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,第二章,2.3,双曲线,2.3.2,双曲线几何性质,1/67,1.,了解双曲线简单几何性质,(,范围、对称性、顶点、实轴长和,虚轴长等,).,2.,了解离心率定义、取值范围和渐近线方程,.,3.,掌握标准方程中,a,，,b,，,c,，,e,间关系,.,4.,能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题,.,学习目标,2/67,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3/67,问题导学,4/67,思索,知识点一双曲线范围、对称性,观察下面图形：,(1),从图形上能够看出双曲线是向两端无限延伸，那么是否与椭圆一样有范围限制？,答案,有限制，因为,1,，即,x,2,a,2,，所以,x,a,或,x,a,.,5/67,思索,(2),是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？,答案,关于,x,轴、,y,轴和原点都是对称，,x,轴、,y,轴是双曲线对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线中心,.,6/67,梳理,(1),双曲线,(,a,0,，,b,0),中要求,x,，,y,R,.,双曲线,(,a,0,，,b,0),中要求,x,，,y,.,(2),双曲线对称轴为,，对称中心为,.,(,，,a,a,，,),R,(,，,a,a,，,),x,轴、,y,轴,原点,7/67,思索,知识点二双曲线顶点,(1),双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？,答案,不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双曲线顶点,.,8/67,思索,(2),双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？,答案,是，只有两个顶点,.,双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上,.,9/67,梳理,双曲线,(,a,0,，,b,0),顶点坐标为,，,；双曲线,(,a,0,，,b,0),顶点坐标为,，,.,(,a,0),(,a,0),(0,，,a,),(0,，,a,),10/67,思索,1,知识点三渐近线与离心率,能否和椭圆一样，用,a,，,b,表示双曲线离心率？,答案,11/67,思索,2,离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？,答案,双曲线开口越大，,e,也越大，所以,e,反应了双曲线开口大小，即双曲线离心率越大，它开口就越大,.,12/67,梳理,(1),渐近线：直线,叫做双曲线,(,a,0,，,b,0),渐近线,.,(2),离心率：双曲线焦距与实轴长比,，叫做双曲线离心率，用,e,表示,(,e,1).,13/67,标准方程,(,a,0,，,b,0),(,a,0,，,b,0),图形,性质,范围,x,a,或,x,a,y,a,或,y,a,对称性,对称轴：坐标轴；对称中心：原点,顶点,顶点坐标：,A,1,(,a,0),，,A,2,(,a,0),顶点坐标：,A,1,(0,，,a,),，,A,2,(0,，,a,),渐近线,_,_,离心率,e,，,e,(1,，,),，其中,c,a，b，c间关系,c,2,a,2,b,2,(,c,a,0,，,c,b,0),(3),双曲线几何性质见下表：,14/67,题型探究,15/67,类型一已知双曲线标准方程求其简单几何性质,例,1,求双曲线,nx,2,my,2,mn,(,m,0,，,n,0),实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程,.,解答,16/67,17/67,引申探究,将本例改为,“,求双曲线,9,y,2,4,x,2,36,顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,”,，请给出解答,.,解答,18/67,所以顶点坐标为,(,3,0),，,(3,0),，,实轴长是,2,a,6,，虚轴长是,2,b,4,，,19/67,反思与感悟,由双曲线方程研究几何性质解题步骤,(1),把双曲线方程化为标准形式是处理本题关键,.,(2),由标准方程确定焦点位置，确定,a,，,b,值,.,(3),由,c,2,a,2,b,2,求出,c,值，从而写出双曲线几何性质,.,20/67,跟踪训练,1,求双曲线,9,y,2,16,x,2,144,实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程,.,解答,由此可知，实半轴长,a,4,，虚半轴长,b,3,，,21/67,类型二由双曲线几何性质确定标准方程,例,2,求以下双曲线标准方程,.,解答,22/67,23/67,解得,20,或,7(,舍去,),，,24/67,则,c,2,10,k,，,b,2,c,2,a,2,k,.,解答,25/67,反思与感悟,(1),依据双曲线一些几何性质求双曲线方程，普通用待定系数法转化为解方程,(,组,),，但要注意焦点位置，从而正确选择方程形式,.,(2),巧设双曲线方程六种方法与技巧,焦点在,x,轴上双曲线标准方程可设为,(,a,0,，,b,0).,焦点在,y,轴上双曲线标准方程可设为,(,a,0,，,b,0).,与双曲线,共焦点双曲线方程可设为,(,0,，,b,2,0),，则它渐近线方程为,y,x,，,35/67,反思与感悟,(1),实轴和虚轴等长双曲线叫做等轴双曲线,.,(2),等轴双曲线性质：,渐近线方程为,y,x,；,渐近线相互垂直；,离心率,e,.,(3),等轴双曲线特征是,a,b,，等轴双曲线方程能够设为,x,2,y,2,(,0).,当,0,时，双曲线焦点在,x,轴上；当,0,，,b,0),两条渐近线相互垂直，则双曲线离心率,e,为,答案,解析,37/67,类型四直线与双曲线位置关系,命题角度,1,直线与双曲线位置关系判定与交点问题,例,5,已知直线,y,kx,1,与双曲线,x,2,y,2,4.,(1),若直线与双曲线没有公共点，求,k,取值范围；,解答,38/67,得,(1,k,2,),x,2,2,kx,5,0.,(1),直线与双曲线没有公共点，则,式方程无解,.,39/67,(2),若直线与双曲线有两个公共点，求,k,取值范围；,解答,直线与双曲线有两个公共点，则,式方程有两个不相等根,.,40/67,(3),若直线与双曲线只有一个公共点，求,k,值,.,解答,直线与双曲线只有一个公共点，则,式方程只有一解,.,当,1,k,2,0,，即,k,1,时，,式方程只有一解；,当,1,k,2,0,时，应满足,4,k,2,20(1,k,2,),0,，,41/67,研究直线与双曲线位置关系，普通经过解直线方程,与双曲线方程所组成方程组,解个数进行判断,.,代入,得,(,b,2,a,2,k,2,),x,2,2,a,2,mkx,a,2,m,2,a,2,b,2,0.,当,b,2,a,2,k,2,0,，即,k,时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点,.,当,b,2,a,2,k,2,0,，即,k,时，,(,2,a,2,mk,),2,4(,b,2,a,2,k,2,)(,a,2,m,2,a,2,b,2,).,0,直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；,0,直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；,时，直线,l,只与双曲线一支相交，交点有两个；,如图,，,0),与直线,l,：,x,y,1,相交于,A,，,B,两个不一样点,.,求双曲线离心率,e,取值范围；,解答,44/67,得,(1,a,2,),x,2,2,a,2,x,2,a,2,0,，,(*),45/67,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，易知,P,(0,1),，,又,x,1,，,x,2,是方程,(*),两个根，,解答,46/67,(2),已知过点,P,(1,1),直线,l,与双曲线,x,2,1,只有一个公共点，试探究直线,l,斜率,k,取值,.,解答,设直线,l,斜率为,k,，则,l,：,y,k,(,x,1),1,，,代入双曲线方程得,(4,k,2,),x,2,(2,k,2,k,2,),x,k,2,2,k,5,0.,若,4,k,2,0,，即,k,2,，此时直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；,若,4,k,2,0,，则,(2,k,2,k,2,),2,4(4,k,2,)(,k,2,2,k,5),0,，解得,k,.,综上可得，直线,l,斜率,k,取值为,或,2.,47/67,命题角度,2,直线与双曲线相交弦及弦长问题,例,6,(1),求直线,y,x,1,被双曲线,x,2,1,截得弦长；,化简得,3,x,2,2,x,5,0.,解答,48/67,(2),求过定点,(0,1),直线被双曲线,x,2,1,截得弦中点轨迹方程,.,解答,49/67,方法一,该直线斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线方程为,y,kx,1,，它被双曲线截得弦,AB,对应中点为,P,(,x,，,y,).,设此方程解为,x,1,，,x,2,，则,4,k,2,0,，,4,k,2,20(4,k,2,)0,，,16,k,2,80,，即,|,k,|,，,k,2,，,得,4,x,2,y,2,y,0(,y,4,或,y,1).,50/67,方法二,设弦两个端点坐标分别为,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，弦中点为,P,(,x,，,y,),，,，得,4(,x,1,x,2,)(,x,1,x,2,),(,y,1,y,2,)(,y,1,y,2,),，当直线,AB,斜率,k,0,时，,整理得,4,x,2,y,2,y,0(,y,1).,当,k,0,时，,y,1,y,2,1,，,x,1,x,2,0,，,x,0,，,y,1,，也满足,4,x,2,y,2,y,0.,总而言之，弦中点轨迹方程为,4,x,2,y,2,y,0(,y,0.,综上可知，所求直线方程为,4,x,y,7,0.,56/67,(2),过定点,Q,(1,1),能否作直线,l,，使,l,与此双曲线相交于,Q,1,，,Q,2,两点，且,Q,是弦,Q,1,Q,2,中点？若存在，求出,l,方程；若不存在，说明理由,.,解答,57/67,假设这么直线,l,存在，设,Q,1,(,x,1,，,y,1,),，,Q,2,(,x,2,，,y,2,),，,2(,x,1,x,2,)(,x,1,x,2,),(,y,1,y,2,)(,y,1,y,2,),0,，,2(,x,1,x,2,),(,y,1,y,2,),0.,若直线,Q,1,Q,2,垂直于,x,轴，,则线段,Q,1,Q,2,中点不可能是点,Q,(1,1),，,58/67,直线,Q,1,Q,2,方程为,y,1,2(,x,1),，即,y,2,x,1.,即,2,x,2,4,x,3,0,，,16,240),右焦点为,(3,0),，则双曲线离心率等于,答案,解析,1,2,3,4,5,62/67,1,2,3,4,5,3.,等轴双曲线一个焦点是,F,1,(,6,0),，则其标准方程为,答案,解析,等轴双曲线焦点为,(,6,0),，,c,6,，,2,a,2,36,，,a,2,18.,63/67,1,2,3,4,5,4.,若双曲线,渐近线方程为,y,x,，则双曲线焦点坐,标是,_.,答案,解析,64/67,5.,设双曲线,(,a,0,，,b,0),虚轴长为,2,，焦距为,2,，则双曲线,渐近线方程为,_.,1,2,3,4,5,答案,解析,65/67,规律与方法,双曲线综合问题常包括其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合利用数学知识能力,.,(1),当与向量知识结合时，注意利用向量坐标运算，将向量间关系，转化为点坐标问题，再依据根与系数关系，将所求问题与条件建立关系求解,.,(2),当与直线相关时，经常联立直线与双曲线方程，消元后利用一元二次方程判别式、根与系数关系结构相关关系求解,.,66/67,本课结束,67/67,
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