广东省广州市天河区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题（含答案）.docx

2
020-2021 学年广东省广州市天河区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的．）
1
. 下列各组图形中，一个图形经过平移能得到另一个图形的是（
）
A.
C
B.
D.
2
. 已知 a＞b，则下列式子中错误的是（
）
A. a+2＞b+2
B. 4a＞4b
C. ﹣a＞﹣b
D. 4a﹣3＞4b﹣3
)
3
. 下面四个图形中，∠1=∠2 一定成立的是(
A
B.
C.
D.
4
. 点（2，﹣1）所在象限为（
）
A 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5
. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（
）
A. 对全国初中学生视力状况的调查
B. 对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查
C. 旅客上飞机前的安全检查
D. 了解某种品牌手机电池的使用寿命
6
. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大
马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么
可列方程组为（ ）
ì
x + y =100
ìx + y =100
A. í
B. í
3x +3y =100
x + 3y =100
î
î
第 1页/共 5 页

ì
x + y =100
ìx + y =100
3x + y =100
î
ï
C. í
1
D. í
3x + y =100
ï
î
3
7
. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 Ð1= 28°，那么 Ð2 的度数为（
）
A. 62°
. 设 a = 7 + 2 ，则（
A 2 < a < 3
B. 56°
C. 28°
D. 72°
8
）
B. 3< a < 4
C. 4 < a < 5
D. 5< a < 6
ì
x + 3y = 4①
9
. 用加减消元法解二元一次方程组 í
时，下列方法中无法消元的是（
）
2x - y =1②
î
A. ①×2﹣②
B. ②×（﹣3）﹣①
C. ①×（﹣2）+②
D. ①﹣②×3
1
0. 在平面直角坐标系中，将点 A（m，n）先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到点 A′，若点
A′位于第二象限，则 m、n 的取值范围分别是（
A. m＜2，n＞3 B. m＜2，n＞﹣3
）
C. m＜﹣2，n＜﹣3
D. m＜﹣2，n＞﹣3
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．)
11. 9 的平方根是_________．
1
2. 如图，直线 l ，l 被直线 l 所截，l ∥l ，已知∠1＝80°，则∠2＝___．
1
2
3
1
2
1
3. 不等式3x +1> 7 的解集为_______．
ì
x + y = 2
ìx = -1
1
4. 若关于 x，y 的二元一次方程组 í
的解为 í
，则含 x，y 的多项式 A 可以是___（写出一个
A = 0
y = 3
î
î
即可）．
1
5. 已知在平面直角坐标系中有点 A（3，y）（y 是任意实数），则点 B（﹣2，﹣3）与点 A 的距离最短时，y
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＝___．
ì
x -1> 0
x
í
2
a
1
6. 若关于 的一元一次不等式组
有
个整数解，则 的取值范围是______．
2x - a < 0
î
三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
ì
x - 2y = 7
1
7. 解方程组： í
．
x + y =10
î
x -1 2x +1
<
1
1
8 解不等式：
．
2
3
9. 如图，在平面直角坐标系内，三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 平移得到，三角形 ABC 内部一点 P（a，b）
随之平移后得到点 P′．
（1）填空：点 A 的坐标是
；点 A′的坐标是
；点 P′的坐标是
；
（2）连接 BB′，求三角形 ABB′的面积．
2
0. 自 2011 年 4 月 1 日起广州市施行《广州市城市生活垃圾分类管理暂行规定》，城市生活垃圾分为“可回
收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾”四类．某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调
查选项分为“A：非常了解，B：比较了解，C：了解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不
完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求该校本次随机调查的学生人数；
（2）若该校学生有 1200 名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有多少名？
第 3页/共 5 页

2
1. 如图，已知，AB∥CD，CE 平分∠ACD 交 AB 于点 E．
（1）若∠FCD＝50°，求∠1 的度数；
（2）若∠FAB 的平分线 AP 交 CE 于点 P，请判断∠CAP 与∠ACP 的数量关系，并说明理由．
2
2. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司
购买 A 型号和 B 型号垃圾分拣机器人共 60 台，其中 B 型号机器人不少于 A 型号机器人的 1.4 倍．该垃圾处
理厂最多购买几台 A 型号机器人？
2
3. 数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为 3：2，面积为 30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为 a，b 的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一
条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为 50，阴影部分两个长方形的周长之和为 30，由此她判
断大正方形的面积为 100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
2
4. 对 a，b 定义一种新运算 T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中 x，y 均为非零实数）．例如：T
1，1）＝3x+3y．
（
第 4页/共 5 页

（
（
（
1）已知 T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求 x，y 的值；
ì
2）已知关于 x，y 的方程组 í (
，若 a≥﹣2，求 x+y 的取值范围；
îT 0，2 = 8a
ï
)
3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点 A（x，y）落在坐标轴上，将线段 OA 沿 x 轴向右平移
2
个单位，得线段 O′A′，坐标轴上有一点 B 满足三角形 BOA′的面积为 9，请直接写出点 B 的坐标．
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2
020-2021 学年广东省广州市天河区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的．）
1
. 下列各组图形中，一个图形经过平移能得到另一个图形的是（
）
A.
C.
B.
D.
【
【
【
【
答案】D
解析】
分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．
详解】解：各组图形中，选项 D 中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形，
故选：D．
点睛】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且
相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
. 已知 a＞b，则下列式子中错误的是（
A. a+2＞b+2 B. 4a＞4b
【
2
）
C. ﹣a＞﹣b
D. 4a﹣3＞4b﹣3
【
【
【
【
∴
答案】C
解析】
分析】利用不等式的基本性质判断即可．
详解】解：∵a＞b，
a+2＞b+2，4a＞4b，﹣a＜﹣b，4a﹣3＞4b﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
)
3
. 下面四个图形中，∠1=∠2 一定成立的是(
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A.
B.
C.
D.
【
【
【
答案】B
解析】
详解】A．∠1、∠2 是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B．∠1、∠2是对顶角，∠1=∠2；故本选项正确；
C．根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D．根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
【
点睛】题目主要考查对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质，熟练掌握运用这些性质是解
题关键．
. 点（2，﹣1）所在象限为（
4
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【
【
【
答案】D
解析】
详解】点（2，-1）所在象限为第四象限．
故选 D．
. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（
A. 对全国初中学生视力状况的调查
5
）
B. 对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查
C. 旅客上飞机前的安全检查
D. 了解某种品牌手机电池的使用寿命
【
【
【
答案】C
解析】
分析】普查就是在一个区域内对所有考查对象进行全面调查,根据普查得到的调查结果比较准确，但所费
人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【
（
（
（
详解】解:（1）对全国初中学生视力状况的调查，适合抽样调查；
2）对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查，适合抽样调查；
3）旅客上飞机前的安全检查，适合全面调查；
4）了解某种品牌手机电池的使用寿命，适合抽样调查．
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故选择：C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6
. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大
马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么
可列方程组为（ ）
ì
x + y =100
ìx + y =100
A. í
B. í
3x +3y =100
x + 3y =100
î
î
ì
x + y =100
ìx + y =100
3x + y =100
î
ï
C. í
1
D. í
3x + y =100
ï
î
3
【
【
【
答案】C
解析】
分析】设大马有 x 匹，小马有 y 匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小
马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：由设有 x 匹大马，y 匹小马，
x + y =100
由共有 100 匹马，可得
1
共有 100 片瓦，则3x + y =100
，
3
ì
x + y =100
ï
所以可得得二元一次方程组 í
1
．
3x + y =100
ï
î
3
故答案为 C．
点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列
方程成为解答本题的关键．
【
7
. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 Ð1= 28°，那么 Ð2 的度数为（
）
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A. 62°
B. 56°
C. 28°
D. 72°
【答案】A
【解析】
Ð
ABD,
再利用平行线的性质可得答案．
【分析】利用两锐角互余求解
【
详解】解：如图，标注字母，
Ð
EBD = 90°,Ð1= 28°, AB / /CD
，
由题意得：
\
ÐABD = 90°- 28° = 62°,
\
Ð2 = ÐABD = 62°,
故选 A．
【点睛】本题考查平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8
. 设 a = 7 + 2 ，则（
）
A. 2 < a < 3
B. 3< a < 4
C. 4 < a < 5
D. 5< a < 6
【答案】C
【解析】
【
【
∴
分析】先估计 7 的范围，再得出 a 的范围即可.
详解】解：∵4＜7＜9，
2 < 7 < 3 ，
4 < 7 + 2 < 5 ，即
4
< a < 5，
∴
故选 C.
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.
ì
x + 3y = 4①
9
. 用加减消元法解二元一次方程组 í
时，下列方法中无法消元的是（
）
2x - y =1②
î
A. ①×2﹣②
B. ②×（﹣3）﹣①
C. ①×（﹣2）+②
D. ①﹣②×3
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【
【
【
【
答案】D
解析】
分析】根据各选项分别计算，即可解答．
详解】方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元 x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元 y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元 x，不符合题意；
D、①﹣②×3 无法消元，符合题意．
故选：D．
【
点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时
才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
0. 在平面直角坐标系中，将点 A（m，n）先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到点 A′，若点
1
A′位于第二象限，则 m、n 的取值范围分别是（
A. m＜2，n＞3 B. m＜2，n＞﹣3
）
C. m＜﹣2，n＜﹣3
D. m＜﹣2，n＞﹣3
【答案】D
【解析】
(m + 2,n + 3)
，再根据第二
【
分析】根据点的平移规律可得向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到
象限内点的坐标符号可得.
A(m,n)
先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到点
A
'
(m + 2,n +3)
【
详解】将点
点 A' 位于第二象限
∵
ì
m + 2 < 0
\
í
n + 3 > 0
î
m < -2,n > -3
解得：
故选：D.
点睛】本题考查了点的平移规律、平面直角坐标系的象限特点，依据题意求出点 A' 的坐标是解题关键.
【
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．)
11. 9 的平方根是_________．
【
【
【
答案】±3
解析】
分析】根据平方根的定义解答即可．
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【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9 的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数
没有平方根．
【
1
2. 如图，直线 l ，l 被直线 l 所截，l ∥l ，已知∠1＝80°，则∠2＝___．
1
2
3
1
2
【
【
【
【
∴
∵
∴
答案】80°
解析】
分析】根据平行线的性质，可以得到∠1=∠2，再根据∠1=80°，即可得到∠2 的度数．
详解】解：∵直线 l ，l 被直线 l 所截，l ∥l ，
1
2
3
1
2
∠1=∠2，
∠1=80°，
∠2=80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1
3. 不等式3x +1> 7 的解集为_______．
x > 2
【
【
【
【
答案】
．
解析】
分析】移项、合并同类项、系数化为 1 即可得出答案．
详解】解：3x +1> 7 ，
移项：3x > 7 -1，
合并同类项：3x > 6，
x > 2
系数化成１：
，
x > 2
所以不等式的解集为：
；
x > 2
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的解题步骤．
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ì
x + y = 2
ìx = -1
1
4. 若关于 x，y的二元一次方程组 í
的解为 í
，则含 x，y 的多项式 A 可以是___（写出一个
A = 0
y = 3
î
î
即可）．
【答案】3x + y
【解析】
ì
x = -1
【
分析】根据 í
，添加系数，使得结果为 0 即可．
y = 3
î
ì
x + y = 2
ìx = -1
【
详解】解：∵关于 x，y 的二元一次方程组 í
的解为 í
，
A = 0
y = 3
î
î
而-1×3+3=0，
∴多项式 A 可以是3x + y
，
故答案为：3x + y
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，本题是开放题，注意方程组的解的定义．
1
5. 已知在平面直角坐标系中有点 A（3，y）（y 是任意实数），则点 B（﹣2，﹣3）与点 A 的距离最短时，y
＝
【
【
【
【
∴
∴
∵
___．
答案】-3
解析】
分析】根据已知条件得出 AB∥x 轴时，A、B 两点的距离最小，据此得到答案．
详解】解：∵点 A（3，y）（y 是任意实数），
点 A 在直线 x=3 上，
当 AB∥x 轴时，A、B 两点的距离最小，
点 B（-2，-3），
此时 y=-3．
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
ì
x -1> 0
x
í
2
a
1
6. 若关于 的一元一次不等式组
有
个整数解，则 的取值范围是______．
2x - a < 0
î
【
【
【
答案】 6 < a £ 8
解析】
分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案
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即可．
ì
x -1> 0①
【
详解】解： í
2x - a < 0②
î
解不等式①得：x>1，
a
解不等式②得：x<
，
2
a
∴不等式组的解集是 1＜x＜
，
2
∵x 的一元一次不等式组有 2 个整数解，
∴x 只能取 2 和 3，
a
∴3
<
£ 4
，
2
解得： 6 < a £ 8
故答案为： 6 < a £ 8 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于 a 的取
值范围．
三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
ì
x - 2y = 7
1
7. 解方程组： í
．
x + y =10
î
ì
x = 9
【
答案】 í
y =1
î
【
解析】
分析】应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
【
ì
x - 2y = 7①
【
详解】解： í
，
x + y =10②
î
由①，可得：x=2y+7③，
③代入②，可得：2y+7+y=10，
解得 y=1，
把 y=1 代入③，解得 x=9，
ì
x = 9
∴
原方程组的解是 í
．
y =1
î
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
第 8页/共 16 页

x -1 2x +1
<
1
8. 解不等式：
．
2
3
【
【
【
【
答案】x＞-5
解析】
分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1 即可求出不等式的解集．
详解】解：去分母，得 3（x-1）＜2（2x+1），
去括号，得 3x-3＜4x+2，
移项，得 3x-4x＜2+3，
合并同类项，得-x＜5，
系数化为 1，得 x＞-5．
【
点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系内，三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 平移得到，三角形 ABC 内部一点 P（a，b）
随之平移后得到点 P′．
1
（1）填空：点 A 的坐标是
；点 A′的坐标是
；点 P′的坐标是
；
（2）连接 BB′，求三角形 ABB′的面积．
【
【
【
（
【
答案】（1）（1，0）；（-4，4）；（a-5，b+4）；（2）6
解析】
分析】（1）根据平面直角坐标系得出平移的规律，进而得出点的坐标即可；
2）根据三角形的面积公式解答即可．
详解】解：如图所示：
第 9页/共 16 页

点 A 的坐标是（1，0）；点 A′的坐标是（-4，4）；
所以平移规律为：向左平移 5 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，
∴点 P′的坐标是（a-5，b+4）；
故答案为：（1，0）；（-4，4）；（a-5，b+4）；
1
（
2）三角形 ABB′的面积= ×3×4＝6．
2
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是根据平面直角坐标系得出平移的规
律解答．
2
0. 自 2011 年 4 月 1 日起广州市施行《广州市城市生活垃圾分类管理暂行规定》，城市生活垃圾分为“可回
收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾”四类．某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调
查选项分为“A：非常了解，B：比较了解，C：了解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不
完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求该校本次随机调查的学生人数；
（2）若该校学生有 1200 名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有多少名？
第 10页/共 16 页

【
【
【
（
【
答案】（1）50 名；（2）600 名
解析】
分析】（1）根据选择 B 的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生数；
2）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有多少名．
详解】解：（1）本次共调查的学生数是：21÷42%=50（名）；
4
+ 21
（2）1200×
=600（名），
5
0
答：估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有 600 名．
点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
1. 如图，已知，AB∥CD，CE 平分∠ACD 交 AB 于点 E．
【
2
（1）若∠FCD＝50°，求∠1 的度数；
（2）若∠FAB 的平分线 AP 交 CE 于点 P，请判断∠CAP 与∠ACP 的数量关系，并说明理由．
【
【
【
答案】（1）65°；（2） ÐCAP + ÐACP = 90° ，理由见解析
解析】
Ð1 ，需求Ð DCE ．由CE 平分Ð ACD
．欲求
分析】（1）由
AB / /CD
，得
Ð1= ÐECD
，得
1
Ð
ECD = ÐACD
由 FCD 50 ，得 ACD 180° - Ð
Ð
=
°
Ð
=
=
°
．
FCD 130 ，进而解决此题．
2
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1
AB / /CD
ÐDCA + ÐCAB = 180° ．由CE 平分Ð ACD
ÐACP = ÐACD
（2）由
，得
，得
．由 AP 平分
2
1
Ð
CAB
ÐCAP = ÐCAB
Ð
+ ÐACP 90 ．
=
°
，得
，进而求得 CAP
2
【详解】解：（1）QÐFCD = 50° ，
\
ÐACD = 180° - ÐFCD = 130° ．
Q
CE 平分Ð ACD
，
1
\
ÐECD = ÐACD = 65°
．
2
Q
\
AB / /CD ，
Ð1 = ÐECD = 65° ．
（
2） ÐCAP + ÐACP = 90° ，理由如下：
Q
CE 平分Ð ACD
，
1
\
ÐACP = ÐACD
．
2
Q
AB / /CD ，
\
ÐDCA + ÐCAB = 180° ．
Q
AP平分ÐCAB ，
1
\
ÐCAP = ÐCAB
．
2
1
1
1
\
ÐCAP + ÐACP = ÐCAB + ÐACD = (ÐCAB + ÐACD) = 90°
．
2
2
2
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是
解决本题的关键．
2. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司
2
购买 A 型号和 B 型号垃圾分拣机器人共 60 台，其中 B 型号机器人不少于 A 型号机器人的 1.4 倍．该垃圾处
理厂最多购买几台 A 型号机器人？
【答案】25 台
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【解析】
(60 - x)
【分析】设该垃圾处理厂购买 x 台 A 型号机器人，则购买
台 B 型号机器人，根据“B 型号机器人
不少于 A 型号机器人的 1.4 倍”列出不等式即可求解．
(60 - x)
台 B 型号机器人，
【详解】解：设该垃圾处理厂购买 x 台 A 型号机器人，则购买
60- x ³1.4x,
由题意得
x £ 25,
解得
该垃圾处理厂最多购买 25 台 A 型号机器人，
答：该垃圾处理厂最多购买 25 台 A 型号机器人．
点睛】本题考查一元一次不等式的应用，能根据题中不等式关系列出不等式是解题关键．
3. 数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
∴
【
2
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为 3：2，面积为 30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为 a，b 的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一
条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为 50，阴影部分两个长方形的周长之和为 30，由此她判
断大正方形的面积为 100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
【
答案】（1）长为3 5 ，宽为 2 5 ；（2）正确，理由见解析
【
【
（
解析】
分析】（1）设长为 3x，宽为 2x，根据长方形的面积为 30 列方程，解方程即可；
2）根据长方形纸片的周长为 50，阴影部分两个长方形的周长之和为 30 列方程组，解方程组求出 a 即可
得到大正方形的面积．
详解】解：（1）设长为 3x，宽为 2x，
则：3x•2x=30，
【
∴
x= 5 （负值舍去），
∴
3x=3 5 ，2x= 2 5 ，
答：这个长方形纸片的长为3 5 ，宽为 2 5 ；
（2）正确．理由如下：
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ì
é( + )+ ù =
2ë a b aû 50
ï
根据题意得： í
，
+ ( - )=
4b 2 a b 30
ï
î
ì
a =10
解得： í
，
b = 5
î
∴
大正方形的面积为 102=100．
点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转
【
化为一元方程是解题的关键．
4. 对 a，b 定义一种新运算 T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中 x，y 均为非零实数）．例如：T
2
（1，1）＝3x+3y．
（1）已知 T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求 x，y 的值；
ì
（
2）已知关于 x，y 的方程组 í (
，若 a≥﹣2，求 x+y 的取值范围；
îT 0，2 = 8a
ï
)
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点 A（x，y）落在坐标轴上，将线段 OA 沿 x 轴向右平移
2
个单位，得线段 O′A′，坐标轴上有一点 B 满足三角形 BOA′的面积为 9，请直接写出点 B 的坐标．
x + y ³ -9
或
3 (12, 0) (-12, 0) (0,9) (0,-9) (0,18) (0,-18)
【答案】（1）x=1，y=1；（2）
；（ ）
或
或
或
或
【解析】
【
分析】（1）根据新运算T 定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
ì
x = 2a -3
2）应用新运算T 定义建立方程组，解关于 、 的方程组可得
x
y
í
，进而得出
（
y = a
î
x + y = (2a - 3) + a = 3a - 3 ，再运用不等式性质即可得出答案；
（
3）根据题意得 A(2a -3,a) ，由平移可得 A¢(2a -1,a) ，根据点 A(2a -3,a) 落在坐标轴上，且 aꢀ- 2，分类
讨论即可．
【
详解】解：（1）根据新运算T 的定义可得：
ì
(1-1´2)×(x- y) = 0
í
，
(0 + 2´2)×(0× x+ 2 y) = 8
î
ì
x =1
y =1；
解得： í
î
ì
-(x - y) = 3- a
（
2）由题意得： í
，
4´4y = 8a
î
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ì
x = 2a -3
解得： í
，
y = a
î
\
Q
\
\
\
x + y = (2a - 3)+ a = 3a - 3
aꢀ- 2 ，
，
3aꢀ- 6，
3a -3ꢀ-9
，
x + yꢀ- 9；
ì
x = 2a -3
（
3）由（2）知， í
，
y = a
î
\
A(2a - 3,a)
，
Q
\
Q
将线段OA沿 x 轴向右平移 2 个单位，得线段O¢A¢ ，
A¢(2a -1,a)
，
点 A(2a -3,a) 落在坐标轴上，且 aꢀ- 2，
\
\
2a -3 = 0或 a = 0
，
3
a = 或 =
；
a 0
2
3
2
3
a =
A¢(2, )
①当
时，
，
2
1
2
3
x
S
=
´OB ´ = 9
若点 B 在 轴上，
，
D
BOA¢
2
\
\
OB =12
，
B(12, 0) 或 (-12, 0)
；
1
2
y
=
´
OB ´ 2 = 9 ，
若点 B 在 轴上， SDBOA¢
\
OB = 9
，
\
B(0,9) 或(0,-9)
；
②
当 a = 0 时， A¢(-1, 0) ；
1
\点 B 只能在
y
轴上， SDBOA¢
=
´
OB ´1= 9 ，
2
\
\
OB = 18 ，
B(0,18) 或(0,-18)
；
(12, 0) (-12, 0) (0,9) (0,-9) (0,18) (0,-18)
综上所述，点 B 的坐标为
或
或
或
或
或
．
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【
点睛】本题考查了新运算T 定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运
算T 定义是解题关键．
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