2.3数学归纳法(第一课时).ppt

选修,2-2,第二章 推理与证明,2.3 数学归纳法,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个,“,一,”,字。第二天先生又教了个,“,二,”,字。第三天，他想先生一定是教,“,三,”,字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个,“,三,”,字。于是他得了一个结论：,“,四,”,一定是四横，,“,五,”,一定是五横，以此类推，,从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：,“,我都会了,”,。家长要他写出自己的名字，,“,万百千,”,写名字结果可想而知。,万百千的笑话,故事情境,问题情境一,问题,1:,你知道谚语,“,天下乌鸦一般黑,”,的由来吗？,师生互动 探求新知,问题,2:,盒子中有,5,个小球，如何证明它们都是红色的？,问题,3:,数列的通项公式是：,a,n,=(,n,2,5,n,+5),2,请算出,a,1,=,，,a,2,=,，,a,3,=,，,a,4,=,猜测,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,问题情境二,由于,a,5,25 1,，所以猜测是不正确的,问题,4:,在数列,中,1,(,n,),（,1,）求,，,，,的值；,（,2,）试猜想该数列的通项公式,像这种由,一系列特殊事例,得出,一般结论,的推理方法，叫做,归纳法,。,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（,1,）,完全归纳法,：考察,全体,对象，得到一般结论的推理方法,（,2,）,不完全归纳法,，考察,部分,对象，得到一般结论的推理方法,归纳法,分为,完全归纳法,和,不完全归纳,法,问题,1:,大球中有,5,个小球，如何证明它们都是绿色的？,完全归纳法,不完全归纳法,问题,2:,在数列,中,试猜想该数列的通项公式。,1,(,n,),数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：,可以帮助我们从一些具体事,例中发现一般规律,缺点：,仅根据有限的特殊事例归纳,得到的结论有时是不正确的,在使用归纳法探究数学命题时，必须对,任何可能的情况,进行论证后，才能判别命题正确与否。,思考,1,：,与正整数,n,有关的数学命题能否通过,一一验证,的办法来加以证明呢？,思考,2,：,如果一个数学命题与正整数,n,有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,多,米,诺,骨,牌,游戏,问题情境三,这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？,需满足以下两个条件：,（,1,）第一块骨牌倒下；,（,2,）任意相临两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,.,思考：,你认为条件（,2,）的作用是什么？,思考：,能否类比这种方法来解决不完全归纳法存在的问题呢？,你能证明这个猜想是正确的吗？,引例,在数列,中,1,(,n,),（,1,）求,，,，,的值；,（,2,）试猜想该数列的通项公式,探究发现 形成概念,任意相邻的两块牌，,前一块倒下一定导,致后一块牌倒下,第一项成立,第,k,项成立，,第,k+1,项成立,第一块,骨牌倒下,1,2,3,4,k,K,+1,n=1,时,如果,n=k,时猜想成立即,那么当,n=k+1,时猜想也成立，即,猜想成立,证明一个与正整数有关的命题步骤如下：,(2),假,设当,n,k,(,k,N,*,k,n,0,),时命题成立,证明,当,n,k,1,时命题也成立,完成这两个步骤后,就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都正确,(1),证明当,n,取第一个值,n,=,n,0,时命题成立,这种证明方法叫做,数学归纳法,归纳奠基,归纳递推,框图表示了数学归纳法的基本过程：,（,1,）验证：,n=n,0,（,n,0,N,+,）,时命题成立。,（,2,）证明：假设,n=k,（,kn,0,）,时命题成立，,证明,n=k+1,时命题也成立。,结论：命题对所有的,n,（,n,0,N,+,，,nn,0,）成立,归纳奠基,归纳递推,情境,1.,观察下列各等式，你发现了什么？,归纳,思考,：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例,;,若正确，如何证明呢？,师生互动 讲练结合,类比多米诺骨牌游戏证明猜想,的步骤为：,(1),证明当,n=1,时猜想成立,(2),证明若当,n=k,时命题成立，则,n=k+1,时命题也成立,.,完成了这两个步骤以后就可以证明,上述猜想,对于所有的正整数,n,都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第,2,个条件,证明 当,n=1,时，左边,1,右边,等式显然成立。,例,1,证明：,递推基础,递推依据,假设当,n=k,时等式成立，即,那么,当,n=k+1,时，有,即当,n=k+1,时,等式也成立。,综上可知，对任何,n,N,*,等式都成立。,凑结论,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,凑假设,变式训练,1,：,2+4+6+8+2n=n,2,+n+1(n,N*),证明：假设当,n=k,时等式成立，即,2+4+6+8+,+2k=k,2,+k+1(k,N,*,),那么，当,n=k+1,时，有,2+4+6+8+,+2k+2,（,k+1),=k,2,+k+1+2(k+1),=(k+1),2,+(k+1)+1,因此，对于任何,n,N,*,等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这不是,数学归纳法,证明 当,n=1,时,左边,=,假设,n=k(kN*),时原等式成立，即,右边,=,此时，原等式成立。,那么,n=k+1,时,综上,知,对一切正整数,n,原等式均正确,.,变式训练,2,：,缺乏“递推依据,”,证明 当,n=1,时,左边,=,这才是数学归纳法,假设,n=k(kN*),时原等式成立，即,右边,=,此时，原等式成立。,那么,n=k+1,时,这就是说，当,n=k+1,时,命题也成立,.,综上,知,对一切正整数,n,原等式均正确,.,用数学归纳法证明与,正整数,有关命题的步骤是：,（,1,）,证明当 取第一个值（如 或,2,等）时结论正确；,（,2,）,假设时 结论正确，证明,时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（,1,）（,2,），,”,不可少！,注意,:,数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。,(2),数学归纳法证题的步骤：,两个步骤，一个结论,；,(3),数学归纳法优点：即克服了,完全归纳法,的繁杂的缺点，又克服了,不完全归纳法,结论不可靠的不足。,(4),数学归纳法的基本思想：运用“,有限,”的手段来解决“,无限,”的问题,(1),数学归纳法是一种证明与,正整数,有关的数学命题的重要方法,合作交流 总结提高,数学思想：,递推思想、类比思想、归纳思想,数学方法：,数学归纳法,证明与正整数有关的命题,数学知识：,数学归纳法,要点：两步骤一结论,课后作业,阳光课堂,与课本：,第,95,页练习,1,第,96,页习题,2.3 B,组,1,思考,：,步骤,(1),中,n,取的第一个值,n,0,一定是,1,吗？为什么？,举例说明：,用数学归纳法证明,n,边形的对角线的条数是,此时,n,取的第一值,分析下列各题用,数学归纳法,证明过程中的错误：,深入探究 发现问题,（,1,）,2+4+6+8+2n=n,2,+n+1(n,N*),证明：假设当,n=k,时等式成立，即,2+4+6+8+,+2k=k,2,+k+1(k,N,*,),那么，当,n=k+1,时，有,2+4+6+8+,+2k+2,（,k+1),=k,2,+k+1+2(k+1),=(k+1),2,+(k+1)+1,因此，对于任何,n,N,*,等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当,n=k+1,时,命题也成立,.,没有用上“,假设,”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当,n=1,时,左边,=,假设,n=k(kN*),时原等式成立，即,此时，原等式成立。,那么,n=k+1,时,由,知,对一切正整数,n,原等式均正确,.,用数学归纳法证明,1,2,2,3,3,4,n(n,1),练习巩固,则当,n=k+1,时，,+,=,即当,n=k+1,时命题正确。,综上,(1)(2),可知，当 ，命题正确,。,=,证明,:,2),假设,n=k,时命题成立,即,12,23,34,k(k+1),1),当,n=1,时，左边,=12=2,右边,=2.,命题成立,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,凑假设,凑结论,（,3,）,（,纠错题,）课本,P87,T3 2,n,n,2,(n,N*),证明：当,n=1,时，,2,1,1,2,不等式显然成立。,假设当,n=k,时等式成立，即,2,k,k,2,那么当,n=k+1,时，有,2,k+1,=2,2,k,=2,k,+2,k,k,2,+k,2,k,2,+2k+1=(k+1),2,.,这就是说，当,n=k+1,时不等式也成立。,根据（,1,）和（,2,），可知对任何,n,N,*,不等式都成立。,虽然既有“,递推基础,”，又用到假设（“,递推依据,”,），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！,事实上，原不等式不成立，如,n=2,时不等式就不成立。,练习巩固,1,、,用数学归纳法证明：,“”在验证,n=1,成立时，左边计算所得的结果是（,）,A,1 B.,C,D.,2,.,已知,:,则 等于,(),A:B:,C:D:,C,C,3,.,用数学归纳法证明,:,1,2,2,3,3,4,n(n,1),练习巩固,4,、用数学归纳法证明：,5,求证,:,当,n,N,*,时，,练习,用数学归纳法证明,证明,（,1,）当,n,=1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立,这就是说，当,n=k+1,时，等式也成立,由（,1,）和（,2,），可知等式对任何正整数,n,都成立,（,2,）假设当,n=k,时，等式成立，即,递推基础,递推依据,那么当,n=k+1,时，,3,.,用数学归纳法证明,1,2,2,3,3,4,n(n,1),练习巩固,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,凑假设,凑结论,证明,:,2),假设,n=k,时命题成立,即,12,23,34,k(k+1),则当,n=k+1,时，,+,=,n=k+1,时命题正确。由,(1),和,(2),知，当 ，命题正确,。,=,1),当,n=1,时，左边,=12=2,右边,=2.,命题成立,练习巩固,4,、用数学归纳法证明,证明,:,(1),当,n=1,时，左边,=1,右边,=1.,命题成立,(2),假设,n=k,时命题正确，即,则当,n=k+1,时,=+,=,n=k+1,时命题正确。,由,(1),和,(2),知，当 ，命题正确。,提什么,好呢,?,注意结论的形式,练习巩固,5,求证,:,当,n,N,*,时,，,证明,:,n=k+1,时命题正确。由,(1),和,(2),知，当 ，命题正确,。,(1),当,n=1,时，左边,=,;,右边,左边,=,右边，,n=1,时，命题成立,。,(2),假设,n=k,时命题正确，即,:,当,n=k+1,时,，,左边,=,(2),数学归纳法证题的步骤：,两个步骤，一个结论,；,(3),数学归纳法优点：即克服了,完全归纳法,的繁杂的缺,点，又克服了,不完全归纳法,结论不可靠的不足。,(4),数学归纳法的基本思想：运用“,有限,”的手段来,解决“,无限,”的问题,(1),数学归纳法是一种证明与,正整数,有关的数学命题,的重要方法,回顾反思,