函数的连续性-PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,函数的连续性,1,一种是连续变化的情况,温度计,一、引入,另一种是间断的或跳跃的,例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。,40,80,120,160,x,克,y,分,两种变化形式,:,2,二、新课,:,函数的连续性,1,、函数在某一点处的连续性,如图：从直观上看，我们说一个函数在一点,x=x,0,处连续是指这个函数的图象在,x=x,0,处没有中断，所以以上图象,(1),在点,x,0,处是连续的,而图象,(2)(3)(4),在,x=x,0,处是不连续的。,3,o,x,y,1,2,1,2,o,x,y,2.5,（,1,）在,x=1,处有定义,（,2,）,（,3,）不存在。,4,y,x,o,1,2,（,1,）在,x=1,处有定义；,（,2,）函数在,x=1,处的左右极限相等，即函数在,x=1,处的极限存在，且等于,2,，但不等于,f,（,1,）,导致函数图象断开的原因：,1,、,函数在 处没有定义,2,、,函数在 时极限不存在,3,、函数在 处的极限值和函数值不等,5,一般地，函数,f,（,x,）在点,x,0,处连续,必须同时具备三个条件：,1,、,存在，即函数,在点,x,0,处有定义。,2,、,存在。,3,、,o,x,0,x,y,6,定义：设函数,f(x),在,x=x,0,处及其附近有定,义，而且 则称函数,f(x),在点,x=x,0,处连续，,称,x,0,为函数,f(x),的连续点,.,例,1,讨论下列函数在给定点处的连续性：,解：结合图象可知,:,（,1,）函数 在点,x=0,处没有定义，因而它在,点,x=0,处不连续。,（,2,）因为,7,练习,1,：,连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在,x=a,处是否连续：,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,x,y,O,a,连续,不连续,连续,不连续,不连续,不连续,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,8,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,9,a,x,y,o,（,7,）,不连续,a,x,y,o,（,8,）,连续,2,、函数的连续性：,(1),、开区间内连续：如果,f(x),在某一开区间,(a,b),内,每一点处都连续，就说函数,f,（,x,）在开区间（,a,，,b,）内连续，或说,f,（,x,）是开区间（,a,，,b,）内的连续函数,.,10,例如，函数,y=1+x,2,在闭区间,-1,，,1,上连续，而函数,y=1/x,在开区间（,0,，,1,）内连续，在闭区间,0,，,1,上不连续，因为它在左端点,x=0,处不存在右极限。,练习,2,、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。,(2),、闭区间上连续：如果函数,f(x),在开区间,(a,b),内连续，在左端点,x=a,处有 ，在右端点,x=b,处有 ，就说函数,f(x),在闭区间,a,b,上连续。,11,x,y,o,不连续,连续,连续,连续,12,练习,3:,试问下列各图对应的函数,f(x),在,x=a,处是否连续,?,答案,:,连续,的是,(1).,13,4,、闭区间上连续函数的性质：,o,x,2,x,1,b,a,x,y,从几何直观上看，闭区间,a,，,b,上的一条连续曲线,必,有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意 ，这时我们说闭区间,a,b,上的连续函数,f,（,x,）在点,x,1,处有最大值,f,（,x,1,),在点,x,2,处有最小值,f,（,x,2,）。,14,性质,1,最大值最小值定理：,如果,f,（,x,）是闭区间,a,，,b,上的连续函数，那么,f,（,x,）在闭区间,a,，,b,上有最大值和最小值。,注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。,如函数 在点,x=1,处有最大值,1,在,点,x=-1,处有最小值,-1.,若令,h(x)=f(x)+g(x),因为函数,f(x),、,g(x),在,x=x,0,处连续，所以函数,h(x),在,x=x,0,处有定义,而且,:,性质,2,如果函数,f(x),、,g(x),在某一点,x=x,0,处连续，那么,函数,在点,x,0,处都连续。,15,5,、初等函数的连续性：,我们以前学习了许多初等函数,(,幂函数、指数函数、,对数函数、三角函数等,),，由它们的图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值,它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的性质,2,，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数,y=ax,2,+bx+c,可以看作是由常数,a,乘以幂函数,x,2,的积，加上常数,b,乘以幂函数,x,的积，再加上常数,c,而得到的,它在其定义域内每一点都是连续的。,从而初等函数在其定义域内每一点的极限值就等于这一点的函数值，也就是说对初等函数而言，求极限就是求函数值，使极限运算大大简化。,16,三、例题选讲,例,1:,讨论下列函数在给定点或区间上的连续性,:,从而,f(x),在,x=0,处极限不存在,因此,f(x),在,x=0,不连续,.,17,故,f(x),在,x=2,处无定义,从而,f(x),在,x=2,处不连续,因此,f(x),在,0,2,上不连续,.,事实上,f(x),在,0,2),内是连续的,.,说明,1:,考察分段函数在分界处的极限,一般要分左、右极限进行讨论来确定,判断函数在某点处的连续性,一般按这样的顺序,:,一看定义,二看极限,(,注意左、右极限,),三看函数值,(,观察在,x,0,处极限是否等于,f(x,0,).,2:,对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个或几个因式后,所得函数与原函数是否是同一个函数,.,18,延伸：设 问怎样选择实数,a,能使,f(x),在,R,上是连续的,.,19,练习,1:,已知,试判断,f(x),在点,x=0,x=1,x=2,处是否连续,.,同理,f(x),在,x=1,处连续,;,说明,:,此题也可以通过图象来判断,.,20,例,2:,已知函数,判断此函数在定义域内是,否连续,若不连续,请求出其不连续点,.,解,:,21,因此,f(x),的定义域为,函数,f(x),在,x=-1,及,x=1,处不连续,.,这是由于,当,x=-1,时,f(x),无意义,;,而,x=1,时,连续函数的一个重要性质,(,介值定理,):,设,f(x),在闭区间,a,b,上连续,且,f(a),f(b)0,则必存在一点,使,f(,)=0.,即方程,f(x)=0,在开,区间,(a,b),内至少有一个根,.,22,例如我们可以利用上面的定理证明下面的两题,:,1.,求证方程,x,5,-3x=1,在,(1,2),内至少有一根,.,证,:,令,f(x)=x,5,-3x-1,则,f(x),在闭区间,1,2,上连续,且当,x=,1,时,f(1)=-30,因此,存在,使得,f(,)=0.,即方程,x,5,-3x=1,在开区间,(1,2),内至少有,一个根,.,2:,求证方程,x=asinx+b(a0,b0),至少有一正根,.,证,:,令,f(x)=asinx+b-x(a0,b0),则,f(x),在,R,上连续,又,f(0),=b0,f(a+b)=asin(a+b)-1,0,又,f(x),在,(0,a+b),上,不恒为零,从而至少存在 使,f(x,0,)=0,即方程,x=asinx+b,在,(0,a+b,上至少有一根,也即至少有一正,根,.,23,四、小结,1:,极限思想,:,利用极限思想把一个几何直观上的“连续”抽象概括为一个纯数学概念,连续,这样做既准确有入微,还能进一步发展有关命题,.,2:,判断函数在某点,x,0,处连续的方法,:,第一步判断,x,0,是属,于定义域,第二步证明,.,3:,判断函数在某点,x,0,处不连续的方法,:,只要证明下列情,况之一,即可判断函数在某点,x,0,处不连续,.,24,4:,若函数,y=f(x),在闭区间,a,b,上连续,则必存在最大值,和最小值,;,若,f(x),在,a,b,上单调递增,则,f(x),max,=f(b),f(x),min,=f(a);,若,f(x),在,a,b,上单调递减,则,f(x),max,=f(a),f(x),min,=f(b).,5:,较复杂函数的极限的求法,:,将所求函数转化为连续函,数的加、减、乘、除,再利用连续函数的定义通过,求解,.,25,