数值分析：7.1-7.2非线性方程求解.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 非线性方程数值求解,Numerical Value Analysis,7.1,一元方程求根,1,）,问题的提出,满足,函数方程,f(x,)=0 (1),的,x,称为方程,(1),的,根,，或称为函数,f(x),的,零点,.,如果函数,(x),可分解为,(x)=(,x,s),m,g(x,),且,g(,s,),0,则称,s,是,(x),的,m,重零点或,(x)=0,的,m,重根,.,当,m=1,时，称,s,是,(x),的单根 或单零点。,若,f(x),不,是,x,的线性函数,则称,(1),为,非线性方,程,特别,若,f(x),是,n,次,多项式，则称,(1),为,n,次多项式方程或,代数方程,；若,f(x),是超越函数，则称,(1),为,超越方程,。,主要概念、思想和二分法,2,理论上已证明,，对于次数,n=4,的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于,5,的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示,.,因此对于,f(x)=0,的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为,区间法,和,迭代法,两大类。,求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。,求根方法中最直观最简单的方法是二分法,。,3,2),预备知识,定理,1,.(,根的存在定理,),假设函数,y=f(x),Ca,b,且,f(a)f(b)0,则至少存在一点,x(a,b),使得,f(x)=0.,(,并称区间,(a,b),为有根区间,),定理,2,.,假设函数,y=,f(x,),在,a,b,上单调连续,且,f(a),f(b,)0,则恰好只存在一点,x(,a,b,),使得,f(x,)=0.,定理,3,.,假设函数,y=,f(x,),在,x=s,的某一邻域内充分可微，,则,s,是方程,f(x,)=0,的,m,重根的充分必要条件是,4,1),问题,给定方程,f(x)=0,设,f(x),在区间,a,b,连续,且,f(a)f(b)0,使,则称序列,是,p,阶,收敛,相应的迭代法称为,p,阶方法,.,特别,p=1,称线性收敛,;,1p2,称超线性收敛,p=2,称平方收敛。,(4),41,判别收敛阶的两定理,42,定理,7.4,：对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续，并且,:,则该迭代过程在点 邻近是,P,阶收敛的。,11,44,