概率统计方法建模学习教案.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,#,单击此处编辑母版标题样式,会计学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,会计学,1,概率统计(tngj)方法建模,第一页，共23页。,马氏链模型(mxng),系统在每个时期所处的状态(zhungti)是随机的。,从一时期到下时期的状态按一定(ydng)概率转移。,下时期状态只取决于本时期状态和转移概率，,与以前的各时期状态无关。,描述一类重要的,随机动态,系统（过程）的模型,马氏链,(Markov Chain),时间、状态均为离散的随机转移过程,已知现在，将来与过去无关（无后效性）,第1页/共23页,第二页，共23页。,人的健康状态随着时间(shjin)的推移会随机地发生转变，,保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制定(zhdng)保险金和理赔金的数额。,5.5 随机(su j)状态转移模型,问题背景,通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质。,第2页/共23页,第三页，共23页。,例1.人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定(tdng)年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7。,若某人投保时健康(jinkng),问10年后他仍处于健康(jinkng)状态的概率。,问题(wnt),5.5,随机状态转移模型,第3页/共23页,第四页，共23页。,状态(zhungti)与状态(zhungti)转移,随机变量(su j bin lin)Xn：第n年的状态,今年处于状态,i,来年处于状态,j,的概率,:,转移概率,状态概率,0.8,0.2,0.3,1,2,0.7,5.5 随机(su j)状态转移模型,第4页/共23页,第五页，共23页。,Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1,无关(wgun)。,状态(zhungti)转移具有无后效性,状态(zhungti)与状态(zhungti)转移,第,n,+1,年的状态概率可由全概率公式得,随机状态转移模型,马氏链模型,5.5,随机状态转移模型,第5页/共23页,第六页，共23页。,n,0,a,2,(,n,)0,a,1,(,n,)1,设投保时健康(jinkng),设投保时疾病(jbng),a,2,(,n,)1,a,1,(,n,)0,n时状态(zhungti)概率趋于稳定值,稳定值与初始状态(zhungti)无关,3,0.778,0.222,7/9,2/9,0.7 0.77 0.777,0.3 0.33 0.333,7/9,2/9,1,0.8,0.2,2,0.78,0.22,，给定,a,(0),预测,a,(,n,),n,=1,2,注,5.5,随机状态转移模型,状态与状态转移,，给定,a,(0),预测,a,(,n,),n,=1,2,第6页/共23页,第七页，共23页。,1,2,3,0.1,0.02,1,0.8,0.25,0.18,0.65,例2.健康和疾病状态(zhungti)同上，Xn=1 健康,Xn=2 疾病,死亡为第3种状态(zhungti)，记 Xn=3 死亡,p,11,=0.8,p,12,=0.18,p,13,=0.02,p,21,=0.65,p,22,=0.25,p,23,=0.1,p,31,=0,p,32,=0,p,33,=1,问题(wnt),5.5 随机状态转移(zhuny)模型,第7页/共23页,第八页，共23页。,n,0 1 2 3,a,2,(,n,),0 0.18 0.189 0.1835,a,3,(,n,),0 0.02 0.054 0.0880,a,1,(,n,),1 0.8 0.757 0.7285,设投保时处于(chy)健康状态，预测 a(n),n=1,2,不论(bln)初始状态如何，最终都要转到状态3；,一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于nk,a1(n)=0，,a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态3不会转移到其它状态。,0,0,1,50,0.1293,0.0326,0.8381,状态(zhungti)与状态(zhungti)转移,注,5.5,随机状态转移模型,第8页/共23页,第九页，共23页。,基本(jbn)方程,马氏链的基本(jbn)方程,P,n,a,n,a,),(,),1,(,=,+,n,P,a,n,a,),0,(,),(,=,5.5 随机(su j)状态转移模型,第9页/共23页,第十页，共23页。,正则链:从任一状态(zhungti)出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态(zhungti)（如例1）。,w 稳态概率(gil),马氏链的两个(lin)重要类型,w,与,a,(0),无关,第10页/共23页,第十一页，共23页。,吸收链 存在吸收状态(一旦到达就不会离开的状态i,pii=1),且从任一非吸收状态出发经有限(yuxin)次转,移能以正概率到达吸收状态(如例2)。,有r个吸收状态的吸收链的转移(zhuny)概率阵标准形式,R必有非零元素(yun s)，Q的特征值绝对值小于1，所以,y,i,表示从第,i,个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。,马氏链的两个重要类型,第11页/共23页,第十二页，共23页。,设状态(zhungti)i是非吸收状态(zhungti)，j是吸收状态(zhungti)，则首达概率f ij(n),实际上是i经n次转移被j吸收(xshu)的概率。而,则是从非吸收状态i出发(chf)终将被吸收状态j吸收的概率。,记,则,F,=,f,ij,F=MR,例如，可以算出前面第二种情况中,F,=,MR,=(1 1),T,y,=,Me,=(25.7575 28.1818),T,即，从两个非吸收状态“健康”和“疾病”出发终将被吸收状态“死亡”吸收的概率是,1,且平均转移次数分别为,26,次和,28,次。,f,ij,=,f,ij,(1),+f,ij,(2),+f,ij,(,n,),+,马氏链的两个重要类型,第12页/共23页,第十三页，共23页。,钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压(jy)资金。,一家商店根据经验估计(gj)，平均每周的钢琴需求为1架。,存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零 时，才订购(dnggu)3架钢琴供下周销售；否则，不订购(dnggu)。,失去销售机会的可能性有多大？,以及每周的平均销售量是多少？,背景与问题,5.6,马尔可夫链的应用模型,估计在这种策略下,第13页/共23页,第十四页，共23页。,问题(wnt)分析,顾客的到来相互独立，需求量近似服从泊松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算(j sun)需求概率。,存贮策略是周末库存量为零时(ln sh)订购3架 周末的库存量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是1,2,3。,用,马氏链描述,不同需求导致的周初库存状态的变化。,动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。,可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。,5.6,马尔可夫链的应用模型,第14页/共23页,第十五页，共23页。,模型(mxng)假设,1.钢琴每周需求量服从泊松分布(fnb)，均值为每周1架。,2.存贮策略：当周末库存量为零时，订购(dnggu)3架，下周初到货；否则，不订购(dnggu)。,3.,以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具,有无后效性。,4.,在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的,概率，和每周的平均销售量。,5.6,马尔可夫链的应用模型,第15页/共23页,第十六页，共23页。,模型(mxng)建立,Dn第n周需求量，均值(jn zh)为1的泊松分布,状态转移(zhuny)规律,状态转移阵,假设,(1),S,n,第,n,周初库存量,(,状态变量,),D,n,0 1 2 3 3,P,0.368 0.368 0.184 0.061 0.019,5.6,马尔可夫链的应用模型,第16页/共23页,第十七页，共23页。,状态转移阵,状态转移(zhuny)矩阵的计算,模型(mxng)建立,5.6 马尔可夫链的应用(yngyng)模型,第17页/共23页,第十八页，共23页。,状态(zhungti)概率,正则链,稳态概率分布,w,满足,wP=w,模型(mxng)建立,马氏链的基本方程,状态(zhungti)转移矩阵,n,状态概率,已知初始状态,可,预测第,n,周初库,存量,S,n,=i,的概率,5.6,马尔可夫链的应用模型,第18页/共23页,第十九页，共23页。,模型(mxng)求解,从长期看，失去销售机会(j hu)的可能性大约 10%。,估计在这种策略下失去销售(xioshu)机会的可能性,第,n,周失去销售机会的概率,P,n,充分大,5.6,马尔可夫链的应用模型,第19页/共23页,第二十页，共23页。,第n周平均(pngjn)售量Rn,从长期(chngq)看，每周的平均销售量为 0.857(架)。,估计(gj)这种策略下每周的平均销售量,模型求解,n,充分大,需求不超过存量,销售需求,需求超过存量,销售存量,5.6,马尔可夫链的应用模型,第20页/共23页,第二十一页，共23页。,敏感性分析(fnx),当平均需求(xqi)在每周1(架)附近波动时,最终结果有多大变化？,设Dn服从(fcng)均值为的泊松分布,状态转移阵,第,n,周,(,n,充分大,),失去销售机会的概率,模型分析,5.6,马尔可夫链的应用模型,第21页/共23页,第二十二页，共23页。,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,P,0.073,0.089,0.105,0.122,0.139,当平均需求(xqi)增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约15%16%。,敏感性分析(fnx),当平均(pngjn)需求在每周1(架)附近波动时,最终结果有多大变化,模型分析,第,n,周,(,n,充分大,),失去销售机会的概率,5.6,马尔可夫链的应用模型,第22页/共23页,第二十三页，共23页。,