离散数学：第4讲 关系的表示.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2025/5/16 周五,1,复习,序偶,(,有序二元组,),笛卡尔积,二元关系,一些特殊关系,2025/5/16 周五,2,序偶,(ordered pair),序偶,:,两个具有,固定次序,的客体组成一个序偶,=a,a,b,其中,a,是第一元素,b,是第二元素,.,也记作,(a,b),2025/5/16 周五,3,笛卡尔积,(Cartesian product),笛卡尔积,:,令,A,和,B,是任意两个集合，若序偶的第一个成员是,A,中,的元素，第二个成员是,B,中,的元素，所有这些序偶组成的集合称为集合,A,和,B,的,笛卡尔积或卡氏积,，记作,A,B,。,A,B=|x,A,y,B.,2025/5/16 周五,4,本节内容,二元关系,关系的表示,关系的集合运算,复合关系和逆关系,2025/5/16 周五,5,二元关系,(binary relation,),二,元关系,(,简称关系,),：序偶的任一集合确定了一个二元关系,R,，,R,中任一序偶,可记作,R,或,xRy,；不在,R,中的任一序偶,可记作,R,或,xRy,/,2025/5/16 周五,6,二元关系的记号,设,R,是二元关系,则,R x,与,y,具有,R,关系,xRy,对比,:xRy (,中缀,(infix),记号,),R(x,y)(,前缀,(prefix),记号,),R (,后缀,(suffix),记号,),例如,:2.,2025/5/16 周五,7,定义域,值域,域,对任意关系,R,可以定义,:,定义域,(domain)(,前域,):,dom R=x|,y(xRy),值域,(range):,ran R=y|,x,(xRy),域,(field):,fld R=dom R,ran R,2025/5/16 周五,8,定义域,值域,域,(,举例,),例,4:R,1,=,R,2,=,R,3,=,.,dom R,1,=,ran R,1,=,fld R,1,=,dom R,2,=c,e,ran R,2,=d,f,fld R,2,=c,d,e,f,dom R,3,=1,3,5,ran R,3,=2,4,6,fld R,3,=1,2,3,4,5,6.#,2025/5/16 周五,9,讨论,由上我们可看出：,设,domR=A,，,ranR=B,，则,R,A,B,关系由序偶定义的，因此与笛卡尔积有关,.,结论：关系是,两集合,笛卡尔积的子集,.,2025/5/16 周五,10,A,到,B,的二元关系,A,到,B,的二元关系,:,是,A,B,的任意子集,.,R,是,A,到,B,的二元关系,R,A,B,RP(,A,B),当,A=B,时，,则叫做,A,上的二元关系,。,2025/5/16 周五,11,A,到,B,的二元关系的个数,Problem:,若,|A|=m,|B|=n,则,A,到,B,的二元关系有多少个,?,|,A,B|=mn,故,|,P,(,A,B)|=2,mn,即,A,到,B,不同的二元关系共有,2,mn,个,!,2025/5/16 周五,12,A,到,B,的二元关系,(,举例,),例,5:,设,A=a,1,a,2,B=b,则,A,到,B,的二元关系共有,4,个,:,R,1,=,R,2,=,R,3,=,R,4,=,.,B,到,A,的二元关系也有,4,个,:,R,5,=,R,6,=,R,7,=,R,8,=,.#,2025/5/16 周五,13,A,上的二元关系,例,6:,设,B=b,则,B,上的二元关系共有,2,个,:,R,1,=,R,2,=,.#,例,7:,设,A=a,1,a,2,则,A,上的二元关系共有,16,个,.,#,例,8:,设,C=a,b,c,则,C,上的,2,元关系,共有,2,9,=512,个,!#,2025/5/16 周五,14,一些特殊关系,空关系,恒等关系,全域关系,整除关系,小于等于关系,包含关系,真包含关系,2025/5/16 周五,15,特殊关系,设,A,是任意集合,则可以定义,A,上的,:,空关系,:,恒等关系,:,I,A,=|xA,全域关系,:,E,A,=AA=|xA yA,2025/5/16 周五,16,特殊关系,(,续,),设,AZ,则,可以定义,A,上的,:,整除关系,:,D,A,=|xA yA x|y,例,:A=1,2,3,4,5,则,D,A,=,.#,2025/5/16 周五,17,特殊关系,(,续,),设,AR,则,可以定义,A,上的,:,小于等于,(less than or equal to),关系,:,LE,A,=|xA yA xy,小于,(less than),关系,L,A,=|xA yA xy,大于等于,(greater than or equal to),关系,大于,(great than),关系,2025/5/16 周五,18,特殊关系,(,续,),设,A,为任意集合,则,可以定义,P(A),上的,:,包含关系,:,A,=|xA yA xy,真包含关系,:,A,=|xA yA xy,2025/5/16 周五,19,100,米,跳高,铅球,足球,跨栏,张三,李四,王五,赵六,关系的表示,表格,用字母数字来代替这些元素,，,，,2025/5/16 周五,20,关系矩阵,(matrix),设,A=a,1,a,2,a,n,R,A,A,则,R,的关系,矩阵,M(R)=(r,ij,),n,n,其中,例如,A=a,b,c,R,1,=,R,2,=,2025/5/16 周五,21,整除关系矩阵表示,例,:A=1,2,3,4,5,则,D,A,=,.#,2025/5/16 周五,22,全域关系,2025/5/16 周五,23,恒等关系,2025/5/16 周五,24,a,b,c,d,1,2,3,4,5,关系的表示,图示法,R=,2025/5/16 周五,25,关系的表示,图示法,设,A,1,2,3,4,A,上的关系,H,1,2,3,4,2025/5/16 周五,26,关系图,(graph),设,A=a,1,a,2,a,n,R,A,A,则,A,中元素以,“,”,表示,(,称为顶点,),R,中元素以,“,”,表示,(,称为有向边,);,若,x,i,Rx,j,则从顶点,x,i,向顶点,x,j,引有向边,这样得到的图称为,R,的关系图,G(R).,例如,A=a,b,c,R,1,=,R,2,=,则,a,b,c,a,b,c,G(R,1,),G(R,2,),2025/5/16 周五,27,二元关系的集合运算,Combining Relations,二元关系是集合，集合存在并，交，差和对称差的运算。,故二元关系也存在这样的运算。,2025/5/16 周五,28,定理,若,R,和,S,是从集合,X,到,Y,的两个关系，则,R,、,S,的并、交、补、差仍是,X,到,Y,的关系,.,2025/5/16 周五,29,关系的集合运算,设,R,1,和,R,2,是到的二元关系，则,R,1,R,2,R,1,或,R,2,R,1,R,2,R,1,且,R,2,R,1,-,R,2,R,1,但,R,2,R,1,A,B,但,R,1,通常记为,R,1,R,2,R,1,R,2,但,R,1,R,2,2025/5/16 周五,30,举例,设,A,1,2,3,4,，,Z,为整数集,R,a,，,b,A,，,(a-b)/2,Z,S,a,，,b,A,，,(a-b)/3,Z,，,a,b,求：,R,S,，,R,S,，,，,R,S,，,S,R,，,S,R,2025/5/16 周五,31,举例（续）,解：,R,与,S,都是上的二元关系,R,，,，,，,，,，,，,，,S,R,S,，,，,，,，,，,，,，,，,2025/5/16 周五,32,举例（续）,R,S,，,，,，,，,，,，,，,R,-,S=R,，,S,-,R,=,S,，,S,R,=,R,S,2025/5/16 周五,33,设,:,1,，,2,，,，,n,1,，,2,，,，,m,1,（,ij,）,2,（,ij,）,利用矩阵表示进行运算,二元关系的矩阵运算：,相关矩阵可表示二元关系，可用矩阵的逻辑运算来研究二元关系的运算。,2025/5/16 周五,34,其中,:,逻辑加,(),：,，,，,，,逻辑乘,(),：,，,，,，,2025/5/16 周五,35,则用矩阵的逻辑运算,:,2025/5/16 周五,36,2025/5/16 周五,37,逆,复合,(,合成,),对任意集合,F,G,可以定义,:,逆,(inverse):,F,-1,=|yFx,右复合,(composite):,F,G=|,z,(xFz,zGy,),x,z,y,F,G,2025/5/16 周五,38,逆关系的性质,R,c,的关系矩阵是,R,的转置矩阵,R,c,的关系图是,R,的关系图中弧方向取反,2025/5/16 周五,39,定理,1,定理,1:,设,F,是任意关系,则,(1)domF,-1,=ranF;,(2)ranF,-1,=domF;,(3)(F,-1,),-1,=F.,2025/5/16 周五,40,定理,1(,证明,(1),(1)domF,-1,=ranF;,证明,:(1),x,x,domF,-1,y(x,F,-1,y,),y(y,Fx),xran,F,domF,-1,=ranF.,(2),可类似证明,.,2025/5/16 周五,41,定理,1(,证明,(3),(3)(F,-1,),-1,=,F.,证明,:(1),(,F,-1,),-1,x(,F,-1,),-1,y,y,F,-1,x,x,Fy.,这时,(F,-1,),-1,=F.,#,2025/5/16 周五,42,逆关系满足性质,定理：,设,R,、,R,1,和,R,2,都是从,A,到,B,的二元关系，则下列各式成立,.a)(R,1,R,2,),-1,R,1,-1,R,2,-1,b)(R,1,R,2,),-1,R,1,-1,R,2,-1,c)(AB),-1,BA d)(R),-1,R,-1,这里,R,AB-Re)(R,1,-R,2,),-1,R,1,-1,-R,2,-1,_,_,_,2025/5/16 周五,43,关于,复合,顺序复合,(,右复合,):,F,G=|,z,(xFz,zGy,),逆序复合,(,左复合,):,F,G=|,z,(xGz,zFy,),2025/5/16 周五,44,则：,1,，,，,，,，,，,，,是选双学位专业的二元关系。,举例,a,1,a,2,a,3,a,4,是学生集合,b,1,b,2,b,3,b,4,是专业集合,C,c,1,c,2,c,3,c,4,是课程集合,2025/5/16 周五,45,2,，,，,，,，,，,，,，,，,是各专业本学期必修课的二元关系。,3,1,2,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,是选双学位学生本学期必修课的二元关系,举例（续）,2025/5/16 周五,46,复合关系的其他求法,用矩阵相乘求复合关系,用关系图求复合关系,2025/5/16 周五,47,用矩阵相乘求复合关系,R,为集合,X,x,1,x,m,到,Y=y,1,y,n,上的关系,M,R,=u,ij,m,n,表示,R,的关系矩阵,S,为集合,Y,y,1,y,n,到,Z=z,1,z,l,上的关系,M,S,=v,jk,n,l,M,R,S,=,M,R,M,S,=W,ik,其中,W,ik,=,j=1,n,(,u,ij,v,jk,),2025/5/16 周五,48,在行处标上姓名，列处标上课程，就知谁该必修哪些课了。,矩阵乘积举例,2025/5/16 周五,49,用关系图求复合关系,R,S=|,z,(xRz,zSy,),x,z,y,R,S,2025/5/16 周五,50,关系图求复合举例,a,1,R,1,a,2,a,3,a,4,b,1,b,2,b,3,b,4,c,1,c,2,c,3,c,4,R,2,a,1,a,2,a,3,a,4,c,1,c,2,c,3,c,4,R,1,R,2,2025/5/16 周五,51,复合关系的性质,无交换律：,R,S,S,R,有结合律：,(,R,S,),P,=,R,(,S,P,),2025/5/16 周五,52,定理,2,定理,2(1):,设,R,1,R,2,R,3,为二元关系,则,(R,1,R,2,),R,3,=R,1,(R,2,R,3,),证明,:,(R,1,R,2,),R,3,z,(x(R,1,R,2,)z,z,R,3,y,),z,(,t,(xR,1,t,tR,2,z)z,R,3,y,),zt,(xR,1,t,tR,2,z z,R,3,y,),tz,(xR,1,t,tR,2,z z,R,3,y,),2025/5/16 周五,53,定理,2(,续,),证明,(,续,):,tz,(xR,1,t,tR,2,z z,R,3,y,),t(,xR,1,t,z,(tR,2,z,z,R,3,y,),t(,xR,1,t,t(R,2,R,3,),y,),xR,1,(R,2,R,3,),t,R,1,(R,2,R,3,),(R,1,R,2,),R,3,=R,1,(R,2,R,3,).#,说明,:,定理,2,说明复合运算具有结合律,.,x,t,z,y,R,1,R,2,R,3,2025/5/16 周五,54,定理,2(,续,),定理,2,（,2,）,:,设,F,G,为二元关系,则,(F,G),-1,=G,-1,F,-1,.,F,F,-1,G,G,-1,2025/5/16 周五,55,定理,2(2)(,证明,),(F,G),-1,=G,-1,F,-1,证明,:,(F,G),-1,(F,G),z(yF,z,zGx,),z(zF,-1,yxG,-1,z),z(xG,-1,z,zF,-1,y),G,-1,F,-1,.#,x,y,z,2025/5/16 周五,56,复合关系的性质,(,续,),定理,4:,设,R,1,R,2,R,3,是集合,则,(1)R,1,(,R,2,R,3,)=,(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,),(2)(R,1,R,2,),R,3,=,(,R,1,R,3,),(,R,2,R,3,),(3)R,1,(,R,2,R,3,),(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,),(4)(R,1,R,2,),R,3,(,R,1,R,3,),(,R,2,R,3,),2025/5/16 周五,57,定理,4(,证明,(1),(1)R,1,(,R,2,R,3,)=,(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,),证明,:,R,1,(,R,2,R,3,),z(x(,R,1,)z,z(,R,2,R,3,)y),z(x,R,1,z,(z,R,2,y,z,R,3,y),z(x,R,1,z,z,R,2,y),(x,R,1,z,z,R,3,y),z(x,R,1,z,z,R,2,y),z(x,R,1,z,z,R,3,y),（,对,可分配,）,x(,R,1,R,2,),y,x(,R,1,R,3,),y,x(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,)y,(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,),2025/5/16 周五,58,定理,4(,证明,(3),(3)R,1,(,R,2,R,3,),(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,),证明,:,R,1,(,R,2,R,3,),z(x,R,1,z,z(,R,2,R,3,),y),z(x,R,1,z,(z,R,2,y,z,R,3,y),z(x,R,1,z,z,R,2,y),(x,R,1,z,z,R,3,y),z(x,R,1,z,z,R,2,y),z(x,R,1,z,z,R,3,y),（,对,单向可分配,）,x(,R,1,R,2,),y,x(,R,1,R,3,),y,x(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,)y,(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,).#,2025/5/16 周五,59,定理,4(,讨论,(3),(3)R,1,(,R,2,R,3,),(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,),反例,(,说明,=,不成立,):,设,R,1,=,R,2,=,R,3,=.,则,R,1,(,R,2,R,3,)=R,1,=,R,1,R,2,=,R,1,R,3,=,(,R,1,R,2,),(,R,1,R,3,)=,.#,a,b,c,d,2025/5/16 周五,60,限制，像,设,R,为二元关系，,A,dom(R),，,R,在,A,上的限制记作,R|,A,=|xRy,x A,A,在,R,下的像记作,RA,，其中,RA=ran(R|,A,),2025/5/16 周五,61,举例,设,关系,R,A,1,2,B=2,R|,A,=,R|,B,=,RA=1,2,4,RB=4,2025/5/16 周五,62,作业,P131:(12),(16),(17),