空间向量与空间角(用).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,课时,空间向量与空间角,问题,引航,1.,异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成角的范围分别是多少,?,2.,如何应用向量法求空间三种角,?,空间三种角的向量求法,角的分类,向量求法,范围,异面直线,所成的角,设两异面直线所成的角为,它们,的方向向量为,a,b,则,cos,=,_=_.,_,直线与平面所成的角,设直线,l,与平面,所成的角为,l,的,方向向量为,a,平面,的法向量为,n,则,sin,=_=_.,_,|cos,|,|cos,|,角的分类,向量求法,范围,二面角,设二面角,-,l,-,为,平面,的法向量分别为,n,1,n,2,则,|cos,|=,_=,_,|cos,|,0,1.,判一判,(,正确的打“,”,错误的打“,”),(1),两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相,等,.(,),(2),若向量,n,1,n,2,分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角,的平面角的余弦值为,cos,=(,),(3),直线与平面所成角的范围为,(,),【解析,】,(1),错误,.,两异面直线所成的角的范围为,两直线,的方向向量所成角的范围为,0,.,(2),错误,.,二面角的范围为,0,两向量所成角的范围为,0,虽然范围一致,但两向量所成的角与二面角不一定一致,因平面的法向量的指向有两个,两向量所成的角与二面角所成,的角同为直角、锐角、钝角时才相等,.,(3),错误,.,当直线与平面垂直时所成角为,.,答案,:(1),(2),(3),2.,做一做,(,请把正确的答案写在横线上,),(1),已知两平面的法向量分别为,m,=(0,1,0),n,=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为,.,(2),若直线的方向向量为,u,1,=(1,1,1),平面的法向量为,u,2,=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为,.,(3),若直线,l,1,的方向向量为,u,1,=(1,3,2),直线,l,2,的方向向量为,u,2,=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为,.,【解析,】,(1)cos=,所以,=45,.,所以二面角为,45,或,135,.,答案,:,45,或,135,(2),因为,u,1,=(1,1,1),与,u,2,=(2,2,2),共线易得直线与平面垂直,则直线与平面所成的角的正弦值为,1.,答案,:1,(3),因为,u,1,u,2,=(1,3,2),(2,-1,1)=1,|,u,1,|,u,2,|=,则两直线所成的角的余弦值为,|cos,|=,答案,:,【要点探究,】,知识点 向量法求空间角,1.,两条异面直线所成的角的两个关注点,(1),余弦值非负,:,两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角,.,(2),范围,:,异面直线所成的角,故两直线的方向向量,夹角,的余弦值为负时,应取其绝对值,.,2.,对直线与平面所成角的两点说明,(1),互余关系,:,若直线与平面所成的角为,直线的方向向量和,平面的法向量夹角为,则其关系为,sin=|cos,|.,(2),对应关系,:,若直线,l,(,方向向量为,a,),与平面,(,法向量为,n,),所,成的角为,当,时,=-;,当,时,=-.,3.,二面角范围的辨别,若二面角为,两平面的法向量夹角为,则,|cos|=|cos,|,需分辨角,是锐角还是钝角,可由图形观察得出,也可由法向量特征得出,.,【微思考,】,(1),若二面角,-,l,-,的两个半平面的法向量分别为,n,1,n,2,则二面角的平面角与两法向量夹角,的关系,.,提示,:,相等或互补,(2),利用向量法求空间角时,关键需找到哪些量,?,提示,:,关键要找到直线的方向向量与平面的法向量,.,【微思考,】,利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤,(1),建立空间直角坐标系,.,(2),求直线的方向向量,(3),求平面的法向量,n,.,(4),计算：设线面角为,，则,sin,4.“,一作,二证,三求”计算空间角,一作,:,即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移法求解,线面角的关键是作出斜线在平面上的射影,二面角的关键是利用三垂线定理找二面角,;,二证,:,找到对应角后利用异面直线所成角,线面所成角,面面所成角的定义证明对应角就是所求角,;,三求,:,一般来说是通过解三角形求解,.,要注意异面直线所成角,直线与平面所成角,二面角的范围,.,【即时练,】,已知点,A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面,ABC,与平面,xOy,所成锐二面角的余弦值为,.,【解析,】,(,1,，,2,，,0),，,(,1,，,0,，,3),设平面,ABC,的法向量为,n,(x,，,y,，,z),由,n,0,，,n,0,知,令,x,2,，则,y,1,，,z,所以平面,ABC,的一个法向量为,n,(2,，,1,，,),平面,xOy,的一个,法向量为 ,(0,，,0,，,3),由此易求出所求二面角的余弦值,为,答案：,【题型示范,】,类型一 异面直线所成的角,【典例,1,】,(1)(2014,天津高二检测,),已知正四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,=2AB,E,是,AA,1,的中点,则异面直线,D,1,C,与,BE,所成角的余弦值,为,(,),(2),在三棱锥,V-ABC,中，顶点,C,在空间直角坐标系的原点处，顶,点,A,，,B,，,V,分别在,x,，,y,，,z,轴上，,D,是线段,AB,的中点，且,AC,BC,2,，,VDC,.,当,时，求异面直线,AC,与,VD,所成角的余,弦值,【解题探究,】,1.,题,(1),中如何建立空间直角坐标系,?,异面直线,D,1,C,与,BE,所对应的方向向量分别是多少,?,2.,题,(2),中在坐标系中如何确定点,A,C,V,D,的坐标,?,【探究提示,】,1.,以,A,为原点，,AB,，,AD,，,AA,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，设,AB,1,，则异面直线,BE,与,D,1,C,的方向向量分别为 ,(,1,，,0,，,1),，,(,1,，,0,，,2).,2.,由,AC,BC,2,，,D,是,AB,的中点，所以,C(0,，,0,，,0),，,A(2,，,0,，,0),，,B(0,，,2,，,0),，,D(1,，,1,，,0),再结合,可得,V(0,，,0,，,).,【自主解答,】,(1),选,B.,以,A,为原点，,AB,，,AD,，,AA,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐,标系，设,AB,1,，则,B(1,，,0,，,0),，,D(0,，,1,，,0),，,C(1,，,1,，,0),，因为,AA,1,2AB,，所以,E(0,，,0,，,1),，,D,1,(0,，,1,，,2),，所以 ,(,1,，,0,，,1),，,(,1,，,0,，,2),，,所以,(2)AC,BC,2,，,D,是,AB,的中点，,所以,C(0,，,0,，,0),，,A(2,，,0,，,0),，,B(0,，,2,，,0),，,D(1,，,1,，,0),当,时，在,RtVCD,中，,CD,故,V(0,，,0,，,),所以 ,(,2,，,0,，,0),，,(1,，,1,，,),所以,所以异面直线,AC,与,VD,所成角的余弦值为,【方法技巧,】,求异面直线夹角的两种方法,(1),几何法,.,方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解,.,过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解,.,主要以,“,作，证，算,”,来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围,.,关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰,(,边,),三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论,.,(2),向量法,.,方法,:,利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角,转化为两直线的方向向量所成的角,若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即,cos=|cos,|.,关注点,:,求角时,常与一些向量的计算联系在一起,如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算,.,【变式训练,】,如图所示,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AA,1,底面,ABC,AB=BC=AA,1,ABC=90,点,E,F,分别是棱,AB,BB,1,的中点,则直线,EF,和,BC,1,所成角的大小是,.,【解析,】,分别以,BA,BC,BB,1,为,x,y,z,轴,建立空间直角坐标系,如图,设,AB=1,则,B(0,，,0,，,0),，,E(,，,0,，,0),，,F(0,，,0,，,),，,C,1,(0,，,1,，,1),，,所以,(0,，,1,，,1),所以直线,EF,和,BC,1,所成角的大小为,60,.,答案：,60,【补偿训练,】,如图所示,三棱柱,OAB-O,1,A,1,B,1,中,平面,OBB,1,O,1,平,面,OAB,O,1,OB=60,AOB=90,且,OB=OO,1,=2,OA=,求异,面直线,A,1,B,与,AO,1,所成角的余弦值的大小,.,【解析,】,建立如图所示的空间直角坐标系,则,O(0,，,0,，,0),，,O,1,(0,，,1,，,),，,A(,，,0,，,0),，,A,1,(,，,1,，,),，,B(0,，,2,，,0),，所以,所以,所以异面直线,A,1,B,与,AO1,所成角的余弦值为,类型二 直线与平面所成的角,【典例,2,】,(1),已知三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的侧棱与底面边长都相等,A,1,在底面,ABC,内的射影为,ABC,的中心,则,AB,1,与底面,ABC,所成角的正弦值等于,(,),(2)(2013,湖南高考,),如图,在直棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA,1,=3.,证明,:ACB,1,D;,求直线,B,1,C,1,与平面,ACD,1,所成角的正弦值,.,【解题探究,】,1.,题,(1),中可利用哪个条件建立空间直角坐标系,?,2.,题,(2),中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系,?,直线,B,1,C,1,与平面,ACD,1,所成角的正弦值用向量如何表示,?,【探究提示,】,1.,可利用侧棱与底面边长都相等,A,1,在底面,ABC,内的射影为,ABC,的中心,建立空间直角坐标系,.,2.,利用,AB,AD,AA,1,两两垂直可以建立空间直角坐标系,.,设,n,是平,面,ACD,1,的一个法向量,则直线,B,1,C,1,与平面,ACD,1,所成角的正弦值,sin=|cos,|=,【自主解答,】,(1),选,B.,如图,设,A,1,在平面,ABC,内的射影为,O,以,O,为坐标原点,OA,OA,1,分别为,x,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,如图设,ABC,边长为,1,，则,所以,平面,ABC,的法向量,n,(0,，,0,，,1),，,则,AB,1,与底面,ABC,所成角,的正弦值为,sin,|cos,，,n,|,(2),易知,AB,AD,AA,1,两两垂直,.,如图,以,A,为坐标原点,AB,AD,AA,1,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,.,设,AB,t,，则相关各点的坐标为：,A(0,，,0,，,0),，,B(t,，,0,，,0),，,B,1,(t,，,0,，,3),，,C(t,，,1,，,0),，,C,1,(t,，,1,，,3),，,D(0,，,3,，,0),，,D,1,(0,，,3,，,3),从而 ,(,t,，,3,，,3),，,(t,，,1,，,0),，,(,t,，,3,，,0),因为,ACBD,，所以 ,t,2,3,0,0.,解得,t,或,t,(,舍去,),于是,因为 ,3,3,0,0,，所以,即,由,知，,(0,，,3,，,3),，,(,，,1,，,0),，,(0,，,1,，,0),设,n,(x,，,y,，,z),是平面,ACD,1,的一个法向量，,则 即,令,x,1,，则,n,设直线,B,1,C,1,与平面,ACD,1,所成角为,，则,sin,|cos,n,，,|,即直线,B,1,C,1,与平面,ACD,1,所成角的正弦值为,【方法技巧,】,1.,直线和平面所成的角的向量公式,如图所示,设直线,l,的方向向量为,e,平面,的法向量为,n,直线,l,与平面,所成的角为,两向量,e,与,n,的夹角为,则有,sin,=|cos,|=,2.,利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤,(1),建立空间直角坐标系,.,(2),求直线的方向向量,(3),求平面的法向量,n,.,(4),计算：设线面角为,，则,sin,【变式训练,】,(2014,石家庄高二检测,),正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别为,AB,C,1,D,1,的中点,则,A,1,B,1,与平面,A,1,EF,夹角的正弦值为,(,),【解题指南,】,建立空间直角坐标系,先计算直线,A,1,B,1,对应的方,向向量,再求出平面,A,1,EF,的法向量,然后利用向量公式求,出,A,1,B,1,与平面,A,1,EF,夹角的正弦值,.,【解析,】,选,B.,建系如图，设正方体的棱长为,1,，则,A,1,(1,，,0,，,1),，,E(1,，,0),，,F(0,，,1),，,B,1,(1,，,1,，,1),(0,，,1,，,0).,设平面,A,1,EF,的法向量,n,(x,，,y,，,z),，,则 即,令,y,2,，则 所以,n,(1,，,2,，,1),，,cos,n,，,即所求角的正弦值为,.,【补偿训练,】,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成,角的大小为,.,【解析,】,以,D,为原点,DA,DC,DD,1,分别为,x,y,z,轴,建立如图所示的空间直角坐标,系,设正方体的棱长为,1,则,A,1,(1,0,1),C(0,1,0).,所以,=(1,0,1),=(0,1,0).,设平面,A,1,B,1,CD,的法向量为,n,(x,，,y,，,z),，,则,令,z,1,得,x,1.,所以,n,(1,，,0,，,1),，又,B(1,，,1,，,0),，,所以 ,(0,，,1,，,1),，,cos,n,，,所以,n,，,60,，,所以,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角为,30,.,答案：,30,类型三 二面角,【典例,3,】,(1),在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量,分别为,(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为,(,),(2)PA,平面,ABC,，,ACBC,，,PA,AC,1,，,BC,求二面角,A-,PB-C,的余弦值,【解题探究,】,1.,题,(1),中的都和二面角的棱垂直的两个向量分,别为,(0,-1,3),(2,2,4),所成的角与二面角是否相等,?,2.,题,(2),中建立空间直角坐标系的条件有哪些,?,求二面角的向量,法公式是什么,?,【探究提示,】,1.,不一定相等,依据向量的方向性可能相等也可,能互补,.,2.PA,平面,ABC,ACBC,是建立空间直角坐标系的条件,.,利用,cos,=,【自主解答,】,(1),选,D.,设二面角为,，则,cos,=,所以这个二面角的余弦值为 或,(2),方法一：如图，建立空间直角坐标系，,则,A(0,，,0,，,0),，,B(,，,1,，,0),，,C(0,，,1,，,0),，,P(0,，,0,，,1),，,所以 ,(0,，,0,，,1),，,(,，,1,，,0),设平面,PAB,的法向量为,n,1,(x,1,，,y,1,，,z,1,),，,由 得,令,x,1,1,，则,n,1,(1,，,0),(0,，,1,，,1),，,(,，,0,，,0),设平面,PBC,的法向量为,n,2,(x,2,，,y,2,，,z,2,),，,由 得,令,z,2,1,，则,n,2,(0,，,1,，,1),所以,cos,n,1,，,n,2,因为所求二面角为锐角，,所以二面角,A-PB-C,的余弦值为,方法二：如图所示，取,PB,的中点,D,，连结,CD.,因为,PA,平面,ABC,，所以,PAAC.,所以,PC,因为,PC,BC,所以,CDPB.,作,AEPB,于,E,，,那么二面角,A-PB-C,平面角的大小就等于 与 的夹角,.,因为,PA,平面,ABC,，,BCAC,，,所以,PCBC.,所以,PB,2.,所以,PD,1,，,PE,所以,DE,PD,PE,又因为,AE,CD,1,，,AC,1,，,且,所以,即,1,1,2,1,cos,，解得,cos,故二面角,A-PB-C,的余弦值为,【方法技巧,】,利用向量法求二面角的两种方法,(1),若,AB,CD,分别是两个平面,内与棱,l,垂直的异面直线,则,两个平面的夹角的大小就是向量 与 的夹角,如图,.,(2),设,n,1,n,2,分别是平面,的法向量,则向量,n,1,与,n,2,的夹角,(,或其补角,),就是两个平面夹角的大小,如图,.,此方法的解题步骤如下,:,【变式训练,】,(2014,北京高二检测,),正方体,ABEF-DCEF,中,M,N,分别为,AC,BF,的中点,(,如图,),求平面,MNA,与平面,MNB,所成角的余弦值,.,【解析,】,方法一：设正方体棱长为,1.,以,B,为坐标原点，,BA,，,BE,，,BC,所在直线分别,为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,Bxyz,，,则,A(1,，,0,，,0),，,B(0,，,0,，,0),取,MN,的中点,G,，连接,BG,，,AG,，,则,因为,AMN,，,BMN,为等腰三角形，,所以,AGMN,，,BGMN.,所以,AGB,为二面角的平面角或其补角,因为,所以,故所求两平面所成角的余弦值为,方法二：设平面,AMN,的法向量,n,1,(x,，,y,，,z),即,令,x,1,，解得,y,1,，,z,1,，,所以,n,1,(1,，,1,，,1),同理可求得平面,BMN,的一个法向量,n,2,(1,，,1,，,1),所以,cos,n,1,，,n,2,故所求两平面所成角的余弦值为,【补偿训练,】,(2014,汕头高二检测,),如图所示，四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，,PD,平面,ABCD,，,PD,AB,2,，,E,，,F,，,G,分别为,PC,，,PD,，,BC,的中点,(1),求证：,PAEF.,(2),求二面角,D-FG-E,的余弦值,【解析,】,以,D,为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,Dxyz,则,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).,(1),证明：由于 ,(0,，,2,，,2),，,(1,，,0,，,0),，则 ,1,0,0,2,(,2),0,0,，,所以,PAEF.,(2),易知 ,(0,，,0,，,1),，,(1,，,0,，,0),，,(,2,，,1,，,1),，,设平面,DFG,的法向量,m,(x,1,，,y,1,，,z,1,),，,则 解得,令,x,1,1,，得,m,(1,，,2,，,0),是平面,DFG,的一个法向量,设平面,EFG,的法向量,n,(x,2,，,y,2,，,z,2,),，,同理可得,n,(0,，,1,，,1),是平面,EFG,的一个法向量,因为,cos,m,，,n,设二面角,D-FG-E,的平面角为,，由图可知,m,，,n,，,所以,cos,所以二面角,D-FG-E,的余弦值为,.,【拓展类型,】,空间角中的探索题,【备选典例,】,(1),如图，在五面体,ABCDEF,中，,FA,平面,ABCD,，,ADBCFE,，,ABAD,，,AF=AB=BC=FE=AD.,求异面直线,BF,与,DE,所成角的余弦值,.,在线段,CE,上是否存在点,M,，使得直线,AM,与平面,CDE,所成角的,正弦值为 若存在，试确定点,M,的位置；若不存在，请说明,理由,.,(2),如图，矩形,ABCD,和梯形,BEFC,所在平面互相垂直，,BECF,，,BCF,CEF,90,，,AD,EF,2.,求证：,AE,平面,DCF,；,当,AB,的长为何值时，二面角,A-EF-C,的大小为,60,？,【解析,】,(1),建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设,AB=1,，,则,B(1,，,0,，,0),，,C(1,，,1,，,0),，,D(0,，,3,，,0),，,F(0,，,0,，,1),，,E(0,，,1,，,1),=(-1,，,0,，,1),，,=(0,，,-2,，,1),，,所以异面直线,BF,与,DE,所成角的余弦值为,设平面,CDE,的法向量为,n,=(x,，,y,，,z),，,=(-1,，,2,，,0),，,=(0,，,-2,，,1),，,因为,所以,令,y=1,，得,x=z=2,，所以,n,=(2,，,1,，,2),，,设存在点,M(p,，,q,，,r),满足条件，由 得,p=1-,，,q=1,，,r=,，即,M(1-,，,1,，,),，所以,=(1-,，,1,，,).,因为直线,AM,与平面,CDE,所成角的正弦值为,所以 得,=,故当点,M,为,CE,中点时，直线,AM,与平面,CDE,所成角的正弦值为,(2),建系如图，设,AB,a,，,BE,b,，,CF,c,，则,C(0,，,0,，,0),，,D(0,，,0,，,a),，,F(0,，,c,，,0),，,A(,，,0,，,a),，,E(,，,b,，,0),，,B(,，,0,，,0),，,(,，,b,，,0),(,，,0,，,a),(0,，,b,，,a),，,(0,，,0,，,a),，,(0,，,c,，,0),，,设 则,(0,，,b,，,a),(0,，,c,，,a,),，,所以,1,，所以,又,AE,平面,DCF,，所以,AE,平面,DCF.,因为,且,所以 解得,b,3,，,c,4,，,所以,E(,，,3,，,0),，,F(0,，,4,，,0),设,n,(1,，,y,，,z),与平面,AEF,垂直，,则,n,0,，,n,0,，,解得,n,又因为,BA,平面,BEFC,，,(0,，,0,，,a),，,所以,得到,a,所以当,AB,为 时，二面角,A-EF-C,的大小为,60,.,【方法技巧,】,关于空间角的探索问题的处理思路,利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理,.,【规范解答,】,利用向量法求空间角,【典例,】,(12,分,)(2013,新课标全国卷,),如图,直棱柱,ABC-,A,1,B,1,C,1,中,D,E,分别是,AB,BB,1,的中点,AA,1,=AC=CB=AB.,(1),证明,:BC,1,平面,A,1,CD.,(2),求二面角,D-A,1,C-E,的正弦值,.,【审题,】,抓信息,找思路,【解题,】,明步骤,得高分,【点题,】,警误区,促提升,失分点,1:,解题时若在,处不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能正确恰当地建立空间直角坐标系,则本例最多得,4,分,.,失分点,2:,解题时若在,处不能利用中点坐标公式求解点的坐标或坐标求错,则本例最多得,6,分,.,失分点,3:,解题时若在,处不能利用三角函数的知识把向量的余弦值转化为二面角的正弦值,则本例最多得,10,分,.,【悟题,】,提措施,导方向,1.,利用条件建立空间直角坐标系,充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系,特别关注隐,含条件的发现,如本例因三棱柱为直棱柱,且,AC=CB=AB,故可,以以点,C,为坐标原点,分别以直线,CA,CB,CC,1,为,x,轴,y,轴,z,轴建立,坐标系,.,2.,充分利用向量关系求点的坐标,利用向量法求空间角问题,确定直线方向向量与平面法向量是关键,而确定向量的方法是确定点的坐标,充分利用向量关系如中点坐标公式等条件可快速求出点的坐标,.,3.,合理转化,向量夹角与空间角转化要合理,范围要明确,三角函数名称要注意,如本例中先求出法向量夹角的余弦值,再求出正弦值,.,【类题试解,】,(2014,陕西高考,),四面体,ABCD,及其三视图如图所示,过棱,AB,的中点,E,作平行,于,AD,BC,的平面分别交四面体的棱,BD,DC,CA,于点,F,G,H.,(1),证明,:,四边形,EFGH,是矩形,.,(2),求直线,AB,与平面,EFGH,夹角,的正弦值,.,【解题指南,】,(1),先证得四边形,EFGH,为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知,.(2),利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面,EFGH,的法向量,代入公式即可得解,.,【解析,】,(1),因为,BC,平面,EFGH,平面,EFGH,平面,BDC=FG,平面,EFGH,平面,ABC=EH,所以,BCFG,BCEH,所以,FGEH.,同理,EFAD,HGAD,所以,EFHG,所以四边形,EFGH,是平行四边形,.,又由三视图可知,AD,平面,BDC,所以,ADBC,所以,EFFG,所以四边形,EFGH,是矩形,.,(2),如图,以,D,为坐标原点建立空间直角坐标系,则,D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).,设平面,EFGH,的法向量,n,=(x,y,z,),因为,EFAD,FGBC,所以,n,=0,，,n,=0.,得 取,n,=(1,1,0),所以,sin=,