高中数学导数讲解.ppt.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,导数的概念,及基本函数的导数,一、复习目标,了解导数概念的某些实际背景,(,瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等,),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念,熟记常见函数的导数公式,c,x,m,(,m,为有理数,),sin,x,cos,x,e,x,a,x,ln,x,log,a,x,的导数,并能熟练应用它们求有关导数,.,二、重点解析,导数概念比较抽象,其定义、方法一般不太熟悉,因此对导数概念的理解是学习中的一个难点,.,本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法,.,一方面,根据导数定义求导可进一步理解导数的概念,另一方面,许多法则都是由导数定义导出的,.,导函数,(,导数,),是一个特殊的函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想,首先定义函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处可导,且在,x,0,处有唯一的导数,f,(,x,0,),然后定义函数,y,=,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内可导,因而对于开区间,(,a,b,),内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,f,(,x,0,).,据函数定义,在开区间,(,a,b,),内就构成了一个新函数,即导数,.,三、知识要点,1.,导数的概念,对于函数,y,=,f,(,x,),如果自变量,x,在,x,0,处有增量,D,x,那么函数,y,相应的有增量,D,y,=,f,(,x,0,+,D,x,),-,f,(,x,0,),比值 叫做函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,到,x,0,+,D,x,之间的平均变化率,即,=.,x,y,x,y,x,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),x,y,如果当,D,x,0,时,有极限,就说函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处可导,并把这个极限叫做,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,(,或变化率,),记作,:,f,(,x,0,),或,y,|,x,=,x,0,即,:,x,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),f,(,x,0,)=lim =lim .,x,0,x,y,x,0,f,(,x,)=,y,=,lim =lim .,x,f,(,x,+,x,),-,f,(,x,),x,0,x,y,x,0,函数,y,=,f,(,x,),的导数,f,(,x,),就是当,D,x,0,时,函数的增量,D,y,与自变量的增量,D,x,的比 的极限,即,:,x,y,求函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的导数的步骤,:,(2),求平均变化率,:=,;,x,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),x,y,(1)求函数的增量:,y,=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,);,(3),取极限,:,得导数,f,(,x,0,)=lim .,x,y,x,0,如果函数,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内每一点都可导,就说,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内可导,.,这时,对于开区间,(,a,b,),内每一个确定的值,x,0,都对应着一个确定的导数,f,(,x,0,),这样就在开区间,(,a,b,),内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内的导函数,记作,f,(,x,),或,y,(,需指明自变量,x,时记作,y,x,),即,:,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),就是曲线,y,=,f,(,x,),在点,P(,x,0,f,(,x,0,),处的切线的斜率,k,即,:,k,=tan,=,f,(,x,0,).,相应的切线方程为,y,-,y,0,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,).,2.,导数的意义,(1),几何意义,:,(2),物理意义,:,函数,S=,s,(,t,),在点,t,0,处的导数,s,(,t,0,),就是当物体的运动方程为,S=,s,(,t,),时,物体运动在时刻,t,0,时的瞬时速度,v,即,:,v,=,s,(,t,0,).,设,v,=,v,(,t,),是速度函数,则,v,(,t,0,),表示物体在时刻,t,=,t,0,时的加速度,.,f,(,x,)=,y,=,lim,=lim .,x,f,(,x,+,x,),-,f,(,x,),x,0,x,y,x,0,导函数也简称导数,.,当,x,0,(,a,b,),时,函数,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),等于函数,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内的导数,f,(,x,),在点,x,0,处的函数值,.,如果函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处可导,那么函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处连续,但要注意连续不一定可导,.,3.,几种常见函数的导数,(1),c,=0,(,c,为常数,),(,x,n,),=,nx,n,-,1,(,n,Q,);,(2)(sin,x,),=cos,x,(cos,x,),=,-,sin,x,;,(4)(,e,x,),=,e,x,(,a,x,),=,a,x,ln,a,.,(3)(ln,x,),=,(log,a,x,),=,log,a,e,;,1,x,1,x,典型例题,1,已知函数,f,(,x,)=(1),确定,a,b,的值,使,f,(,x,),在,x,=0,处连续、可导,;(2),求曲线,y,=,f,(,x,),在点,P(0,f,(0),处的切线方程,.,x,2,+,x,+1,x,0,ax,+,b,x,0.,解,:(1),要使,f,(,x,),在,x,=0,处连续,则需,lim,f,(,x,),=lim,f,(,x,)=,f,(0).,x,0,-,x,0,+,而,lim,f,(,x,),=lim,(,x,2,+,x,+1)=1,f,(0)=1,x,0,-,x,0,-,lim,f,(,x,),=lim,(,ax,+,b,)=,b,x,0,+,x,0,+,故当,b,=1,时,可使,f,(,x,),在,x,=0,处连续,.,又,lim =lim,x,y,(0+,x,),2,+(0+,x,)+1,-,(0,2,+0+1),x,0,-,x,0,-,x,=lim,(,x,+1,),=1,x,0,-,x,0,+,lim =lim,x,y,a,(0+,x,)+,b,-,(0,2,+0+1),x,x,0,+,=lim,a,x,+,b,-,1,x,x,0,+,=,a,+lim,b,-,1,x,x,0,+,故当,b,-,1=0,且,a,=1,即,a,=,b,=1,时,f,(,x,),在,x,=0,处可导,.,综上所述,当,b,=1,a,R,时,f,(,x,),在,x,=0,处连续,当,a,=,b,=1,时,f,(,x,),在,x,=0,处可导,.,(2),由,(1),知,f,(0)=1,又,f,(0)=1,故曲线,y,=,f,(,x,),在点,P(0,f,(0),处的切线方程为,y,-,1=,x,-,0,即,x,-,y,+1=0.,典型例题,2,若,f,(,x,),在,R,上可导,(1),求,f,(,-,x,),在,x,=,a,处的导数与,f,(,x,),在,x,=,-,a,处的导数的关系,;(2),证明,:,若,f,(,x,),为偶函数,则,f,(,x,),为奇函数,.,(1),解,:,设,f,(,-,x,)=,g,(,x,),则,=,-,f,(,-,a,).,f,(,-,x,),在,x,=,a,处的导数与,f,(,x,),在,x,=,-,a,处的导数互为相反数,.,(2),证,:,f,(,x,),为偶函数,f,(,x,),为奇函数,.,g,(,a,)=lim,x,0,g,(,a,+,x,),-,g,(,a,),x,=lim,x,0,f,(,-,a,-,x,),-,f,(,-,a,),x,=,-,lim,-,x,0,f,(,-,a,-,x,),-,f,(,-,a,),-,x,=lim,x,0,f,(,x,-,x,),-,f,(,x,),x,=,-,lim,-,x,0,f,(,x,-,x,),-,f,(,x,),-,x,=,-,f,(,x,),x,0,f,(,-,x,+,x,),-,f,(,-,x,),x,f,(,-,x,)=lim,注,:,本题亦可利用复合函数的求导法则解决,.,典型例题,3,已知曲线,C:,y,=,x,3,-,3,x,2,+2,x,直线,l,:,y,=,kx,且直线,l,与曲线,C,相切于点,(,x,0,y,0,)(,x,0,0),求直线,l,的方程及切点坐标,.,解,:,由已知直线,l,过原点且其斜率,k,=,x,0,y,0,点,(,x,0,y,0,),在曲线,C,上,y,0,=,x,0,3,-,3,x,0,2,+2,x,0,.,=,x,0,2,-,3,x,0,+2.,x,0,y,0,又,y,=3,x,2,-,6,x,+2,在,点,(,x,0,y,0,),处曲线,C,的切线斜率,k,=,y,|,x,=,x,0,.,x,0,2,-,3,x,0,+2=3,x,0,2,-,6,x,0,+2,.,整理得,2,x,0,2,-,3,x,0,=0,.,解得,x,0,=,(,x,0,0,),.,3,2,这时,y,0,=,-,k,=,-,.,3,8,1,4,直线,l,的方程为,y,=,-,x,1,4,切点坐标是,(,-,).,3,8,3,2,注 有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义,.,曲线,C,在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的,(,若存在的话,),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题,.,典型例题,4,求曲线,y,=2,-,x,2,与,y,=,x,3,-,2,的交点处切线的夹角,(,用弧度数作答,),.,1,2,1,4,解,:,由,y,=2,-,x,2,与,y,=,x,3,-,2,联立方程组解得交点坐标为,P(2,0),.,1,2,1,4,y,=2,-,x,2,的导函数为,y,=,-,x,1,2,它在,P,处的切线斜率,k,1,=,-,2,同理,曲线,y,=,x,3,-,2,在,P,处的切线斜率,k,2,=,3,1,4,由夹角公式,tan,=|,|=1,得,k,2,-,k,1,1+,k,2,k,1,4,=,.,故两曲线的交点处切线的夹角为,.,4,课后练习,1,已知函数,f,(,x,)=,判断,f,(,x,),在,x,=1,处是否可导,.,(,x,2,+1),x,1,(,x,+1),x,1.,1,2,1,2,x,y,lim,lim ,x,y,x,0,-,x,0,+,解,:,lim,=lim,x,y,x,0,-,(1+,x,),2,+1,-,(1,2,+1),x,0,-,x,1,2,1,2,lim,=lim,x,y,x,0,+,x,0,+,(1+,x,+1),-,(1,2,+1),x,1,2,1,2,=1,=,1,2,f,(,x,),在,x,=1,处不可导,.,注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在且相等,那么这点的导数存在,否则不存在,.,=lim,(1+,x,),1,2,x,0,-,=lim,1,2,x,0,+,x,x,x,0,x,y,从而,lim,不存在,.,课后练习,2,若函数,f,(,x,)=|,x,|,(1),试判断,f,(,x,),在,x,=0,处是否可导,;(2),当,x,0,时,求,f,(,x,),的导数,.,解,:(1),y,=,f,(0+,x,),-,f,(0)=|,x,|,x,y,x,0,-,x,0,+,lim,lim ,x,y,x,0,x,y,从而,lim,不存在,.,故函数,f,(,x,)=|,x,|,在点,x,=0,处不可导,.,(2),当,x,0,时,可使,x,+,x,0.,f,(,x,)=lim =lim,x,f,(,x,+,x,),-,f,(,x,),x,0,x,|,x,+,x,|,-,|,x,|,x,0,=lim,x,(,x,+,x,),-,x,x,0,=1.,同理可得,当,x,0,时,f,(,x,)=,-,1.,=,.,x,|,x,|,x,y,当,x,0,时,=1,lim =1,x,0,x,y,x,y,注 函数在一点连续,但不一定可导,;,函数在一点可导,直观反映是函数的图象在这一点是平滑的,.,课后练习,3,一质点作直线运动,它所经过的路程,S,(,单位,:,m,),和时间,t,(,单位,:,s,),的关系是,S,=3,t,2,+,t,+1.(1),求,2,2.01,这段时间内质点的平均速度,;(2),当,t,=2,时的瞬时速度,.,解,:(1),S,=3,2.01,2,+2.01+1,-,(3,2,2,+2+1),=0.1303.,=,0.1303,0.01,v,=,t,S,=13.03(,m,/,s,).,(2),S,=3(,t,+,t,),2,+(,t,+,t,)+1,-,(3,t,2,+,t,+1),=3,t,2,+(1+6,t,),t,t,S,=,3,t,2,+(1+6,t,),t,t,=3,t,+1+6,t,.,v,=lim,t,S,t,0,=lim(3,t,+1+6,t,),t,0,=6,t,+1.,v,|,t,=2,=13.,即当,t,=2,时,质点运动的瞬时速度为,13,m,/,s,.,注,(2),亦可直接对函数求导后解决,.,课后练习,4,如果曲线,y,=,x,3,+,x,-,10,的某一切线与直线,y,=4,x,+3,平行,求切点坐标与切线方程,.,解,:,切线与直线,y,=4,x,+3,平行,切线斜率为,4,.,又,切线在,x,0,处斜率为,y,|,x,=,x,0,3,x,0,2,+1=4,.,x,0,=1,.,当,x,0,=1,时,y,0,=,-,8;,当,x,0,=,-,1,时,y,0,=,-,12.,切点坐标为,(1,-,8),或,(,-,1,-,12),.,切线方程为,y,=4,x,-,12,或,y,=4,x,-,8,.,=(,x,3,+,x,-,10,),|,x,=,x,0,=3,x,0,2,+1,.,课后练习,5,已知曲线,S,:,y,=,x,3,-,6,x,2,-,x,+6.(1),求,S,上斜率最小的切线方程,;(2),证明,:,S,关于切点对称,.,(1),解,:,由已知,y,=3,x,2,-,12,x,-,1,当,x,=2,时,y,最小,最小值为,-,13,.,S,上斜率最小的切线的斜率为,-,13,切点为,(2,-,12),.,切线方程为,y,+12=,-,13(,x,-,2),即,13,x,+,y,-,14=0.,(2),证,:,设,(,x,0,y,0,),S,(,x,y,),是,(,x,0,y,0,),关于,(2,-,12),的对称点,则,x,0,=4,-,x,y,0,=,-,24,-,y,.,(,x,0,y,0,),S,-,24,-,y,=(4,-,x,),3,-,6(4,-,x,),2,-,(4,-,x,)+6.,整理得,y,=,x,3,-,6,x,2,-,x,+6.,(,x,y,),S,.,曲线,S,关于切点,(2,-,12),对称,.,课后练习,6,设直线,l,1,与曲线,y,=,x,相切于,P,直线,l,2,过,P,且垂直,l,1,若,l,2,交,x,轴于,Q,点,又作,PK,垂直,x,轴于,K,点,求,KQ,的长,.,解,:,设,P(,x,0,y,0,),则,k,l,1,=,y,|,x,=,x,0,=.,2,x,0,1,直线,l,2,垂直,l,1,k,l,2,=,-,2,x,0,.,l,2,:,y,-,y,0,=,-,2,x,0,(,x,-,x,0,).,令,y,=0,则,-,y,0,=,-,2,x,0,(,x,Q,-,x,0,),即,-,x,0,=,-,2,x,0,(,x,Q,-,x,0,).,解得,x,Q,=,+,x,0,.,1,2,又易得,x,K,=,x,0,|KQ|=|,x,Q,-,x,K,|=,1,2,即,KQ,的长为,.,1,2,