3函数的奇偶数课件 新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,考纲要求,1.,结合具体函数，了解函数奇偶性的含义,2,会运用函数图象理解和研究函数的性质,.,热点提示,1.,函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是,2011,年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题,2,在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题,.,1,奇偶函数的定义,(1),如果对于函数,f,(,x,),定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),就叫做偶函数,(2),如果对于函数,f,(,x,),定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),就叫做,如果函数,f,(,x,),是奇函数或偶函数，那么我们就说函数,f,(,x,),具有,f,(,x,),f,(,x,),奇函数,奇偶性,2,具有奇偶性的函数的图象特点,一般地，奇函数的图象关于,对称，反过来，如果一个函数的图象关于,对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于,对称，反过来，如果一个函数的图象关于,y,轴对称，那么这个函数是,原点,原点,y,轴,偶函数,3,函数奇偶性的判定方法,(1),根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于,对称，若不对称，则函数是,函数；若对称，再判定,f,(,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(,x,),有时判定,f,(,x,),f,(,x,),比较困难，可考虑判定,f,(,x,),或判定,(,f,(,x,),0),原点,非奇非偶,f,(,x,),0,1,(2),性质法判定,在定义域的公共部分内，两奇函数之积,(,商,),为偶函数；两偶函数之积,(,商,),也为偶函数；一奇一偶函数之积,(,商,),为奇函数,(,注意取商时分母不为零,),；,偶函数在区间,(,a,，,b,),上递增,(,减,),，则在区间,(,b,，,a,),上,；奇函数在区间,(,a,，,b,),与,(,b,，,a,),上的增减性,递减,(,增,),相同,4.,奇函数在关于原点对称的两个区间上有,的单调性；偶函数在对称的两个区间上有,的单调性,相同,相反,1,对任意实数,x,，下列函数为奇函数的是,(,),A,y,2,x,3,B,y,3,x,2,C,y,ln5,x,D,y,|,x,|cos,x,解析：,A,为非奇非偶函数，,B,、,D,为偶函数，,C,为奇函数设,y,f,(,x,),ln5,x,x,ln5,，,f,(,x,),x,ln5,f,(,x,),答案：,C,2,已知,f,(,x,),ax,2,bx,是定义在,a,1,2,a,上的偶函数，那么,a,b,的值是,(,),答案：,B,3,已知函数,y,f,(,x,),为奇函数，若,f,(3),f,(2),1,，则,f,(,2),f,(,3),_.,解析：,f,(,x,),为奇函数且,f,(3),f,(2),1,，,f,(,2),f,(,3),f,(3),f,(2),1.,答案：,1,4,下面四个命题：,偶函数的图象一定与,y,轴相交；,奇函数的图象一定通过原点；,偶函数的图象关于,y,轴对称；,既是奇函数，又是偶函数的函数一定是,f,(,x,),0(,x,R,),其中正确的命题序号为,_,解析：,当,y,f,(,x,),在,x,0,处无定义时，,都不正确；,偶函数的图象关于,y,轴对称，,正确；,既是奇函数又是偶函数的函数可以写成,f,(,x,),0,，,x,a,，,a,(,其中,a,可为任一确定的正实数,),，,错误,答案：,5,设函数,f,(,x,),(,x,1)(,x,a,),为偶函数，求实数,a,的值,解：,f,(,x,),(,x,1)(,x,a,),，,f,(,x,),(,x,1)(,x,a,),又,f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,(,x,1)(,x,a,),(,x,1)(,x,a,),，,x,2,(,a,1),x,a,x,2,(,a,1),x,a,，,a,1,(,a,1),，,a,1.,(3),函数的定义域为,R,.,若,x,为无理数，则,x,也是无理数，,f,(,x,),f,(,x,),0,；,若,x,为有理数，则,x,也是有理数，,f,(,x,),f,(,x,),1.,综上可知，对任意实数,x,都有,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),为偶函数,判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点对称，再研究,f,(,x,),与,f,(,x,),的关系,.,【,例,2,】,已知函数,f,(,x,),对一切,x,、,y,R,，都有,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),(1),试判断,f,(,x,),的奇偶性；,(2),若,f,(,3),a,，用,a,表示,f,(12),思路分析：,(1),判断,f,(,x,),的奇偶性，即找,f,(,x,),与,f,(,x,),之间的关系，,令,y,x,，有,f,(0),f,(,x,),f,(,x,),，再想法求,f,(0),即可；,(2),寻找,f,(12),与,f,(,3),之间的关系，注意用,(1),问的结论,解：,(1),显然,f,(,x,),的定义域是,R,，关于原点对称,又,函数,f,(,x,),对一切,x,、,y,R,都有,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),，,令,x,y,0,，得,f,(0),2,f,(0),，,f,(0),0.,再令,y,x,，得,f,(0),f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),为奇函数,(2),f,(,3),a,且,f,(,x,),为奇函数,f,(3),f,(,3),a,.,又,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),，,x,、,y,R,，,f,(12),f,(6,6),f,(6),f,(6),2,f,(6),2,f,(3,3),4,f,(3),4,a,.,变式迁移,2,函数,f,(,x,),，,x,R,，若对于任意实数,x,1,，,x,2,都有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,x,2,),2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),试判断函数,y,f,(,x,),的奇偶性,解：,对于任意实数,x,1,，,x,2,都有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,x,2,),2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,令,x,1,0,，,x,2,x,，得,f,(,x,),f,(,x,),2,f,(0),f,(,x,),令,x,1,x,，,x,2,0,，得,f,(,x,),f,(,x,),2,f,(0),f,(,x,),由,得，,f,(,x,),f,(,x,),，,y,f,(,x,),为偶函数,(1),证明：,f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,4),f,(,x,2),f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),是以,4,为周期的周期函数,判断函数的周期只需证明,f,(,x,T,),f,(,x,)(,T,0),便可证明函数是周期函数，且周期为,T,，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题,.,变式迁移,3,(2009,山东高考,),已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),满足,f,(,x,4),f,(,x,),且在区间,0,2,上是增函数，若方程,f,(,x,),m,(,m,0),在区间,8,8,上有四个不同的根,x,1,，,x,2,，,x,3,，,x,4,，则,x,1,x,2,x,3,x,4,_.,解析：,f,(,x,4),f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,4),f,(,x,8),f,(,x,8),知函数,f,(,x,),的周期为,T,8,，,又,f,(,x,),f,(,x,4),，,f,(,x,2),f,(,x,2),f,(2,x,),，知函数,f,(,x,),关于直线,x,2,对称,函数,f,(,x,),大体图象为：,x,1,x,2,12,，,x,3,x,4,4.,x,1,x,2,x,3,x,4,8.,答案：,8,【,例,4,】,已知函数,y,f,(,x,),的定义域为,R,，且对任意,a,，,b,R,，都有,f,(,a,b,),f,(,a,),f,(,b,),且当,x,0,时，,f,(,x,)0,恒成立，,f,(3),3.,(1),证明：函数,y,f,(,x,),是,R,上的减函数；,(2),证明：函数,y,f,(,x,),是奇函数；,(3),试求函数,y,f,(,x,),在,m,，,n,(,m,，,n,Z,),上的值域,(1),证明：,设任意,x,1,，,x,2,R,，,且,x,1,0,，,f,(,x,2,x,1,)0.,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),故,f,(,x,),是,R,上的减函数,(2),证明：,f,(,a,b,),f,(,a,),f,(,b,),恒成立，,可令,a,b,x,，,则有,f,(,x,),f,(,x,),f,(0),又令,a,b,0,，则有,f,(0),f,(0),f,(0),，,f,(0),0.,从而任意的,x,R,，,f,(,x,),f,(,x,),0,，,f,(,x,),f,(,x,),故,y,f,(,x,),是奇函数,(3),解：,由于,y,f,(,x,),是,R,上的单调递减函数，,y,f,(,x,),在,m,，,n,上也是减函数，,故,f,(,x,),在,m,，,n,上的最大值,f,(,x,),max,f,(,m,),，,最小值,f,(,x,),min,f,(,n,),由于,f,(,n,),f,1,(,n,1),f,(1),f,(,n,1),nf,(1),，,同理,f,(,m,),mf,(1),又,f,(3),3,f,(1),3,，,f,(1),1,，,f,(,m,),m,，,f,(,n,),n,.,因此函数,y,f,(,x,),在,m,，,n,上的值域为,n,，,m,解决抽象函数的单调性、奇偶性等问题时，若条件中含有某一范围内某一式子都成立的语句时，常采用赋值法，但赋值要恰当,.,解：,对任意的,x,R,，有,f,(,x,),(,x,3,x,),f,(,x,),，所以，,f,(,x,),是,R,上的奇函数,因为,x,1,，,x,2,R,，且,x,1,x,2,，均有,x,x,，从而,x,x,1,x,x,2,.,故,f,(,x,1,)0,f,(,m,sin,),f,(,m,1),m,sin,m,1,(1,sin,),m,1.,4,解题中要注意以下性质的灵活运用：,(1),f,(,x,),为偶函数,f,(,x,),f,(|,x,|),；,(2),若奇函数,f,(,x,),在,x,0,时有定义，则,f,(0),0.,