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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,大家好,*,一、求积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,微积分,II,总复习,三、二重积分的计算,四、级数的敛散性与求和,五、求解微分方程,2010,级,20110607,大家好,1,一、求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第,六,章,大家好,2,一、求不定积分的基本方法,1.,直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则,求不定积分的方法,.,2.,换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,(,注意常见的换元积分类型,),(,代换,:),机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,3,3.,分部积分法,使用原则,:,1),由,易求出,v,;,2),比,好求,.,一般经验,:,按“,反,对,幂,指,三,”的顺序,排前者取为,u,排后者取为,计算格式,:,列表计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,4,多次分部积分的 规 律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,快速计算表格,:,特别,:,当,u,为,n,次多项式时,计算大为简便,.,大家好,5,例,1.,求,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,6,例,2.,求,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析,:,大家好,7,例,3.,求,解,:,原式,分部积分抵消,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,8,例,4.,设,解,:,令,求积分,即,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,9,例,5.,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,10,例,6.,求,解,:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,此法特别适用于,如下类型的积分,:,大家好,11,例,7.,设,证,:,证明递推公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,12,例,8.,求,解,:,设,则,因,连续,得,记作,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,13,例,9.,设,解,:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即,因此,故,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,14,二、几种特殊类型的积分,1.,一般积分方法,有理函数,分解,多项式及,部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,15,2.,需要注意的问题,(1),一般方法不一定是最简便的方法,(2),初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算,.,因此不一,定都能积出,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,大家好,16,例,10,求,解,:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,17,例,11,求,解,:,令,比较同类项系数,故,原式,说明,:,此技巧适用于形为,的积分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,18,例,12.,解,：,因为,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,19,例,13.,求不定积分,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,20,一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第,七,章,大家好,21,一、与定积分概念有关的问题的解法,1.,用定积分概念与性质求极限,2.,用定积分性质估值,3.,与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1,求,解,:,因为,时,所以,利用夹逼准则得,大家好,22,例,2,估计下列积分值,解,:,因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,23,例,3,证明,证,:,令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,24,例,4,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明,：显然,时结论成立,.,(,用积分中值定理,),当,时,故所给不等式成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,大家好,25,例,5,解：,且由方程,确定,y,是,x,的函数,求,方程两端对,x,求导,得,令,x,=1,得,再对,y,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,大家好,26,例,6,求可微函数,f,(,x,),使满足,解,:,等式两边对,x,求导,得,不妨设,f,(,x,)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,27,注意,f,(0)=0,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,28,例,7,求多项式,f,(,x,),使它满足方程,解,:,令,则,代入,原方程得,两边求导,:,可见,f,(,x,),应为二次多项式,设,代入,式比较同次幂系数,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导,:,大家好,29,二、有关定积分计算和证明的方法,1.,熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2.,注意特殊形式定积分的计算,3.,利用各种积分技巧计算定积分,4.,有关定积分命题的证明方法,思考,:,下列作法是否正确,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,30,例,8,求,解,:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,31,例,9,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,32,例,10,选择一个常数,c,使,解,:,令,则,因为被积函数为奇函数,故选择,c,使,即,可使原式为,0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,33,例,11,设,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,34,例,12,若,解,:,令,试证,:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,35,因为,对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,36,例,13,证明恒等式,证,:,令,则,因此,又,故所证等式成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,37,例,14,试证,使,分析,:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,大家好,38,证明,:,令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为,0,从而不变号,因此,故所证等式成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知,存在一点,大家好,39,思考,:,本题能否用柯西中值定理证明,?,如果能,怎样设辅助函数,?,要证,:,提示,:,设辅助函数,例,15,目录 上页 下页 返回 结束,大家好,40,例,15,设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,(1),在,(,a,b,),内,f,(,x,)0;,(2),在,(,a,b,),内存在点,使,(3),在,(,a,b,),内存在与,相异的点,使,(03,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,41,证,:,(1),由,f,(,x,),在,a,b,上连续,知,f,(,a,)=0.,所以,f,(,x,),在,(,a,b,),内单调增,因此,(2),设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,42,即,(3),因,在,a,上用拉格朗日中值定理,代入,(2),中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,43,例,16,设,证,:,设,且,试证,:,则,故,F,(,x,),单调不减,即,(*),成立,.,(*),机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,44,1.,定积分的几何应用,平面图形面积、,旋转体体积,2.,基本方法,:,微元分析法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的应用,第,七,章,大家好,45,例,1,求抛物线,在,(0,1),内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小,.,解,:,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与,x,y,轴的交点分别为,所指面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,46,且为最小点,.,故所求切线为,得,0,1,上的唯一驻点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,47,例,2,设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1),求函数,(2),a,为何值时,所围图形绕,x,轴一周所得旋转体,解,:,(1),由方程得,面积为,2,体积最小,?,即,故得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,48,又,(2),旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时,V,取最小值,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,49,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,大家好,50,一、基本概念,连续性,偏导数存在,可微性,1.,多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.,几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,51,例,1,已知,求出 的表达式,.,解法,1,令,即,解法,2,以下与解法,1,相同,.,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,52,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1.,分析复合结构,(,画变量关系图,),自变量个数,=,变量总个数,方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.,正确使用求导法则,“,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.,利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,53,例,2,设,其中,f,与,F,分别具,解法,1,方程两边对,x,求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(99,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,54,解法,2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,55,例,3,设,有二阶连续偏导数,且,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,56,练习题,1,、设函数,f,二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,57,解答提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,58,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,59,2,、,设,求,提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解出,d,u,d,v,：,大家好,60,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入,即得,代入,即得,大家好,61,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案,:,(2001,考研）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,设,大家好,62,三、多元函数微分法的应用,极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法,(,消元法,拉格朗日乘数法,),求解最值问题,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,63,例,4,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离,.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,大家好,64,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,65,一、二重积分计算的基本方法,二、二重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八章,二重积分的计算及应用,大家好,66,一、二重积分的累次积分法,1.,选择合适的坐标系,使积分域成为由平面曲线围成的区域,;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离,.,2.,选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙,.,图示法,列不等式法,(,从内到外,:,面、线、点,),3.,掌握确定积分限的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,67,1,、,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,大家好,68,2,、,计算积分,其中,D,由,所围成,.,提示,:,如图所示,连续,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,69,二、二重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.,交换积分顺序的方法,2.,利用对称性简化计算,3.,消去被积函数绝对值符号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,70,1,、证明,:,提示,:,左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,大家好,71,例,1,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,72,(2),积分域如图,:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,73,例,2,计算二重积分,在第一象限部分,.,解,:,(1),两部分,则,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,74,(2),提示,:,两部分,说明,:,若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号,.,作辅助线,将,D,分成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,75,例,3,如图所示,交换下列二次积分的顺序,:,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,76,三、二重积分的应用,1.,几何方面,面积,(,平面域,),证明某些结论等,2.,其它方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,77,例,4,证明,证,:,左端,=,右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,78,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,大家好,79,求和,展开,(,在收敛域内进行,),基本问题,：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开,.,时为数项级数,;,时为幂级数,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,80,一、数项级数的审敛法,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,81,3.,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,若,且,则交错级数,收敛,概念,:,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,82,例,1,若级数,均收敛,且,证明级数,收敛,.,证,:,则由题设,收敛,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,83,1,、,判别下列级数的敛散性,:,提示,:,(1),据比较判别法,原级数发散,.,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,大家好,84,利用比值判别法,可知原级数发散,.,用比值法,可判断级数,因,n,充分大时,原级数发散,.,用比值判别法可知,:,时收敛,;,时,与,p,级数比较可知,时收敛,;,时发散,.,再由比较法可知原级数收敛,.,时发散,.,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,85,2,、,设正项级数,和,也收敛,.,提示,:,因,存在,N,0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确,.,都收敛,证明级数,当,n N,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,86,3,、,设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由,.,但对任意项级数却不一定收敛,.,问级数,提示,:,对,正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散,.,例如,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,87,4,、,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性,:,提示,:,(1),P,1,时,绝对收敛,;,0,p,1,时,条件收敛,;,p,0,时,发散,.,(2),因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛,.,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,88,因,单调递减,且,但,所以原级数仅,条件收敛,.,由,Leibniz,判别法知级数,收敛,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,89,因,所以原级数绝对收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,90,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数,:,先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,.,求下列级数的敛散区间,:,练习,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,91,解,:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛,.,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,92,解,:,因,故收敛区间为,级数收敛,;,一般项,不趋于,0,级数发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,93,例,2,解,:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数,=,其收敛半径,注意,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,94,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,难,直接求和,:,直接变换,间接求和,:,转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法,:,分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,95,例,3,求幂级数,法,1,易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,96,法,2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,97,练习,:,解,:,(1),显然,x,=0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,98,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,99,显然,x,=0,时,和为,0;,根据和函数的连续性,有,x,=,1,时,级数也收敛,.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,100,练习,:,解,:,原式,=,的和,.,求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,101,四、函数的幂级数和级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习,:,1.,将函数,展开成,x,的幂级数,.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,函数的幂级数展开法,大家好,102,2.,设,将,f,(,x,),展开成,x,的幂级数,的和,.,(01,考研,),解,:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,103,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,104,一阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法及应用,第九章,大家好,105,一、一阶微分方程求解,1.,一阶标准类型方程求解,关键,:,辨别方程类型,掌握求解步骤,2.,一阶非标准类型方程求解,(1),变量代换法,代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,(2),积分因子法,选积分因子,解全微分方程,四个标准类型,:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,106,例,1.,求下列方程的通解,提示,:,(1),故为分离变量方程,:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,107,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y=u x,化为分,离变量方程,.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解,.,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,108,方法,1,这是一个齐次方程,.,方法,2,化为微分形式,故这是一个全微分方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,109,例,2,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),令,u=x y,得,(2),将方程改写为,(,贝努里方程,),(,分离变量方程,),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,110,令,y=u t,(,齐次方程,),令,t=x,1,则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,111,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,112,例,3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,),在,(,+),内满足以下条件,:,(1),求,F,(,x,),所满足的一阶微分方程,;,(03,考研,),(2),求出,F,(,x,),的表达式,.,解,:(1),所以,F,(,x,),满足的一阶线性非齐次微分方程,:,大家好,113,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,大家好,114,练习题,:,1,、,求以,为通解的微分方程,.,提示,:,消去,C,得,2,、,求下列微分方程的通解,(,只考虑方法及步骤,):,提示,:,令,u=x y,化成可分离变量方程,:,提示,:,这是一阶线性方程,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,115,提示,:,可化为,关于,x,的一阶线性方程,提示,:,为全微分方程,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,116,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示,:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,117,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件,.,关键问题是正确建立数学模型,要点,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,118,思考,:,能否根据草图列方程,?,练习题,:,1,、,已知某曲线经过点,(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程,.,提示,:,设曲线上的动点为,M,(,x,y,),令,X,=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,119,二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第九章,大家好,120,一、两类二阶微分方程的解法,1.,可降阶,微分方程的解法,降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,121,2.,二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,122,1,、,求以,为通解的微分方程,.,提示,:,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,2,、,求下列微分方程的通解,提示,:,(1),令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,大家好,123,特征根,:,齐次方程通解,:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若,(2),中非齐次项改为,提示,:,原方程通解为,特解设法有何变化,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,124,3,、,求解,提示,:,令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时,正负号如何确定,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,125,特征根,:,例,1,求微分方程,提示,:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解,.,设特解,:,代入方程定,A,B,得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,126,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解,:,定解问题的解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,127,例,2,且满足方程,提示,:,则,问题化为解初值问题,:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,128,思考,:,设,提示,:,对积分换元,则有,解初值问题,:,答案,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,129,的解,.,例,3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),试将,x,x,(,y,),所满足的微分方程,变换为,y,y,(,x,),所满足的微分方程,;,(2),求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解,:,上式两端对,x,求导,得,:,(1),由反函数的导数公式知,(03,考研,),大家好,130,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2),方程,的对应齐次方程的通解为,设,的特解为,代入,得,A,0,从而得,的通解,:,大家好,131,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,大家好,132,补充题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解,.,解,:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,133,故,再积分得通解,复习,:,一阶线性微分方程通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,134,2.,(1),验证函数,满足微分方程,(2),利用,(1),的结果求幂级数,的和,.,解,:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(02,考研,),大家好,135,所以,(2),由,(1),的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程,:,特征根,:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,136,代入初始条件可得,故所求级数的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大家好,137,结束,大家好,138,
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