高三数学研究性课题 杨辉三角 新课标 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,杨辉三角,研究性课题：,第,5,行,1 5 5 1,第,0,行,1,杨辉,三角,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 1,第,6,行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,第,n,行,1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,一,.,复习,:,杨辉三角的基本性质,1,）表中每个数都是组合数，第,n,行的第,r+1,个数是,2,）三角形的两条斜边上都是数字,1,，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是,3,）杨辉三角具有对称性,4,）杨辉三角的第,n,行是二项式（,a+b,）,n,展开式的二项式系数即,证明：,2,）假设当,n=k,时等式成立，即,则当,n=k+1,时，,1),当,n=1,时，,左边,a+b,右边,a+b,所以等式成立,利用组合数的重要性质可得,求证：,中世纪意大利数学家,斐波那契,的传世之作,算术之法,中提出了一个饶有趣味的问题：,假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,1.,斐波那契“兔子繁殖问题”,:,二,.,引入,:,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球,(,黑色,),向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到,第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，,2.,杨辉三角与弹子游戏,如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从,A,处走到,B,处,(,只能由北到南，由西向东,),，那么有多少种不同的走法？,A,B,3.,杨辉三角与“纵横路线图”,从某种意义上说,发现问题,更重要,.,第,5,行,1 5 5 1,第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 1,第,6,行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,第,n,行,1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,三,.,新课,:,杨辉三角蕴含的数字排列规律,.,1.,研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线上：,猜想：,在杨辉三角中，第,m,条斜线（从右上到左下）上前,n,个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,第,m+1,条斜线上的第,n,个数,.,1,1,1,1,（,第,1,条斜线,）,1,4,10,（,第,4,条斜线,）,1,3,6,（,第,3,条斜线,）,1,2,3,（,第,2,条斜线,）,(nr),?,结论,1,：,杨辉三角中，第,m,条斜,(,从右上到左下,),上前,n,个数字的和，等于第,m+1,条斜线上第,n,个数,即,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第,m,条斜,(,从左上到右下,),上前,n,个数字的和，等于第,m+1,条斜线上第,n,个数。,1,2,5,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,第,1,行,1 1,第,0,行,1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,2.,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和,;,这就是著名的,斐波那契数列,。,中世纪意大利数学家,斐波那契,的传世之作,算术之法,中提出了一个饶有趣味的问题：,假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,1.,斐波那契“兔子繁殖问题”,四,.,应用,:,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球,(,黑色,),向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“概率三角形”,照这样计算第,n+1,层有,n+1,个通道，弹子通过各通道的概率将是？,与杨辉三角有何,关系？,2.,杨辉三角与弹子游戏,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从,A,处走到,B,处,(,只能由北到南，由西向东,),，那么有多少种不同的走法？,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,3.,杨辉三角与“纵横路线图”,五,、小结,2,、杨辉三角蕴含的数字排列规律,1,、杨辉三角蕴含的基本性质,杨辉三角的其它规律,第,0,行,1,1,、杨,辉,三角的第,2,k,-1,行的各数字特点,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,杨,辉,三角的第,2,k,-1,行,(k,是正整数,),的各个数字都是,奇数,。,第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,2,、杨,辉,三角中若第,P,行除去,1,外，,P,整除其余的所有数，则行数,P,是,质数,(,素数,),华罗庚,（,1910-1985,）,是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界数学行列最杰出的代表,是中国数学竞赛的创始人。他在数论、典型群、高维数值积分等方面作出了卓越的贡献，撰写了不少高质量,专著、论文和科普著作。,在他的科普著作,从杨辉三角谈起,中，对,杨辉,三角的构成，提出了一种有趣的看法。,（,04.,上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第,_,行中从左至右第,14,与第,15,个数的比为,.,34,练习,1:,练习,2,：,4 7 7 4,1,2 2,3 4 3,5 11 14 11 5,6 16 25,25,16 6,则第,n,行（,n 2,）,第,2,个数是什么？,分析,:,设第,n,行的第,2,个数为,a,n,则,a,2,=2,a,n+1,=a,n,+n a,n,=2+2+3+(n-1),练习,3,：,3,5 6,9 10 12,17 18 20 24,33 34 36 40 48,65 66 68 72 8 0 96,则,表中各数按从小到大的顺序排列，第,100,个数是 多少？,分析,:,首先计算第,100,个数位于表中第几行,1+2+3+13=91,第,100,个数位于第,14,行,第,9,个数,其次计算第,14,行第,1,个数,:,3+2,1,+2,2,+2,13,=16385,最后计算第,9,个数,:,16385+2,0,+2,1,+2,2,+2,3,+2,4,+2,5,+2,6,+2,7,=16640,