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,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第一节数系扩充与复数引入,1/21,1.复数相关概念,教材研读,内容,意义,备注,复数概念,设a,b都是实数,形如a+bi数叫复数,其中实部为a,虚部为b,i叫做虚数单位,a,+,b,i为实数,b,=0,a,+,b,i为虚数,b,0,a,+,b,i为纯虚数,a,=0且,b,0,复数相等,a,+,b,i=,c,+,d,i,a,=,c,且,b,=,d,(,a,b,c,d,R),共轭复数,a,+,b,i与,c,+,d,i共轭,a,=,c,且,b,=-,d,(,a,b,c,d,R),复数a(a为实数)共轭复数是a,复平面,建立平面直角坐标系来表示复数平面,叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上点都表示实数;除了原点外,虚轴上点都表示纯虚数,复数模,向量模叫做复数z=a+bi(a,bR)模,记作|z|,|,z,|=|,a,+,b,i|=,2/21,2.复数几何意义,复数,z,=,a,+,b,i(,a,b,R),复平面内点,Z,(,a,b,),向量,.,3.复数运算,(1)复数加、减、乘、除运算法则,设,z,1,=,a,+,b,i,z,2,=,c,+,d,i(,a,b,c,d,R),则,(i)加法:,z,1,+,z,2,=(,a,+,b,i)+(,c,+,d,i)=,(,a,+,c,)+(,b,+,d,)i,;,(ii)减法:,z,1,-,z,2,=(,a,+,b,i)-(,c,+,d,i)=,(,a,-,c,)+(,b,-,d,)i,;,(iii)乘法:,z,1,z,2,=(,a,+,b,i)(,c,+,d,i)=,(,ac,-,bd,)+(,ad,+,bc,)i,;,(iv)除法:,=,=,=,+,i,(,c,+,d,i,0).,3/21,(2)复数加法运算定律,复数加法满足交换律、结合律,即对任何,z,1,z,2,z,3,C,有,z,1,+,z,2,=,z,2,+,z,1,(,z,1,+,z,2,)+,z,3,=,z,1,+(,z,2,+,z,3,),.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“,”),(1)方程,x,2,+,x,+1=0没有解.,(,),(2)复数,z,=,a,+,b,i(,a,b,R)中,虚部为,b,i.,(,),(3)复数中有相等复数概念,所以复数能够比较大小.,(,),(4)原点是实轴与虚轴交点.,(),(5)复数模实质上就是复平面内复数对应点到原点距离,也就是,复数对应向量模,.,(),4/21,1.若复数,z,=,(i是虚数单位),则,=,(),A.-1+iB.-1-i,C.1+iD.1-i,答案,B本小题考查复数运算以及共轭复数概念.,z,=,=,=i(1+i)=-1+i,=-1-i.,5/21,2.假如复数,是纯虚数,那么实数,m,等于,(),A.-1B.0,C.0或1D.0或-1,答案,D,=,=,令,m,2,+,m,=0,得,m,=0或-1.,经检验满足题意.故选D.,6/21,3.已知复数,z,=,则,i在复平面内对应点位于,(),A.第一象限B.第二象限,C.第三象限D.第四象限,答案,B,z,=,=,=,+,i=-,+,i.,实部为-,虚部为,对应点为,在第二象限,故选B.,7/21,4.i是虚数单位,则,=,.,答案,-1-i,解析,=,=,=-1-i.,5.设复数,=,a,+,b,i(,a,b,R),则,a,+,b,=,.,答案,1,解析,依题意有,=,=-,+,i=,a,+,b,i,所以,a,=-,b,=,a,+,b,=-,+,=1.,8/21,考点一复数相关概念,典例1,(1)(课标全国,2,5分)设(1+i),x,=1+,y,i,其中,x,y,是实数,则|,x,+,y,i|,=,(),A.1B.,C.,D.2,(2)(福建漳州二模)若复数,z,满足i,z,=1+i,则,z,共轭复数虚部是,(),A.iB.1C.-iD.-1,考点突破,9/21,答案,(1)B(2)B,解析,(1),x,y,R,(1+i),x,=1+,y,i,x,+,x,i=1+,y,i,|,x,+,y,i|=|1+i|=,=,.故选B.,(2),z,=,=,=,=1-i,所以,=1+i,其虚部为1.故选B,10/21,规律总结,(1)复数分类及对应点位置问题都能够转化为复数实部与虚部应,该满足条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足,方程(不等式)组即可.,(2)解题时一定要先看复数是否为,a,+,b,i(,a,b,R)形式,以确定实部和虚,部.,(3)处理复数模问题能够依据模性质把积、商模转化为模积、,商.,11/21,1-1,设复数,z,=-1-i(i为虚数单位),z,共轭复数为,则|(1-,z,),|=,(),A.,B.2C.,D.1,答案,A解法一:,z,=-1-i,=-1+i,(1-,z,),=(2+i)(-1+i)=-3+i,|-3+i|=,|(1-,z,),|=,.故选A.,解法二:|(1-,z,),|=|1-,z,|,|=|2+i|,z,|=,=,故选A.,1-2,设,m,R,复数,z,=,m,2,+,m,-2+(,m,2,-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则,m,=,.,答案,-2,解析,令,m,2,+,m,-2=0,得,m,=-2或1,当,m,=1时,虚部为0,z,为实数,所以,m,=-2.,12/21,考点二复数几何意义,典例2,(1)(河北五校联盟质检)在复平面内与复数,z,=,所对应,点关于实轴对称点为,A,则,A,对应复数为,(),A.1+iB.1-i,C.-1-iD.-1+i,(2)(北京,9,5分)设,a,R,若复数(1+i)(,a,+i)在复平面内对应点位于,实轴上,则,a,=,.,答案,(1)B(2)-1,解析,(1)因为,z,=,=,=i(1-i)=1+i,所以,A,点坐标为(1,-1),其对应复数为1-i.,(2)(1+i)(,a,+i)=(,a,-1)+(,a,+1)i,a,R,该复数在复平面内对应点位于实轴上,a,+1=0,a,=-1,.,13/21,方法技巧,(1)复数,z,、复平面上点,Z,及向量,间相互联络:,z,=,a,+,b,i(,a,b,R),Z,(,a,b,),.,(2)因为复数、点、向量之间建立了一一对应关系,所以可把复数、,向量与解析几何联络在一起,解题时可利用数形结合方法,使问题简,单化.,14/21,2-1,复数,z,=,(i为虚数单位),z,在复平面内所对应点在,(),A.第一象限B.第二象限,C.第三象限D.第四象限,答案,A因为,z,=,=,=,=,=,+,i,所以,z,在复平面内所对应点为,在第一象限,故选A,.,15/21,2-2,已知复数,z,1,=-1+2i,z,2,=1-i,z,3,=3-4i,它们在复平面上对应点分别,为,A,B,C,若,=,+,(,R),则,+,值是,.,答案,1,解析,由条件得,=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),依据,=,+,得,(3,-4)=,(-1,2)+,(1,-1)=(-,+,2,-,),解得,+,=1.,16/21,考点三复数代数运算,典例3,(1)(课标全国,2,5分)若,z,=1+2i,则,=,(),A.1B.-1,C.iD.-i,(2)(广东3月测试)若,z,=(,a,-,)+,a,i为纯虚数,其中,a,R,则,=,(,),A.iB.1,C.-iD.-1,(3)已知i是虚数单位,+,=,.,17/21,答案,(1)C(2)C(3)0,解析,(1),z,=(1+2i)(1-2i)=5,=,=i,故选C.,(2),z,为纯虚数,a,=,=,=,=,=-i.,(3)原式=,+,=,+i,6,=i,1 008,+i,6,=i,4,252,+i,4+2,=1+i,2,=0,.,18/21,方法技巧,(1)复数四则运算解答策略,复数加法、减法、乘法运算能够类比多项式运算,除法关键是分,子、分母同乘分母共轭复数,解题中要注意把i幂写成最简形式.,(2)几个惯用结论,在进行复数代数运算时,记住以下结论,可提升计算速度.,(1,i),2,=,2i;,=i;,=-i.,i(,a,+,b,i)=-,b,+,a,i,a,b,R.,i,4,n,=1,i,4,n,+1,=i,i,4,n,+2,=-1,i,4,n,+3,=-i,i,4,n,+i,4,n,+1,+i,4,n,+2,+i,4,n,+3,=0,n,N,*,.,19/21,3-1,i为虚数单位,若复数,z,=,z,共轭复数为,则,z,=,(),A.1B.-1,C.,D.-,答案,A依题意得,z,=,=i,z,=i(-i)=-i,2,=1,故选A.,3-2,已知复数,z,=1+i,则,=,.,答案,2i,解析,=,=,=2i.,20/21,3-3,(辽宁师大附中期中)设复数,z,共轭复数为,若,z,=1-i(i为虚数,单位),则,+,z,2,虚部为,.,答案,-1,解析,z,=1-i(i为虚数单位),+,z,2,=,+(1-i),2,=,-2i,=,-2i=-i,故其虚部为-1.,21/21,
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