将直线的参数方程与曲线的方程联立，得，则， ，故.
试题解析：（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，
故，曲线的方程.
（2）直线的参数方程为，与曲线的方程联立，
得，则，
，故.
9．(1); (2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线与圆的方程化为直角坐标方程再联立求交点.最后再将交点转化为极坐标.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点的直角坐标,根据（Ⅰ）中与交点的直角坐标和中点坐标公式可得点的坐标,从而可求得直线的直角坐标方程.将直线的参数方程化为直角坐标方程,根据对应系数相等可得的值.
试题解析：
（Ⅰ）圆的直角坐标方程为,
直线的直角坐标方程为.
解得
所以与交点的极坐标为
注:极坐标系下的点表示不唯一.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点与点的直角坐标分别为,
故直线的直角坐标方程为.
由参数方程可得,
所以,解得.
考点：1直角坐标和极坐标的互化;2参数方程和直角坐标方程的互化.
10．（1）A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．（2）[32,52]
【解析】(1)由已知可得A，
B，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]
11．（1）（2）
【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.
所以|AB|＝|t1－t2|(＝5
(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.
由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.
12．（1）；（2）
【解析】试题分析：（I）通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数，得到曲线的直角坐标方程，在根据化简可得曲线在极坐标系中的方程；（II）利用普通方程求出交点坐标，得到弦长.
试题解析：（I）曲线的普通方程为，
即，将代入方程化简得.
所以，曲线的极坐标方程是.
（II）直线 的直角坐标方程为，
由得直线与曲线C的交点坐标为，
所以弦长.
考点：参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用.
13．(1) x2＋y2－2y＝0. (2)＋1
【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，
得y＝－ (x－2)．
令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为(2,0)．
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，
半径r＝1，则MC＝，
所以MN≤MC＋r＝＋1，即MN的最大值为＋1.
14．(1) x2＋(y－1)2＝1， x＋y－3＝0 (2) x＋y－1±＝0
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线与直线的普通方程；（Ⅱ）设所求直线方程为，由题知圆心（0，1）到直线的距离为，求出，即可求出直线的方程．
试题解析：(Ⅰ)曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，而直线l的普通方程为x＋y－3＝0.
(Ⅱ)设所求直线l′方程为x＋y＋m＝0，
由题知圆心(0,1)到直线l′的距离为
∴m＝
∴直线l′的方程为
15．(Ⅰ) t＝3± (Ⅱ)2－1.
【解析】试题分析：（1）由曲线M的参数方程化普通方程可得)M：(x－1)2＋(y－2)2＝1，由可得曲线N的普通方程N：x＋y＝t，由题意可得直线与圆相切，即圆心到直线距离等于半径，可求得t。(2) 当t＝－1时,由圆心到直线的距离减去半径即为两点距离最小值。
试题解析：(Ⅰ)M可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，N可化为x＋y＝t.
由得t＝3±.
(Ⅱ)当t＝－1时，直线N：x＋y＝－1，圆M的圆心到直线N距离d＝＝2>1，
∴曲线M上的点到曲线N上的点的最小距离为2－1.
【点睛】圆上点到直线距离的问题一般转化为圆心到直线的距离问题d，所以圆上点到直线距离的范围为。
16．(Ⅰ) (Ⅱ)1.
【解析】试题分析：(Ⅰ)将直线l的参数方程为带入圆的普通方程，化简得10t2－8t＋1＝0，利用参数t的意义求|AB|即可.
(Ⅱ)利用两点间的距离公式可得|PA|·|PB|=10|t1t2|＝1.
试题解析：(Ⅰ)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2＝2y，
把x＝1－t，y＝2－3t
代入上式得(1－t)2＋(2－3t)2＝2(2－3t)，
∴10t2－8t＋1＝0，则t1＋t2＝，t1t2＝，
(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝－＝，
∴|AB|＝
＝＝＝.
(Ⅱ)|PA|·|PB|
＝
＝＝10|t1t2|＝1.