数值分析：9.3Runge-Kutta方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,华长生制作,*,*,9.3,Runge-Kutta,法,数值分析,第九章 常微分方程数值解,华长生制作,1,8.3 Runge-Kutta,法,考虑改进,Euler,法,如果将其改成,-(1),华长生制作,2,改进,Euler,法是由梯形公式和,Euler,公式复合而成,梯形公式具有,2,阶精度,形如,(1),式的求解公式称为,二阶,Runge-Kutta,法,同样可以证明,改进,Euler,法也具有,2,阶精度,华长生制作,3,基本思路,华长生制作,4,华长生制作,5,华长生制作,6,推广,这种单步法称为,Runge-Kutta,方法,简记为,R-K,公式,.,华长生制作,7,三阶,Runge-Kutta,华长生制作,8,三阶龙格,-,库塔公式,华长生制作,9,三阶龙格,-,库塔公式,华长生制作,10,四阶龙格,-,库塔公式,华长生制作,11,构造一般的,R,级,Runge-Kutta,方法,华长生制作,12,Runge-kutta,方法的阶与级的关系,在,Runge-kutta,计算格式,(RK),中,.,计算函数值,f,的次数,R,称为,级,级数与阶数是不同的,可以证明,R,级,Runge-kutta,公式的,最高阶数是,R.,通常所说的,R,级,m,阶,Runge-kutta,公式指要计算,R,个,f(x,y),的函数值,且对应的计算公式是,m,阶的,.,Butcher,得出如下,Runge-kutta,方法的,级数,R,与,阶数,m,的对应关系,:,因此,通常使用,4,级,4,阶,Runge-kutta,公式,(RK4).,华长生制作,13,应当注意，高阶,R-K,公式的推导是基于初值问题的解,y,(,x,),的,Taylor,展开，因而要求,y,(,x,),具有较好的光滑性。,如果解,y,(,x,),的光滑性较差，虽然使用高精度的,R-K,公式，有时甚至没有使用低精度的公式效果好。,华长生制作,14,