工学第四章拉普拉斯变换.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第四章 拉普拉斯变换,本章要点,拉氏变换的定义,从傅立叶变换到拉氏变换,拉氏变换的性质，收敛域,连续时间系统响应的求解(,S,域,),系统函数和单位冲激响应,系统的零极点,4.1拉氏变换的定义,主要内容,重点,难点,定义的引出,拉氏正变换的推导,拉氏反变换的推导,拉氏变换的物理意义,拉氏变换的物理意义,0,-,系统,时域分析,：,(,零状态响应,),频域分析,：,频谱的概念,：,谱系数，,频谱密度,一.定义的引出,复频域分析,：,拉氏变换,付氏变换不存在的信号,，,拉氏变换可能存在,；,用拉氏变换求反变换,，,运算简单,。,采用拉氏变换的好处,拉氏变换的定义,从傅氏变换到拉氏变换,有几种情况不满足狄里赫利条件：,u(t),增长信号,周期信号,若乘一衰减因子,为任意实数，则,收敛，于满足狄里赫利条件,令,拉氏正变换的推导,则,拉氏正变换,其中,拉氏反变换的推导,拉氏逆变换,拉氏变换对,上两式为广义的付氏变换，,也称为双边拉氏变换,：,双边/单边拉氏变换,复频率,拉氏变换已考虑了初始条件,终值,初值，若有跳变则为,4.2拉氏变换的收敛,主要内容,重点,收敛域,单边拉氏变化的收敛域,双边拉氏变化的收敛域,一般情况,S,平面及收敛域的表示,例1,:,一.收敛域,记为,：,ROC（region of convergence）,则拉氏变换存在。,收敛域：,收敛坐标：,s,平面：,s,平面,收敛轴,S,平面,例1,：,二.单边拉氏变化的收敛域,例2：,例3:,例4:,拉氏变换不存在。,全时域信号,三.双边拉氏变化的收敛域,收敛，存在双边拉氏变换,没有收敛域。不存在双边拉氏变换,4.3 一些常用函数的拉氏变换,基本信号的单边拉氏变换,一.阶跃函数,二.指数函数,三.有限长信号,四.,五.单位冲激信号,s,域全平面收敛,常用函数的拉氏变换表可查用。,常用信号的拉氏变换,4.4 拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系,主要内容,重点,难点,0，收敛边界落于,s,右半平面,0，收敛边界位于,s,左半平面,=0，收敛边界位于虚轴,总结,=0，收敛边界位于虚轴,0,【解】,例,时间微分性质,证明：,用定义,分部积分,时间微分性质(续),例1,(1)用定义,(2)用性质,例2,求电感元件的,s,域模型,应用时间微分性质：,时间积分性质,例,初始值定理,证明见书,补充！,例1,即单位阶跃信号的初始值为1,例2,终值定理,证明见书,，,自学,为什么？,复频域微分,证明：,两边对,s,微分：,复频域积分,证明：,两边对,s,积分：,交换积分次序,卷积定理,4.6 拉普拉斯逆变换,主要内容,重点,难点,拉氏逆变换的三种方法,部分分式法求拉氏逆变换的过程,部分分式展开法情况之一：实数单极点,部分分式展开法情况之二：极点为共轭复数,部分分式展开法情况之三：高阶极点,两种特殊情况,部分分式法求拉氏逆变换的过程,部分分式展开法情况之三：高阶极点,拉氏逆变换的三种方法,(1)部分分式法 (亥维赛德展开定理),(2)留数法回线积分法,(3)数值计算方法计算机,F(s),的一般形式,a,b,为实数，,m,n,为正整数。,当,m,n,，F(s),为,有理真分式,分解,零点,极点,部分分式法求拉氏逆变换的过程,部分分式展开法,第一种情况：实数单极点,p,1,p,2,p,3,p,n,为不同的实数根。,为确定系数,k,i，,两边乘以因子,s-p,i，,再令,s=p,i。,右边仅留下,k,i,一项.,k,i,=(s-p,i,)F(s),s=Pi,举例说明求系数的方法,(1)找极点,(2)展成部分分式,求系数,(3)逆变换,如何求系数,k,1,k,2,k,3,？,逆变换,对等式两边同乘以,s+1，,且令,s=-1,同理,另一种求,k,i,的方法,第二种情况：极点为共轭复数,例：,极点：,P,2,P,3,为共轭复数,求系数,逆变换,方法2,利用,通分，分子比较系数，同阶次系数相同,第三种情况：高阶极点,例：,k,1,k,3,求解方法同第一种情况：,一般情况,如何求,k,2,?,设法使部分分式只保留,k,2,，,其它分式为0,对原式两边乘以(,s+1),2,此时令,s=-1,逆变换,一般情况,两种特殊情况,非真分式-化为真分式多项式,含,e,-s,的非有理式,非真分式真分式多项式,例：,作长除法,含,e,-s,的非有理真分式,e,-s,项不参加部分分式运算，用时移性质,例：,4.7 瞬态分析的拉普拉斯变换法,主要内容,重点,微分方程的拉氏变换,利用元件的,s,域模型求解瞬态电路,例1,例2,例3,例4,例5(含互感),例6,例7,例8,利用元件的,s,域模型求解瞬态电路,一.用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤,二.微分方程的拉氏变换,微分方程的一般形式,拉氏变换的微分性质,例1:,解：,(1)求起始状态,(2)列方程,(3)等式两边取拉氏变换(单边)：,(4)求反变换,求,u,R,(t),采用0,+,系统求,u,R,(t),原方程取拉氏变换：,两种方法结果一致,三.利用元件的,s,域模型求解瞬态电路,1.电路元件的,s,域模型,电阻：,电感：,电容元件的,s,域等效模型,2.电路定理的推广,KCL：,KVL：,线性稳态电路分析的各种方法都适用,3.求响应的步骤,4.例2,列,s,域方程：,5.例3,解：,(1)画出,s,域电路模型,(2)列,s,域方程,6.例4,反变换？,2.,1.,7.含互感的电路,对方程两边进行拉氏变换,8.例5,9.例6,4.8 系统函数与冲激响应,主要内容,重点,难点,系统函数,LTI,互联的系统函数,并联,级联,反馈连接,系统函数,反馈连接,一.系统函数,1.定义,系统的表征：,1.微分方程 2.冲激响应：,h(t),3.,系统函数：,H(j,),在,s,域中，单输入单输出情况下，系统的零状态响应,当,系统的零状态响应：,系统函数 的定义：,定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函数,。,2.,H(s),的几种情况,策动点函数：,激励与响应在同一端口时,策动点,导纳,策动点,阻抗,转移函数：,激励和响应,不,在同一端口,3.,系统函数的求法,(2)零状态下，,由,s,域电路模型，列,s,域方程，,(3)设输入为,(,t)，,零状态下,微分方程两端取拉氏变换,(1),4.例题,给定系统微分方程：,激励信号,解：,(1)原方程两端取拉氏变换(设输入为,(,t),零状态下,):,则：,(2),5.练习,已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。,解：,二.,LTI,互联的系统函数,1.两个,LTI,系统的并联,2.两个,LTI,系统的级联,3.两个,LTI,系统的反馈连接,4.9,s,域分析，极点与零点,主要内容,重点,难点,系统的函数零、极点,由,H(s),的零极点决定系统时域特性,由,H(s),的零极点确定系统的时域响应,系统的稳定性,系统的频响特性,系统的稳定性,系统的频响特性,系统的频响特性,一.序言,主要优点：,1.可以预言系统的,时域特性,；,2.便于响应的,划分,（自由/强迫，瞬态/稳态）；,3.可以用来说明系统的正弦稳态特性；,4.描述系统的,频响特性；,5.便于系统,稳定性,的研究。,二、系统的函数零、极点,例题,极点：,零点：,画出零极图：,固有频率（或自然频率）,三、,由系统函数的极零点分布决定 时域特性（1）时域特性,h(t),反变换,第,i,个极点决定,总特性,K,i,与零点分布有关,（2）几种典型的极点分布,(,a),一阶极点在,原点,(,b),一阶极点在,负实轴,(,c),一阶极点在,正实轴,(,d),一阶共轭极点在,虚轴上,(,e),共轭极点,在虚轴上,，,原点,有一零点,(,f),共轭极点在,左半平面,(,g),共轭极点在,右半平面,（3）有二重极点分布,(,a),在原点,有二,重极点,(,b),在负实轴,上有,二重极点,(,c),在,虚轴,上有二,重极点,（3）有二重极点分布,(,d),在左半平面有二重共轭极点,极点影响小结：,极点落在左半平面,h(t),逞衰减趋势,极点落在右半平面,h(t),逞增长趣势,极点落在虚轴上只有一阶极点,h(t),等幅振荡，不能有重极点,极点落在原点,h(t),等于,u(t),（4）零点的影响,零点移动,到原点,（4）零点的影响,零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率,幅度多了,一个因子,多了相移,由,H(s),的零极点决定系统时域特性总结,四.,由,H(s),的零极点确定系统的时域响应,激励：,系统：,响应：,自由响应分量 强制响应分量,自由响应与强迫响应,来自,H(s),的极点,来自,E(s),的极点,自由响应,强迫响应,结论,H(s),的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关,自由响应的幅度和相位与,H(s),和,E(s),的零点有关，即零点影响,K,i ,K,k,系数,E(s),的极点决定了强迫响应的振荡频率，与,H(s),无关,用,H(s),只能研究零状态响应，,H(s),中零极点相消将使某固有频率丢失。,暂态响应与稳态响应,系统,H(s),的极点一般是复数，讨论它们实部和虚部对研究系统的稳定性很重要,不稳定系统 增幅,临界稳定系统 等幅,稳定系统 衰减,激励,E(s),的极点影响,激励,E(s),的极点也可能是复数,增幅，在稳定系统的作,用下稳下来，或与系统,某零点相抵消,等幅，稳态,衰减趋势，暂态,稳态响应和暂态响应,对于,稳定系统：,H（S）,极点的实部都小于0,自由响应就是,暂态响应,若激励,E(s),的极点的实部大于或等于0，强迫响应就是,稳态响应,正弦稳态响应,：正弦信号作用下的强迫响应,若激励本身为衰减函数，强迫响应与只有响应一起组成暂态响应，稳态响应为0,几点认识,响应函数,r(t),由两部分组成：,系统函数的极点,自由响应分量,；,激励函数的极点,强制响应分量,。,自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，,与激励函数的形式无关,。,响应也可划分为暂态响应和稳态响应。,各响应的系数与,E(s),和,H(s),都有关。,五、系统的稳定性,定义,若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的；,如果对于有界激励产生无限增长的响应，则系统是不稳定的。,稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号无关。,稳定性判据,记住！,由,H(s),的极点决定系统的稳定性,1稳定系统,2.不稳定系统,3.临界稳定系统,判断系统的稳定性,例1：,稳定,例2：,稳定,六、系统的频响特性,有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统，,其收敛域包括虚轴。,拉氏变换存在,傅立叶变换存在,H(s),和频响特性的关系,幅频响应特性,相频响应特性,根据,H(s),零极图绘制系统的频响特性曲线,画零极点图,矢量随频率的变化,例：,确定图示系统的频响特性。,解：,频响特性分析,例：已知 试求当时的幅频和相位,七 一阶系统的,S,平面分析,已知该系统的,H(s),的极零点在,S,平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线,（1）一阶系统,一零点，一在实轴的极点,一在原点的零点，一在实轴的极点,只有无穷远处的零点一在实轴的极点,例：求一高阶系统的频率特性,+,U,1,+,U,2,C,R,M,N,-1/,RC,例：求一阶低通滤波器的频率特性,R,C,+,U,1,_,+,U,2,_,M,没有零点,幅频特性,相位特性,作业,4,1 4,2 4,3,（,4,）,4,4,（,2,）（,4,）（,7,）（,18,）（,20,）,4,5,（,2,）,4,10,（,b,）,4,20,（,a,）,4,21 4,22 4,27,4,32 4,39,4,45,