课件二：曲率、挠率、伏雷内公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式,主讲 刘德金,如图,1.,前面,、,我们主要介绍了空间曲线在一点的基本,向量和几条特殊的直线、几个特殊的平面，这些内,容及其之间的关系可以集中反映在一个图形之中,.,切线,从切面,副法线,法面,密切面,主法线,曲面在一点由基本向量和密切平面、法面、,从切面所构成的图形叫做曲线在这点的基本三棱,形。可以证明，在过曲线一点的所有直线中，切,线是在这点附近与曲线最贴近的直线，在过曲线,一点的所有平面中密切平面是在这点附近与曲线,最贴近的平面。,参见人民教育出版社出版，吴大任先生编著的,微分几何讲义,（图,1,）,形状。,面，一是弯曲；二是扭曲。,何表现。,曲率,就是刻画曲线在一点弯曲程度的；,挠率,就是刻画曲线在一点扭曲程度和形式的。而反映曲率、挠率以及基本向量之间关系的就是,Frenet,公式,。,本节开始研究曲线在一点邻近的几何性质，其,中一个重要内容就是研究曲线在一点邻近的结构或,曲线在一点邻近的结构或形状无非表现为两方,弯曲就是曲线在这点离开这点的切线的几何表,现，扭曲就是曲线在这点离开这点的密切平面的几,1,曲率,曲率是刻画曲线在一点弯曲程度的，不同的曲线一般弯曲程度不一样。例如半径较大的圆弯曲程度就小，半径较小的圆弯曲程度就大。,同一条曲线在不同点处弯曲程度也不一样。如右图曲线。,P(s,),P,1,(s,1,),在曲线上取等长的曲线段，可以看出，曲线弯曲得越厉害，切线的方向改变得越快。如图中弧,PQ,和弧,P,1,Q,1,上。,在弧,PQ,上的平均弯曲程度。,在,P,、,Q,两点的单位切向量分别为,则,反映了曲线,并且,越小,就越接近曲线在,P,点的弯曲程度,进一步令,则,的极限就应该是曲线在,P,点的弯曲程度。,定义,设,P(S),是,类曲线,上一点,S,为自,然参数，,为其附近一点，,为在,两点处的单位切向量，设,间的夹角为,我们称,为曲线在,P,点的曲率,记为,k(s,),即,k(s,)=,由定义可知,曲率是单位切向量对于弧长的旋转速度,.,当曲线在一点的弯曲程度越大,切向量,关于弧长的旋转速度就越大,.,因此曲率刻画了曲线的弯曲程度,曲率的几何意义,.,（在这个意义下，在非正常点，切向量不存在，所以曲率也不存在,.,）,推论,：,曲率计算公式,.,证明 由定义,k(s,),实际是单位切向量对于,S,的旋转速度，而,“,单位向量关于参数的旋转速度等于其微商的模,”,.,半径为,R,的圆的曲率,k=,=,直线的曲率,k=0.,（怎么证？）,2,挠率,法向量是常矢；如果曲线不是平面曲线，则曲线扭,个点到另一个点的副法向量,的方向改变得越快。,因此类似于弯曲性的刻画，我们可用副法向量导矢,但曲线的扭转比弯曲情况来得复杂，弯曲没有方向，而扭曲分左旋、右旋,.,为定义挠率，先给出,（证明留作课后练习）,空间曲线在一点的扭曲与曲线在这点的密切平,面密切相关。如果曲线不扭曲,即为平面曲线,则其,所有点的密切平面是同一个,即曲线所在平面,其副,曲得越厉害，则曲线离开它的密切平面越快，从一,来刻画曲线的扭曲程度。,的模,2,挠率,定义,曲线,(c),在,P,点的挠率记为,，定义为：,说明 因,，所以挠率的绝对值刻画了曲线,扭转的程度；其符号实际上规定了：右旋曲线,左旋曲线,。（将在下节给出解释，,同学们预习时,注意一下看是怎样说明的）。,；（由定义即得）,曲面是平面曲线，则,挠率不恒等于零的曲线叫做,挠曲线,。,3,伏雷内,(,Frenet,),公式,简单地说，,Frenet,公式是由基本向量表示其导,矢的式子。它是：,证明：,已经知道，只须证,第二式。,在,两边求微商并将上两式带入得：,该式其系数构成反对称矩阵：,说明 伏雷内,(,Frenet,),公式又叫曲线论基本公式,.,它沟通了曲率、挠率、基本向量及其导矢之间的关系,.,遇到问题就微分,遇到,就用伏雷内公式,这是微分几何中解决问题的重要技巧和方法,;,应用伏雷内,(,Frenet,),时应注意,:,公式中等号左边是基本向量对自然参数的导矢,即点导矢,.,撇导矢不能用,;,用基本向量及其导矢表示曲率和挠率也是伏雷内公式的一个应用：,伏雷内公式的另一形式,:,其中,（为什么？）,例,1,证明曲率恒为零的曲线是直线。,证明 设曲线,的曲率,则,由此得,(,常向量,),再积分得,其中,也是常,向量,.,这是一条直线的参数方程,.,故曲率恒为零的曲线是直线,.,结合前面曲率定义后的说明得直线的特征：,曲线是直线的充分必要条件是曲线的曲率,.,例,2,挠率,的曲线是平面曲线。,证明 设曲线,的挠率,则曲线的副法向量,是常向量,因,即,两边积分得,(p,是常数,),即,这是平面的方程,所以曲线是平面,曲线,.,结合前面挠率定义后的说明可得平面曲线的特征：,曲线是平面曲线,.,问题,(1),如果曲线的曲率,那么挠率,是否也为零,?,(2),如果曲线的挠率,=0,那么是否曲率,？,4,曲率和挠率的计算,结论,:,若,类曲线的方程为,则,证明,:,由推论,两边取模得,由伏雷内公式,的表达式两边对,s,求导,然后将,带入,般参数表示的挠率公式,.,得一,推论,：曲线是平面曲线,例,3,求圆柱螺线,的曲率与挠率,.,解,.,可见其曲率与挠率都是常数。,说明：曲率、挠率及其计算、,Frenet,公式是曲线论一章的核心内容，应该说那真是相当的重要。可以这么说，一份微分几何的考题如果没有涉及曲率、挠率及其计算、,Frenet,公式一般是不可能的。,5,空间曲线在一点的密切圆（曲率圆）,在曲线上,P,点的主法线上沿主法向量,正侧取线段,PC,凹入的一侧，后面将说明,.,使,PC,的长是,其中,k,是曲线,(c),在,P,点的曲率,.,指向曲线,则以,C,为心，以,PC,为半径在密切面上确定的圆叫做曲线在,P,点的密切圆，,C,叫做曲率中心，曲率圆的半径叫做曲线在,P,点的曲率半径。,P,C,习题：,P54 7,8,9,11,13,