《一元二次方程的根与系数的关系》参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,22.2.4,一元二次方程的根与系数,的关系,1.,一元二次方程的解法,2.,求根公式,复习提问,数,学,活,动,一,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的求根公式：,X=,(b,2,-4ac,0),1.,填表，观察、猜想,数学活动二,方程,x,1,x,2,x,1,+,x,2,x,1,.,x,2,x,2,-2,x,+1=0,1,1,2,1,x,2,+3x-10=0,2,-5,-3,-10,x,2,+5x+4=0,-1,-4,-5,4,问题：你发现什么规律？,用语言叙述你发现的规律；,x,2,+,px,+,q,=0,的两根,x,1,x,2,用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于,x,的方程,的两根是,则,:,如果方程二次项系数不为,1,呢,?,数,学,活,动,三,方 程,x,1,x,2,x,1,+,x,2,x,1,.,x,2,2,x,2,-3,x,-2=0,3,x,2,-4,x,+1=0,问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；,用语言叙述发现的规律；,ax,2,+,bx,+,c,=0,的两根,x,1,x,2,用式子表示你发现的规,律：,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的两个根是,X,1,X,2,那么,X,1,+,x,2,=,X,1,x,2,=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为,b,2,-4ac0,韦达（,1540,1603,）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为,“,韦达定理,”,）。韦达在欧洲被尊称为,“,代数学之父,”,。,一元二次方程根与系数关系的证明：,X,1,+x,2,=,+,=,=,-,X,1,x,2,=,=,=,=,1,、,x,2,-2x-1=0,2,、,2x,2,-3x+=0,3,、,2x,2,-6x=0,4,、,3x,2,=4,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-1,x,1,+x,2,=,x,1,+x,2,=3,x,1,+x,2,=0,x,1,x,2,=,x,1,x,2,=0,x,1,x,2,=-,示例,典型题讲解：,例,1,、已知,3x,2,+2x-9=0,的两根是,x,1,x,2,。,求：,(1)(2)x,1,2,+x,2,2,解：,由题意可知,x,1,+x,2,=-,x,1,x,2,=-3,(1),=,=,=,(2),(x,1,x,2,),2,x,1,2,+x,2,2,2x,1,x,2,x,1,2,+x,2,2,(x,1,x,2,),2,-2x,1,x,2,(-),2,-2(-3),6,变式 练习：,设,x,1,，,x,2,是方程,2x,2,+4x-3=0,的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。,（,2,）,（,1,）,（）（,x,1,-x,2,）,2,典型题讲解：,例,2,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解：,设方程的另一个根为,x,1,.,把,x=2,代入方程，得,4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得,k=-2,由根与系数关系，得,x,1,2,3k,即,2 x,1,6,x,1,3,答：方程的另一个根是,3 ,k,的值是,2,。,典型题讲解：,例,2,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解二：,设方程的另一个根为,x,1,.,由根与系数的关系，得,x,1,2=k+1,x,1,2=3k,解这方程组，得,x,1,=,3,k=,2,答：方程的另一个根是,3 ,k,的值是,2,。,试一试,1,、已知方程,3x,2,19x+m=0,的一个根是,1,，求它的另一个根及,m,的值。,2,、设,x,1,x,2,是方程,2x,2,4x,3=0,的两个根，求,(x,1,+1)(x,2,+1),的值。,解：设方程的另一个根为,x,1,则,x,1,+1=,x,1,=,又,x,1,1=,m=3x,1,=16,解：,由根与系数的关系，得,x,1,+x,2,=-2,x,1,x,2,=,(x,1,+1)(x,2,+1)=x,1,x,2,+(x,1,+x,2,)+1=-2+()+1=,拓广探索,1,、当,k,为何值时，方程,2x,2,-(k+1)x+k+3=0,的两根差为,1,。,解：设方程两根分别为,x,1,x,2,(x,1,x,2,),，则,x,1,-x,2,=1,(x,2,-x,1,),2,=(x,1,+x,2,),2,-4x,1,x,2,由根与系数的关系得,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=,解得,k,1,=9,k,2,=-3,当,k=9,或,-3,时，由于,0,，,k,的值为,9,或,-3,。,2,、设,x,1,，,x,2,是方程,x,2,-2(k-1)x+k,2,=0,的两个实数根，且,x,1,2,+x,2,2,=4,，求,k,的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即,-8k+40,由根与系数的关系得,x,1,+x,2,=2(k-1),x,1,x,2,=k,2,X,1,2,+x,2,2,=(x,1,+x,2,),2,-2x,1,x,2,=4(k-1),2,-2k,2,=2k,2,-8k+4,由,X,1,2,+x,2,2,=4,，得,2k,2,-8k+4,4,解得,k,1,=0 ,k,2,=4,经检验，,k,2,=4,不合题意，舍去。,k=0,归纳小结：,通过本节课的学习你学到了那些知识？,一元二次方程根与系数的关系（,韦达定理,）：,两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。,作业：,课本,P43,习题,22.2,第,7,题。,