第七章-空间数据的统计分析-3-本.ppt

*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 空间数据的统计分析方法,（,3,）,武汉大学遥感信息工程学院遥感科学与技术本科生教案,(2012),秦 昆,qinkun163,2,地统计分析概述,空间变异函数,克里金估计方法,地统计分析研究展望,ArcGIS,的地统计分析工具,主要内容,3,地统计分析概述,4,20,世纪,50,年代，,南非采矿工程师,Daniel Krige,总结多年金矿勘探经验，提出根据样品点的空间位置和样品点之间空间相关程度的不同，对每个样品观测值赋予一定的权重，进行移动加权平均，估计被样品点包围的未知点矿产储量，形成了克里金估计方法,(kriging),的雏形。,20,世纪,60,年代初期，,法国地质数学家,Georges Matheron,提出数学形式的区域化变量，严格地给出了基本变异函数,(variogram),的定义和一般克里金估计方法。,通过对变异函数、克里金估计以及随机模拟方法的深入扩展，,地统计学,(Geostatistics),已经成为,空间统计学,的核心内容，其理论体系的深度和方法扩展宽度是其它空间统计方法无法比拟的。,地统计分析概述,(Geostatistics),5,国内的地统计工作主要集中于,地质勘探建模,和,地理,(,环境,),空间数据分析,应用方面。,国际上，地统计不仅是地质领域数学地质的主要分支，同时也逐渐成为数学领域应用统计的一个新分支。,地统计学,(Geostatistics),，也称为,地质统计学,，是一门以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些分布于空间上,既有随机性又有结构性,的自然或社会现象的科学。,主要包括,：,区域化变量的变异函数模型,、,克里金估计,和,随机模拟,三个主要内容。,相对于物理机制建模，地统计是一种分析空间位置,(,空间结构,),相关地学信息的经验性方法,(,赵鹏大,2004),。,地统计分析概述,6,地理信息是地理空间位置相关的信息。地理信息科学是一门研究地理信息获取、处理和利用中的基本规律的科学，与地统计学存在本质联系。,地统计学和地理信息科学存在重叠的研究对象,，即地理空间相关信息。地统计学遵从,相近相似规律,(,空间位置相近的地学现象具有相似属性值,),，这与地理信息分析中的,地理学第一定律,(,空间相近的地理现象比空间远离的地理现象具有更强的相关性,),完全一致。地统计学和地理学第一定律同在,20,世纪,60,年代被独立提出。,地统计分析概述,7,尽管地理信息系统中还存在,空间自回归模型,(,空间滞后模型和空间误差模型,),、,地理加权回归,和各种,空间结构,(,空间分布,),探索,等空间统计分析方法，,但是地统计一直是理论基础最为完善且应用扩展最为广泛的主流空间统计方法，,地统计学已经成为地理信息科学中地理信息处理和分析的重要理论，,地统计分析功能被直接嵌入或平行连接到地理空间或遥感影像信息系统中。,地统计分析概述,8,地统计具有不同于传统统计的两个显著特点：,1,）样本点的空间相关性,。传统统计中不同样本点仅具有随机性，样本点之间保持空间独立性。然而，地统计中样本点不仅具有随机性，同时样本点之间具有空间相关性。,2,）一次性样本采集。,传统统计分析同一空间位置处可以多次采样数据。实际地统计分析中，样本区域中每一个空间位置多为一次采样数据。根据传统统计学，一次采样数据中无法推断出总体规律。,这,两个特点导致了地统计中描述空间相关性,(,空间结构,),的变异函数和克服一次采样局限的平稳性假设的提出。,有时候，区域化变量的空间相关,(,不同空间位置变量的相关,),也称为空间自相关，区域化变量的协方差,(,不同空间位置变量的相关,),也称为空间自协方差。,地统计分析概述,9,空间变异函数,10,区域化变量的定义和平稳性假设,当空间被赋予地学含义时，地学工作者习惯称其为区域。,发现地表空间的区域差异正是地理学研究的基本任务。,当一个专题变量分布于空间，呈现一定的结构性和随机性时，在地统计学上称之为“区域化”，区域化变量,(regionalized variable),描述的现象为区域化现象。,空间变异函数,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,定义：,设,Z(,x,),为一随机变量，表示在空间位置,x,处专题变量取值是随机的，区域化变量是区域化随机变量的简称。,Z(X)=Z(,x,),x,X,表示区域,X,中所有空间位置,x,处随机变量,Z(x),的集合,(,簇,),，又称为,随机场,，随机场也可看作若干空间样本（空间函数）的集合。,11,12,区域化变量即空间位置相关的随机变量。区域化变量为具有内在空间结构的随机变量，它是随机场的简化。,随着抽象层次的提升或观察尺度的加大，一个复杂结构的空间单元逐步简化为一个简单的空间位置点。,区域化变量理论重点研究区域化随机变量的各种空间结构和统计性质，变异函数是描述区域化随机变量空间结构的有效数学工具，克里金估计利用区域化变量结构性质进行估值应用。,估计是数据处理的一种泛称。在时间域，服务于不同目的估计分别称为滤波,(,除去噪音,),、平滑,(,找出趋势,),和预测,(,计算未来值,),。,在空间域，估计可以分为内插,(,计算研究区域内的未知值,),和外推,(,计算研究区域外的未知值，又称为预测,),。,克里金插值和克里金预测统称为克里金估计。揭示区域化变量空间结构和统计性质的理论，简称为区域化变量理论，构成了地统计学的基础。,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,地统计中的数据多为区域中每个空间位置的一次采样数据。通常，为了满足总体规律推断中多个样本,(,大样本,),的数据要求，地统计中使用平稳,(second-order s,tationary,),或内蕴,(intrinsic,stationary,),假设下多个空间位置采样数据,(,每个位置依然是一次采样数据,),来替代单个位置上的多次采样数据,(,传统统计的采样数据,),。,机理上，相近相似规律的普适性、空间结构的稳定性、地学现象空间结构形成的驱动,(,动力,),因素的不变性等表明了平稳性假设的现实合理性。,13,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,存在,n,个随机变量的联合分布,F(Z(x,1,),Z(x,2,),Z(x,n,),，,严格的平稳性,指随机变量联合分布的空间位移不变性，即：,F(Z(x,1,),Z(x,2,),Z(x,n,)=F(Z(x,1,+h),Z(x,2,+h),Z(x,n,+h),实际应用中，满足这种位移不变的联合概率分布的区域化随机变量较少见，而且严格平稳性的验证非常困难。,相比较，容易满足和验证的是分布参数,(,矩,),的平稳性，即弱平稳性假设。,常用的弱平稳性假设包括二阶平稳性和内蕴性假设。二阶平稳性是比内蕴性更严格的若,(,弱,),平稳性假设。,14,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,定义：如果区域化变量,Z(x),满足下列两个条件，则称其满足,二阶平稳性假设。,（,1,）在研究范围内，区域化变量,Z(x),的期望存在且为常数，即,EZ(x)=m,（,2,）在研究范围内，区域化变量,Z(x),的协方差函数存在且为空间滞后,h,的函数，与空间位置,x,无关，即,CovZ(x),Z(x+h)=EZ(x+h)-mZ(x)-m=EZ(x+h)Z(x)-m2=C(h),当,h=0,时，条件（,2,）说明了方差函数存在且为常数，,VarZ(x)=CovZ(x),Z(x)=EZ(x)-m2=C(0),15,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,二阶平稳性假设中要求区域化变量的期望、协方差和方差都存在，实际中区域化变量的先验期望可能不存在，但是变异函数存在。,定义在区域化变量相对增量上的变异函数具有比定义在区域化变量绝对值上的协方差函数的条件更加宽松，变异函数的计算比协方差函数的计算更加容易。,协方差函数和变异函数为空间结构的对偶描述方式。对于区域化变量，协方差函数从相似角度来描述空间结构，变异函数则从差异角度描述空间结构。,16,变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）,定义：如果区域化变量,Z(x),满足下列两个条件，则称其满足,内蕴性假设。,（,1,）在研究范围内，区域化变量,Z(x),增量的期望为零，即,EZ(x+h)-Z(x)=0,（,2,）在研究范围内，区域化变量,Z(x),增量的方差存在且为空间滞后,h,的函数，与空间位置,x,无关，即,VarZ(x+h)-Z(x)=EZ(x+h)-Z(x)-EZ(x+h)-Z(x)2=EZ(x+h)-Z(x)2=2,(h),这里，,(h),表示区域化变量的变异函数或半方差函数。,有些文献也将,(h),称为半变异函数或半变差函数。,可以看出，区域化变量增量的计算避免了期望的直接计算。变异函数对区域化变量的期望的存在没有直接要求。,17,变异函数的定义和非负定性条件,定义：变异函数是区域化变量空间结构的一种形式化表达，数学表示为两个随机变量,Z(x),和,Z(x+h),之间增量的方差的一半，,18,19,进一步表达式变换为：,变异函数的定义和非负定性条件,以上协方差函数和变异函数关系式更加清晰地表明，协方差函数和变异函数为空间结构的对偶描述方式。,对于区域化变量，协方差函数从相似角度来描述空间结构，变异函数则从差异角度描述空间结构。,二阶平稳性假设下，协方差函数和变异函数存在相互转换关系。,20,变异函数的定义和非负定性条件,在,协方差函数和变异函数中，如果空间滞后,h,以极坐标参考系中的矢量表示，则该滞后矢量有模和方向两个特征量,。,当,协方差函数和变异函数仅为模值,|,h,|,的函数时，称其为各向同性协方差函数和变异函数,。,否则,，当协方差函数和变异函数同时为模值,|,h,|,和方向的函数时，称其为各向异性协方差函数和变异函数,。,各向同性,为各向异性的特例,。,协方差函数,和变异函数的各向异性可以分解为几何各向异性和带状各向异性,。,基,台相同，变程随方向不同的各向异性称为几何各向异性,。,不能,通过伸缩比例变换为各向同性的各向异性称为带状各向异性。,21,变异函数的定义和非负定性条件,通常，把,360,度方向离散划分为几个大的方向组，在某一角度区间范围,(,角度容许范围,),内不同方向的样本点,(,对,),都用来计算该区间中心方向的变异函数值。,类似地，可以进行空间滞后距离分组，在某一距离区间范围,(,距离容许范围,),内，不同距离的样本点,(,对,),都用来计算该区间中心距离的变异函数值。,22,变异函数的定义和非负定性条件,23,变异函数的定义和非负定性条件,变异函数模型拟合及其评价,理想上，变异函数值随着空间滞后,h,的增大而单调增加。,24,一种典型变异函数曲线,(variography),图中的变异函数,(,h,),具有三个参数,a,C,0,C,0,+,C,。,a,称为变程，是变异函数达到基台值时的空间滞后,h,，反映了数据空间自相关的最大距离。,C,0,称为块金值，是空间滞后为,0,时的变异函数值，为测量误差和低于采样间距的随机变异的综合反映。,当空间滞后,h,超过变程,a,时，变异函数,(,h,),在一个极限值,(,),附近摆动，这个极限值称为基台值,C,+,C,0,。,通常，一个区域化变量的取值,z,由大尺度趋势,、微尺度空间相关变异,r,和纯随机变异,三部分构成，即,z,=,+,r,+,。,期望,(,或平均值,),即是一种趋势表示。,微尺度空间相关变异,r,为去除趋势后具有内在空间,(,自,),相关性的残余值,纯随机变异,为不存在空间,(,自,),相关性的独立噪声,(,如测量误差,),。,测量误差和采样间距,(,采样尺度,),以下的微尺度空间相关残余值一起构成金块值,C,0,。,采样间距,(,采样尺度,),以上的微尺度空间相关残余值的变异函数值为,C,。,25,变异函数模型拟合及其评价,按照二阶平稳性或内蕴平稳性假设下的变异函数表达式,(,h,),，计算,h,=0,时的变异函数值应该为,0,，表示同一位置点的样本值没有差异，然而，这种,(0)=0,的情形是在没有测量误差和采样间距,(,采样尺度,),以下空间,(,自,),相关变异的理想结果。,实际应用中，测量误差总是无法避免，采样间距总是掩盖了一些更小尺度的空间变异。,尽管带有块金值的变异函数模型失去了理想变异函数模型在原点处的连续性，但是该模型合理地模拟了实际变异,(,测量误差和小于采样间距尺度下的空间变异,),，所以能更好地提高后续克里金估计的精度。,26,变异函数模型拟合及其评价,理论变异函数模型的构建是一项基础性研究，原则上满足条件非负定性,(,或非负定性,),的函数都可以作为候选的有效变异函数,(,有效协方差函数,),。,多年,的研究和实践中，人们发展了一些标准的理论变异函数模型,。,通过,计算样本数据中不同空间滞后,h,上的变异函数值，对若干空间滞后,h,及其相应的变异函数值,(,经验变异函数模型,),进行选定理论变异函数模型的拟合，确定理论模型中的参数值，最终获取确定的变异函数模型。,在经验变异函数值到理论变异函数模型的拟合中，首先将理论变异函数模型通过变量代换建立对应的多项式回归方程，使用最小二乘法等方法进行最优参数估计，把解出的多项式回归方程系数通过逆代换获得变异函数拟合模型的参数值。,27,变异函数模型拟合及其评价,28,变异函数模型拟合及其评价,29,变异函数模型拟合及其评价,30,理论变异函数模型对样本数据的拟合中，样本数据容量有限性和关系复杂性与理论模型高度简化性等要求我们对求得的回归模型的显著性进行检验，对不同理论模型拟合质量进行评价。,最小二乘法原理求解回归方程系数时要求数据点和回归曲线之间的残差平方和最小。,变异函数模型拟合及其评价,31,变异函数模型拟合及其评价,总离差平方和一定时，回归平方和越大，残差平方和就越小，判定系数就越大。,判定系数的取值范围为,0,R,2,1,。,当全部观测值都位于回归曲线上时，,SSE,=0,，则,R,2,=1,，说明总离差完全可以由所估计的样本曲线来解释。,如果回归曲线不能解释任何离差，模型中自变量与因变量线性无关，,y,的总离差全部归于残差，即,SSE,=,SST,，则,R,2,=0,。,32,变异函数模型拟合及其评价,33,临界值,F,af,是显著水平,a,(,如,0.05,或,0.01),与自由度,f,的函数，若计算的,F,值大于临界值,F,af,，判定系数,R,2,是有意义的，表明该回归模型,(,理论曲线,),拟合度较高，可以采用该回归模型作为理论曲线模型对数据进行有效拟合。反之，该回归模型没有实际价值。,变异函数模型拟合及其评价,理论变异函数模型,一般的理论变异函数模型可以划分为三类：,1,）有基台值模型，包括球状模型、指数模型、高斯模型、有基台线性模型和纯块金效应模型等；,2,）无基台值模型，包括幂函数模型、无基台线性模型和对数模型等；,3,）孔穴效应模型。,每个理论变异函数模型都有其数学表达式，可以推导出对应的参数,(,变程、块金值、基台值,),。,34,下面列出球状、指数、高斯、有基台线性、纯块金效应、幂函数、无基台线性、对数和孔穴效应变异函数模型的数学表达式。,35,理论变异函数模型,36,理论变异函数模型,37,根据二阶平稳性或内蕴性假设下理想变异函数定义，在原点处的变异函数值为零，没有突然的变异,(,块金值,),，区域化变量的空间连续性,(,光滑性,),较好。,变异函数作为区域化变量增量的方差的一半,(,增量的半方差,),，可以视为均方意义下空间连续性的表达模型。,原点附近的变异函数值对应很小的空间滞后,h,，小空间滞后的样本点对待估点值的影响更大。,理论变异函数模型,例如，假设某地区降水量,Z,(,x,),（单位：,mm,）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形网格数据如下所示（点与点之间距离为,h,=1km,），试计算其南北方向变异函数。,从图可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函数，只要“跳过”缺失点位置即可（见下图，缺失值情况下样本数对的组成和计算过程，为缺失值）。,38,=385/72=5.35,计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计算公式可得：,同样计算出,南北方向上的变异函数：,方向,南北,h,1,2,3,4,5,N(h),36,27,21,13,5,5.35,9.26,17.55,25.69,22.90,39,例如，某地区降水量是一个区域化变量，其变异函数 的实测值及距离,h,的关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。,实测值,(h),距离,h,2.1,0.6,9.2,4.9,4.3,1.1,10.3,5.1,5.7,2.2,10.5,6.2,6.5,2.5,10.9,7.5,7.8,3.1,11.2,9.5,实测值,(h),距离,h,8.8,3.8,12.4,9.8,球状变异函数的形式为：,当 时，有,40,进一步，代换计算可知：,c,0,=2.048,，,c,=1.154,，,a,=8.353,，所以，球状变异函数模型为：,如果记 ，则可以得到线性模型：,根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合，得到：,计算可知，上式的显著性检验参数,F,=114.054,，,R,2,=0.962,，可见模型的拟合效果是很好的。,41,理论变异函数模型,克里金估计方法,42,按照估值单元的大小划分，存在,点估值,和,块段估值,。,块,段的值可以通过赋予块段平均值给块段中心点来转化为点估值。或者，把块段离散为若干点的集合，从而转化为点估值,。,点,克里金估计方法,：,从,不同角度利用区域化变量的结构性质，发展了不同类型的克里金估计方法，包括区域化变量满足二阶平稳性,(,或内蕴性,),假设的,普通克里金估计,和,简单克里金估计,，,区域化变量非平稳,(,存在漂移,),的,泛克里金估计,，,多个变量的,协同克里金估计,，,变量服从对数正态分布的,对数克里金估计,，适用于非连续取值,(,包括名义数据,),的,指示克里金估计,、,析取克里金估计,和,概率克里金估计,等。,此外,，可以综合多个角度，全面利用区域化变量的结构性质，对单个特性建模的克里金估计进行组合，形成,普通协同克里金估计,、,协同泛克里金估计,和,协同指示克里金估计,等方法。,43,克里金估计方法,克里金估计（普通克里金估计）,普通克里金估计,是一种内蕴假设,(,或二阶平稳假设,),下期望未知的区域化变量估值方法。这里，区域化变量值,Z(x),由期望,m,和残余,Y(x),两部分构成，即,Z(x)=m+Y(x),，期望,m,为未知，残余,Y(x),的期望为零，,EY(x)=0,。,区域化变量,Z(x),或残余,Y(x),的内蕴假设为：,普通克里金估计方法的估计公式为 ，,Z,*,(x,0,),是待估位置,x,0,的估值，,Z(x,i,),是已知位置,x,i,的观测值，,i,是分配给,Z(x,i,),的权重，,n,是估计使用的观测值个数。,44,45,普通克里金估计方法的最优估计条件为估计误差方差最小。,根据估计公式并结合无偏估计条件，化简估计误差的方差表达式，获得：,引入拉格朗日乘数,-2,，将条件,(,无偏估计条件,),极值,(,估计方差最小，,),问题化为下列无条件表达式的极值问题求解：,46,克里金估计（普通克里金估计）,上述方程组求解出的权重系数可以代入普通克里金估计方法估计公式进行待估点的估值。,利用上面的普通克里金方程组，简化的估计方差表达式，获得：,47,48,克里金估计（普通克里金估计）,克里金估计（泛克里金估计）,泛克里金估计中，区域化变量值,Z,(,x,),由期望,m,(,x,),和残余,Y,(,x,),两部分构成，即：,其中，期望,m,(,x,),代表趋势项（又称为漂移），随空间位置变化，残余,Y,(,x,),具有内蕴性,(,或二阶平稳性,),且期望为零，即,E,Y,(,x,)=0,。,49,例如，,一维空间中，线性趋势的,m,(,x,)=a,0,+a,1,x,；二次曲线趋势的,m,(,x,)=a,0,+a,1,x,+a,2,x,2,。,二维空间中，线性趋势的,m,(,x,y,)=a,0,+a,1,x,+a,2,y,；二次曲线趋势的,m,(,x,y,)=a,0,+a,1,x,+a,2,y,+a,3,x,2,+a,4,y,2,+a,5,xy,。,50,克里金估计（泛克里金估计）,51,克里金估计（泛克里金估计）,泛克里金估计方法的最优估计条件为估计误差方差最小。,根据估计公式并结合无偏估计条件，化简估计误差方差表达式，获得：,52,克里金估计（泛克里金估计）,53,克里金估计（泛克里金估计）,上述方程组求解出的权重系数就可以代入泛克里金估计方法估计公式进行待估点的估值。,利用上面的泛克里金方程组，简化的估计方差表达式，获得：,54,克里金估计（泛克里金估计）,代换普通克里金方程组,55,克里金估计（泛克里金估计）,克里金估计（协同克里金估计）,在,协同克里金估计,中，地学现象不仅与单个变量空间相关，同时还与多个变量统计相关。,实际中，不同区域化变量的样本采集难度不一样,(,客观条件和费用开支存在差异,),，有的区域化变量数据可以密集采样，有的区域化变量数据只能稀疏采样。,为了提高数据估计的精度，不仅利用待估值变量自身空间分布,(,空间结构,),信息，同时还利用其它辅助变量的统计相关信息来改善待估变量在特点空间位置的估计。,56,克里金估计（协同克里金估计）,为了简化原理说明，这里仅使用两个变量,Z,1,(,x,),Z,2,(,x,),构成协同区域化变量，其二阶平稳假设如下：,（,1,）每一个变量的期望存在且为常数，,E,Z,k,(,x,)=,m,k,k,=1,2,（,2,）每一个变量的空间协方差为空间滞后,h,的函数，与绝对空间位置无关，,Cov,Z,k,(,x,+,h,),Z,k,(,x,)=,C,kk,(,h,),k,=1,2,（,3,）两个变量的交叉协方差函数为空间滞后,h,的函数，与绝对空间位置无关，,Cov,Z,k,(,x,),Z,k,(,x+h,)=,C,kk,(,h,),k,k,=1,2,，,交叉协方差中,k,和,k,的顺序不能颠倒。,内蕴假设中使用变量在一定空间滞后上的增量的期望、变异函数和交叉变异函数。,二阶平稳性假设下，单一区域化变量具有关系,(,h,)=,C,(0)-,C,(,h,),。相应地，交叉变异函数和交叉协方差函数具有下列转换关系：,57,假设区域化变量,Z,2,(,x,),为主变量，观测值的个数为,N,2,。,区域化变量,Z,1,(,x,),为辅助变量，观测值的个数为,N,1,。,Z,2,(,x,),比,Z,1,(,x,),难于观测，,N,2,N,1,。,综合利用,Z,1,(,x,),和,Z,2,(,x,),的观测值对,Z,2,(,x,),在,x,0,进行估计，协同克里金估计方法的估计公式为：,58,克里金估计（协同克里金估计）,59,克里金估计（协同克里金估计）,60,克里金估计（协同克里金估计）,61,克里金估计（协同克里金估计）,克里金估计（指示克里金估计）,当区域化变量为非正态分布或存在特异值时，普通克里金估计方法中，变异函数拟合和线性加权平均估计结果的精度都降低了许多。为了限制特异值的影响，适应分布未知的情形，,Journel Andre G,等发展了非参数估计的指示克里金估计方法。,设有区域化变量,Z,(,x,),，通过如下指示函数将其转化为指示变量，取值为,0,1,。,62,克里金估计（指示克里金估计）,63,克里金估计（指示克里金估计）,64,克里金估计（指示克里金估计）,求解权重过程中，引入拉格朗日乘数,，将条件,(,无偏估计条件,),极值,(,估计方差最小,),问题化为无条件表达式的极值问题求解，获得指示克里金方程组：,65,克里金估计（指示克里金估计）,66,克里金估计（指示克里金估计）,指示克里金的不足：,它可能产生一些不合理的,(,概率,),估计值，如负概率，非单调条件累积分布函数，全概率大于,1,。,正如普通克里金估计方法通过估值和估值精度,(,估计误差方差,),完整地描述了该点的真值情况，指示克里金估计方法通过接近某种阈值的概率,(,或划为某类的可能性,),来完整地描述该点的真值情况。,67,估计评价和采样设计,克里金估计模型的有效性,在克里金估计模型,(,结构及其参数,),的检验时，对估计误差,(,检验点的观测值和估计值的差,),除以其标准差获得标准化估计误差。,如果估计是无偏估计，则验证样本的标准化估计误差的整体平均值,(,或期望,),应该接近于零。,此外，计算检验点的观测值和估计值的差的均方根来获得均方根估计误差。如果估计值越靠近它们的真实值,(,检验点的观测值,),，则均方根估计误差越小，表明该模型越有效。,比较检验点的均方根估计误差和估计误差方差，如果平均估计误差方差接近于均方根估计误差，则认为该估计模型比较正确地表达了空间变异性。,68,估计评价和采样设计,克里金估计模型的有效性：,有两种模型,(,结构及其参数,),检验数据采集方法。,方法之一,：,选择部分数据作为构造变异函数和克里金估计模型的训练数据，选择另外部分数据作为模型有效性的检验数据。,方法之二,：,使用全部样本数据作为检验数据，如交叉验证使用的检验数据。交叉验证方法比较了所有点的测量值和估计值。,交叉验证的基本思路,：依次假设每一个观测数据点未被测定,(,暂时将该点的数值剔除,),，利用其余观测值借助于克里金估计方法来估计该点的值，然后恢复刚才暂时剔除的观测值，对区域内所有观测点都按照这种方式进行操作，最后得到该区域内全部位置的两组数据：观测值和估计值。如果统计意义下观测值和估计值接近相等，则该模型是有效的。否则，需要对检验过程中所选定的模型参数反复进行修改调整，直至达到一定的精度要求。,69,交叉验证（,Cross Validation,）,70,交叉验证（,Cross Validation,）,71,估计结果精度与采样设计准则,以普通克里金为例，采用下面的估计误差方差来评价特定位置,x,0,处估计结果的精度。,72,式中右侧的第一项表示各对样本值之间的协方差的加权之和，说明了样本的“团聚效应”，如果所用的样本点彼此越靠近,(,统计距离越小,),，协方差越大，估值的不确定性越大。,式中右侧的第二项表示样本点和估计点之间的协方差的加权之和，该项的符号为负，说明了样本点与估计点的距离越大，协方差越小，估值的不确定性越大。,式中右侧的第三项表示样本值自身的方差，说明了对内在变化越大的区域化变量，其估值的不确定性越大。,采样设计需要兼顾考虑采样耗费成本和数据分析精度，寻求综合最优方案。从提高数据估计精度或减小估值误差方差的角度，上述估计误差方差表达式启发我们遵循采样准则：,1,）尽可能增加样本点个数；,2,）尽可能采集靠近估计点的样本点；,3,）尽可能使样本点之间彼此远离。,73,估计结果精度与采样设计准则,克里金估计方法对待估点的估值综合利用了待估点自身的结构信息,(,如方差和期望,),、样本点和待估点之间的结构信息,(,如样本点到待估点的平均距离,),和相关样本点内部结构信息,(,样本点之间的协方差等,),，它比一般简单距离加权平均方法具有更高的估计精度。,克里金估计误差方差公式表明，克里金估计误差方差同样综合利用了各种结构信息，评价不同待估位置估值的不确定性，它比简单统计指标,(,如遥感影像分类结果的混淆矩阵中的各种精度指标,),对不确定性的评价更加精细。,74,估计结果精度与采样设计准则,克里金估计的优缺点,：,克里金估计是空间变异函数的一个典型应用,。,克,里金估计过程主要包括变异函数计算、克里金估计模型中权重系数求解和估值结果的质量评价等步骤,。,由于,充分利用了数据点,(,样本点和待估值点,),的空间分布,(,空间结构,),信息，全面考虑了周围样点的影响，克里金估计方法对待估值点进行线性最优无偏估计,。,线性,指利用空间相关范围内的点进行线性加权平均来估值,。,无,偏指估计误差的期望为零，不存在系统误差,。,最,优指估计误差的方差最小，误差波动幅度较小,。,克,里金估计方法在给出待估值点的线性最优无偏估值的同时，还给出该点的估计误差方差。通过估值和估值精度,(,估计误差方差,),来完整地描述该点的真值情况,。,变异,函数为空间结构的形式化表述，利用该空间结构可以提高数据估值的精度。变异函数通过权重间接影响估值结果的精度。,75,克里金估值存在两个明显缺点：,1,）因为线性加权“平均”估计，原始观测数据被进行了一定的平滑，导致克里金估值结果的空间结构在整体上拟合原始观测数据不如随机模拟,(,尤其是条件随机模拟,),程度高。相比较而言，克里金估计的估值结果精度高，随机模拟对空间结构信息保留完整。,2,）不同数据点间,(,样本点之间，样本点和待估计点之间,),的变异函数值的计算，庞大克里金矩阵的变换,(,克里金方程组中权重系数的求解,),等占用很大的计算资源,(,计算时间和存储空间,),76,克里金估计的优缺点,：,地统计分析研究展望,在空间分析领域，存在基于计算几何或传统统计原理的单纯空间几何数据处理分析方法，如地图分析、网络分析、测量坐标数据的平差、大地和工程测量中的变形分析等。相对而言，克里金估计方法改进传统统计方法，将计算几何知识融入到随机场,(,过程,),理论，直接发展同时支持专题变量随机性和空间结构约束的地统计学，其理论基础更加深邃。,克里金估计方法具有深厚的理论根基，当前它正扩展到多元时空、非参数、混合分布、非平稳、非线性、多点地统计、球面或网络空间等方面，广泛支持地学和环境领域中的空间数据的结构探索和建模估计应用。,77,地统计分析研究展望,地统计相关拓展研究内容还包括：整体空间结构仿真的随机模拟、容许奇异值出现并容忍一定粗差的稳健变异函数模型、局部平稳性,(,准平稳性,),假设的变异函数、模拟复杂结构的变异函数,(,多方向和多尺度变异函数的套合模型,),和软数据,(,包含真值的观测区间数据、概率数据和部分先验知识数据等,),克里金估值方法等。,78,地统计分析研究展望,地统计学正从狭义上的空间统计发展为广义上的空间统计，发展成为地学现象定量化分析的主要科学手段。,关于地统计学原理的一般介绍，中文文献可以参考候景儒、王仁铎、胡光道、孙洪泉、王政权和张仁铎等人的著作,(,侯景儒,1998;,王仁铎,胡光道,1998;,王政权,1999;,王家华，,1999,，,2001,；张仁铎,2005),，,英文文献可以参考,Matheron G.,Journel A G,David M,和,Cressie N,等人的著作,(Matheron G,1965;Journel A G,1978;M.David,1977;Cressie N,1991),。,79,80,ArcGIS,的地统计分析工具,81,ArcGIS,地统计分析模块,(Geostatistical Analyst),是,ArcGIS,的扩展模块，可以利用确定性方法和地统计方法进行高级表面模拟。,地统计分析模块在地统计学与,GIS,之间架起了一座桥梁，使得复杂的地统计方法可以轻易实现，体现了以人为本、可视化发展的趋势。,ArcGIS,的地统计分析工具,82,利用地统计分析工具进行表面分析包括三个关键步骤：,探索性空间数据分析,(ESDA),，即数据检查；,结构化分析,(,对邻域位置进行表面属性的计算和模拟,),；,表面预测和结果评估分析。,ArcGIS,地统计分析模块包含了一系列的非常容易使用的工具，并且包含了一套反映分析步骤的向导工具，也包含了一些专门的地统计空间分析工具。,ArcGIS,的地统计分析工具,83,（,1,）探索性空间数据分析,ArcGIS,地统计分析模块,(Geostatistical Analyst),的探索性空间数据分析,(ESDA),工具允许用户用多种方式检测数据。,在生成一个表面之前，,ESDA,能让用户更深入了解所研究的现象，从而对其数据相关的问题作出更好的决策。,ESDA,环境由一系列工具组成，每个工具都能对数据生成一个视图,(view),，每个视图都能被操作和分析，从而使用户从不同侧面去了解数据。,每个视图与其它视图及,ArcMap,之间都有内在的联系。,例如，如果直方图中的一个直方条被选中，那么在,QQPlot,图,(,如果它是打开的,),、其它打开的,ESDA,视图以及,ArcMap,地图中相应的点,(,组成该直方图的那些点,),也会被选中。,84,（,1,）探索性空间数据分析,ESDA,环境的主要功能是探查数据、分析数据的特征。它也含有对大多数探查研究都有用的特定任务。,查明数据的分布、寻找全局和局部离群值、探查全局趋势、检测空间自相关以及多数据集间的协变都是很有用的工作。,ESDA,工具可以协助完成这些工具以及其它很多方面的任务。,ESDA,环境允许用户用图形的方法研究数据集，从而能够更好的理解该数据集。,85,（,1,）探索性空间数据分析,每个,ESDA,工具都对该数据给出一个不同的视图并在单独的窗口中显示出来。,这些不同的视图包括：,Histogram(,直方图,),、,Voronoi Map(Voronoi,地图,),、,Normal QQPlot(,正态,QQPlot,分布图,),、,Trend Analysis(,趋势分析,),、,Semivariogram/Covariance Cloud(,半变异,/,协方差函数云,),、,General QQPlot(,普通,QQPlot,分布图,),、,Crosscovariance Cloud(,正交协方差函数云,),。,所有视图之间及其与,ArcMap,之间都相互联系和相互影响。,86,（,2,）空间数据内插的确定性方法,有两种空间数据的内插方法：确定性内插和地统计内插。,确定性内插方法,利用周围观测点数据内插或者通过特定的数学公式来内插。,地统计内插法,基于统计模型，如克里金内插法。,确定性内插法,又包括两种类型：全局的和局部的。,全局内插法,利用整个数据进行内插和预测；,局部方法,利用观测点的局域范围内的点进行内插。,87,（,3,）用地统计分析方法创建表面,地统计插值技术运用已知样点数据的统计特性来创建表面。,地统计方法是基于统计学的，,用它进行插值的结果不仅能获得预测表面，而且能获得误差表面，可以了解所获得的预测曲面的精确性。,地统计学中有很多方法，它们都是源自同一个家族,-,克里金。,地统计模块中的地统计方法：,普通克里金、简单克里金、泛克里金、概率克里金、指示克里金、析取克里金及协同克里金等。,这些克里金模型不仅能创建预测表面和误差表面，而且根据需要还能生成概率图和分位数图。,88,运用克里金方法进行插值的过程包括两个步骤：,进行样点的空间结构量化分析,样点的空间结构量化分析，又称变异函数分析，是指对样点数据拟合一个空间独立模型；,对未知点的值进行预测,克里金方法利用第一步拟合的变异函数、样点数据的空间分布及样点数据值对某一区域的未知点进行预测,地统计模块,提供了很多工具帮助进行参数的选择和设置，也可以使用其提供的缺省参数值进行表面的快速创建。,（,3,）用地统计分析方法创建表面,89,（,4,）使用分析工具生成表面,生成一个表面需要多个步骤，在每一步操作中，需要指定很多参数,。,地统计分析提供了一系列包含分析工具的对话框来帮助确定这些参数的值，,一些对话框和工具几乎对所有的内插方法都适用，比如指定搜索邻域、交叉检验方法、验证方法等，,一些专门用于地统计分析方法,(,克里金内插与协同克里金内插,),，如半变异函数建模、变换、趋势剔出、分离集群、检验双变量正态分布等。,90,（,5,）显示和管理地统计图层,ArcMap,和地统计分析模块中提供了大量的工具，用户可以利用它们进行数据显示