【中考数学热点题型】动点问题（答案版）.docx

2025 年中考数学热点题型：动点问题
目录

类型一 动点问题的函数图象 
类型二 动点问题的函数关系 
类型三 动点与全等三角形或相似三角形的存在性 
类型四 等腰三角形的存在性 
类型五 动点与平行四边形及特殊平行四边形的存在性 
类型六 动点与最值问题 
类型七 求动点所经过的路径长 
2024 中考真题动点问题精炼 

35

动
类型一

1. (2024• 昆山市一模) 如图①，点 A、B 是 ⊙ O 上两定点，圆上一动点 P 从圆上一定点 B 出发，沿逆时针方向匀速运动到点 A，运动时间是 x(s)，线段 AP 的长度是 y(cm)．图②是 y 随 x 变化的关系图象，则图中 m 的值是 ( )

A. 9 2
B. 4
C. 5 D. 14
3

2
【思 从图 2 看，当 x = 2 时，y = AP = 6，即此时 A、O、P 三点共线，则圆的半径为 1 AP = 3，当 x
2
= 0 时，由勾股定理逆定理可知，OA ⊥ OB，则点 P 从点 B 走到 A、O、P 三点共线的位置时，此时 t = 2，走过的角度为 90°，可求出点 P 运动的速度，当 t = m 时，AP = OA = OB，即 △OAP 是等边三角形，进而求解．
【完整 解：从图 2 看，当 x = 2 时，y = AP = 6，即此时 A、O、P 三点共线，则圆的半径为 1 AP = 3，
2
当 x = 0 时，OB2 + OA2 = AP2 ，
∴ △OAB 是直角三角形，且 OA ⊥ OB，
则点 P 从点 B 走到 A、O、P 三点共线的位置时，如图所示，

此时 x = 2，走过的角度为 90°，则走过的弧长为 1
4
× 2π × r = 3π ，
2

∴ 点 P 的运动速度是 3π
2
÷ 2 = 3π (cm/s)，
4

当 t = m 时，AP = OA = OB，即 △OAP 是等边三角形，
∴ ∠AOP = 60°，
∴ ∠BOP = 360° -90° -60° = 210°，

此时点 P 走过的弧长为：210
360
× 2π × r = 7π ，
2

∴ m = 7π
2
÷ 3π
4
= 14 ，
3

故选：D．
【总 本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
【举一反三演练】
2. (2024 秋• 宜兴市月考) 如图①，BD 是菱形 ABCD 的对角线，AD < BD，动点 P 从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以 1cm/s 的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP 的长 y(cm) 随时间t(s) 变化的函数图象如图②所示，则菱形 ABCD 的周长为 ( )
A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 24cm
【思 由图②得，P 应从点 A 出发延 AB 运动到点 B，再运动到点 D，或从点 A 出发延 AD 运动到点
D，再运动到点 B，设点 P 应从点 A 出发延 AB 运动到点 B，再运动到点 D，连接 AC 交 BD 于点 O，根据点
P 的位置，求出 AC = 8cm，AB = a cm，BD = a + 1(cm)，根据菱形性质求出 OA = 4cm，OB = a + 1 cm，
2
再根据勾股定理求出 a，即可解答．
【完整 解：由图②得，当 0 < t ≤ a 时，y 在减小， 当 a < t ≤ 2a + 1 时，y 先变小后变大，
∴ 判断点 P 应从点 A 出发延 AB 运动到点 B，再运动到点 D，或从点 A 出发延 AD 运动到点 D，再运动到点 B，
设点 P 应从点 A 出发延 AB 运动到点 B，再运动到点 D，如图，连接 AC 交 BD 于点 O，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ AC ⊥ BD，OA = OC ，OB = OD，
∴ 当点 P 位于点 A 处时，y = 8，即 AC = 8cm，
∴ OA = 4
当点 P 位于点 B 处时，x = a，即 AB = a cm，
当点 P 位于点 D 处时，x = 2a + 1，即 BD = a + 1(cm)，
∴ OB = a + 1 cm，
2

Ë
∴ 在 Rt△OAB 中，OB2 + OA2 = AB2 ，即 42 + a + 1
2
2 = a2 ，

3
∴ a1 = 5，a2 =- 13 (舍去)，

∴ AB = 5cm，
∴ 菱形 ABCD 的周长为 5 × 4 = 20cm． 故选：C．
【总 本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
3. (2024 秋• 工业园区月考) 如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，连接 BD，点 M 从 B 出发沿 BD 方向以 3 cm/s 的速度运动至 D，同时点 N 从 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动至 C ，设运动时间为 x(s)，△BMN 的面积为 y(cm2)． y 与 x 的函数图象如图 2 所示，则菱形 ABCD 的边长为 ( )

A. 2 2 cm B. 4 2 cm C. 4cm D. 8cm
【思 根据题意可知，BN = x cm，BM = 3 x cm，结合菱形的性质得 ∠DBC = 30°，过点 M 作 MH
• BC 于点 H ，则 HM = 3 x cm，那么 y = 3 x2；设菱形的边长为 a cm，则 BD = 3 a cm，那么点 M 和
2 4
点 N 同时到达点 D 和点 C ，此时 △BMN 的面积达到最大值 4 3 ，利用最大值即可求得 x，即可知菱形的边长 a．
【完整 解：根据题意可知，BN = x cm，BM = 3 x cm，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，∠ABC = 60°，
∴ ∠DBC = 30°，
过点 M 作 MH ⊥ BC 于点 H ，连接 AC 交 BD 于 O，如图，
则 MH = BM × sin∠MBH = 3 x(cm)，
2
∴ y = S△BMN = 1 BN •MH = 3 x2(cm2)，
2 4
设菱形的边长为 a cm，

∴ BD = 2BO = 2BCcos∠OBC = 2 × a × 3
2
= 3 a(cm)，

∴ 点 M 和点 N 同时到达点 D 和点 C ，此时 △BMN 的面积达到最大值 4 3 ，
∴ 3 x2 = 4 3 ，
4
解得 x = 4(负值舍去)，
∴ BC = 4， 故选：C．
【总 本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质和二次函数的性质，关键是根据图象得出 △BMN

的面积达到最大值 4 3 时，M ，N 的位置．
4. (2024 秋• 江阴市期末) 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，D 是边 AC 上一动点 (不与 A，C 两点重合)，沿 A → C 的路径移动，过点 D 作 ED ⊥ AC ，交 AB 于点 E，将 △ADE 沿直线 DE 折叠得到 △A'DE．若设 AD = x，△A'DE 与 △ABC 重叠部分的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是 ( )
A. B.
C. D.
【思 分 0 ≤ x ≤ 2 和 2 < x ≤ 4 两种情况，利用三角形相似分别求出 DE 和 CF ，然后由三角形和梯形的面积公式分别求出 y 与 x 的函数解析式即可．
【完整 解：①当 0 ≤ x ≤ 2 时，△A'DE 与 △ABC 重叠部分的面积为 △A'DE 的面积，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，
∴ BC = AB2 -AC2 = 52 -42 = 3，
∵ ∠EDA = ∠BCA，∠A = ∠A，
∴ △BCA ∽ △EDA，

∴ BC
DE
即 3
DE
= AC ，
AD
= 4 ，
x

∴ DE = 3 x，
4
∵ △ADE 沿直线 DE 折叠得到 △A'DE，
∴ A′D = AD = x，
∴ y = S△A′DE = 1 A′D•DE = 1 x• 3 x = 3 x2 ，

2
∵ 3 > 0，
8
2 4 8

∴ 抛物线开口向上，当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大，

∴ 当 x = 2 时，y 有最大值，最大值为 3 ，
2
故排除 A，C；
②当 2 < x ≤ 4 时，A′ 位置如图所示：
此时 AE 与 BC 相交于 F ，
∵ A′D = AD = x，CD = AC - AD = 4 - x，
∴ A′C = A′D - CD = 2x - 4，
∵ ∠A′ = ∠A，∠A′CF = ∠ACB = 90°，
∴ △A′CF ∽ △ACB，

∴ A′C
AC
= CF ，
CB

即 2x-4
4
= CF ，
3

∴ CF = 3x-6 ，
2

∴ y = S
= 1 (CF + DE)•CD = 1
× 3x-6 + 3 x
× (4 - x) =- 9 x2 + 6x - 6 =- 9
x- 8
2
+ 2，

梯形FCDE 2
2 Ë 2 4
8 8 Ë 3

∵- 9
8
< 0，2 < x ≤ 4，

∴ 当 x = 8
3
时，y 有最大值，最大值为 2，

Ë
综上所述，图象过 2，3
2
和 8 ，2 3
两点，且两端图象先开口向上，再开口向下，

Ë
故选：D．
【总 本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及对折变换，二次函数 的图象和性质，关键是确定出 y 与 x 的函数解析式．
5. (2024 秋• 崇川区月考) 如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O，∠ACB = 60°，AM = AN
= 1 AB = 1，点 P 沿 BD 从点 B 匀速运动到点 D．设点 P 的运动时间为 x，PM + PN = y，图 2 是点
3
P 运动时 y 随 x 变化的函数关系图象，则图 2 中最低点的纵坐标 a 的值为 ( )

3
A. 2
B. 7 C.
2
D. 3

7
【思 作点 N 关于 BD 的对称点 N ′，连接 MN ′ 交 BD 于点 P，连接 NN ′，PN ′，MN ，由菱形的性质可知，点 N 与点 N ′ 关于 BD 对称，根据两点之间线段最短可知，当 M 、P、N ′ 三点共线时，PM + PN 的最小值

为 MN ′，在 Rt△BCO 中，解直角三角形可得 BO = 3 3 ，OC = 3 ，于是 BD = 3 3 ，AC = 3，易证 △AMN
2 2
∽ △ABD，△DNN ′ ∽ △DAC ，由相似三角形的性质分别求出 MN 和 NN ′，易知 MN ∥ BD，则 △MNN ′ 为直角三角形．再根据勾股定理即可求解．
【完整 解：如图，作点 N 关于 BD 的对称点 N ′，连接 MN ′ 交 BD 于点 P，连接 NN ′，PN ′，MN ，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ 点 N ′ 在 CD 上，AC ⊥ BD，
∴ BD 垂直平分 NN ′，
∴ PN = PN ′，NN ′ ∥ AC ，
∴ PM + PN = PM + PN ′，
∴ 当 M 、P、N ′ 三点共线时，PM + PN 的最小值为 MN ′
在 Rt△BCO 中，BO = BC•sin∠OCB = 3 × 3 = 3 3 ，OC = BC•cos∠OCB = 3 × 1 = 3 ，
2 2 2 2
∴ BD = 2BO = 3 3 ，AC = 2OC = 3，
∵ AM = AN = 1 AB = 1，
3

∴ AM
= AN
= 1 ，DN
= 2 ，

AB AD 3 AD 3
∵ ∠MAN = ∠BAD，MN ∥ BD，
∴ △AMN ∽ △ABD，

∴ AM
= MN
= 1 ，即 MN
= 1 ，

3
AB BD 3 3 3
∴ MN = 3 ，
∵ NN ′ ∥ AC ，
∴ △DNN ′ ∽ △DAC ，

∴ DN
= NN ′
= 2 ，即 NN ′
= 2 ，

AD AC 3 3 3
∴ NN ′ = 2，
∵ MN ∥ BD，NN ′ ⊥ BD，
∴ MN ⊥ NN ′，即 ∠MNN ′ = 90°，
∴ 在 Rt△MNN ′ 中，MN ′ = MN 2 + NN ′2 = (3)2+ 22 = 7 ，
∴ PM + PN 的最小值为 7 ，即 a = 7 ． 故选：C．
【总 提 本题主要考查动点函数问题、两点之间线段最短、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，正确理解题意，学会利用模型思想解决问题是解题关键．
6. (2025 春• 南通月考) 如图 1，等腰 RtABC 中，∠C = 90°，AB = 4，点 D 从点 B 出发，沿 B → C → A 方向运动，DE ⊥ AB 于点 E ，△DEB 的面积随着点 D 的运动形成的函数图象 (拐点左右两段都是抛物线的一部分) 如图 2 所示，以下判断正确的是 ( )

A. 函数图象上点的横坐标表示 DB 的长
B. 当点 D 为 BC 的中点时，点 E 为线段 AB 的三等分点
C. 两段抛物线的开口大小不一样
D. 图象上点的横坐标为 3 时，纵坐标为 3
2
【思 当点 D 运动到点 C 处时，x = 2，故判断 A 错误；求出 BE = 1，判断 B 错误；求出当点 D 在 BC 上和点 D 在 AC 上时的函数关系式，比较 a 值的绝对值，判断 C 错误；把 x = 3，代入关系式求出 y 值，确定 D正确．
【完整 解：A． ∵ AC = BC ，∠C = 90°，AB = 4，∴ BC = 2 2 ，当点 D 运动到点 C 处时，x = 2，∴ 函数图象上点的横坐标表示不是 DB 的长，故 A 错误；
B. 当点 D 为 BC 的中点时，BD = 1 BC = 2 ，∵ ∠B = 45°，∴ BE = 1，∴ 点 E 为不是线段 AB 的三等分
2
点，故 B 错误；
C. 由题意得 BE = x，∴ 0 < x ≤ 2 时，点 D 在 BC 上，y = BE•DE = 1 x2 ，当 2 < x < 4 时，点 D 在 AC 上，
2
AE = DE = (4 - x)，∴ y = 1 BE•DE =- 1 x2 + 2x，∵ ô 1 ô = ô- 1 ô，两段抛物线的开口大小一样，故 C 错
2 2 2 2
误；
D. 把 x = 3，代入 y =- 1 x2 + 2x，得 y = 3 ，故 D 正确．
2 2
故选：D．
类型二
动
【总 本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．

7. (2025 春• 南通月考) 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2 2 ，对角线 AC ，BD 交于点 O，点 P 从点 A 出发，沿线段 AO → OB 运动，点 P 到达点 B 时停止运动．若点 P 运动的路程为 x，△DPC 的面积为 y，探究 y 与 x 的函数关系．
(1) x 与 y 的两组对应值如表，则 m = 4 ；

x
0
⋯
m(m ≠ 0)
y
n
⋯
n
(2) 当点 P 在线段 AO 上运动时，y 关于 x 的函数解析式为 y =-x + 4(0 ≤ x ≤ 2)．当点 P 在线段 OB 上运动时，y 关于 x 的函数解析式为 y= x ，此时，自变量的取值范围是 2 ≤x≤4 ；
(3) ①在图 2 中画出函数图象；

②若直线 y = 1 x + b 与此函数图象只有一个公共点，则 b 的取值范围是 b = 1 或2 <b ≤4 ．
2
【思 (1) 易得当点 P 在点 A 处和点 B 处时，△DPC 的面积即 y 的值是相等的，那么 x = m 时，点 P 移动到点 B 处，根据正方形的性质及边长可判断出 OA，OB 的长度，相加即为 m 的值；
(2) 画出当点 P 在线段 OB 上运动时的图形，作 PE ⊥ CD 于点 E，根据正方形的性质可得 PE 的长，进而可得 y 与 x 的关系式及 x 的取值范围；
(3) ①分别求出当 x = 0 时，x = 2 时，x = 4 时相应的 y 的值．进而描点，连线即可；
②分别求出直线 y = 1 x + b 经过函数图象三个关键点时 b 的值，进而结合图象可得直线 y = 1 x + b 与函
2 2
数图象只有一个公共点时 b 的取值范围．
【完整 解：(1) 由题意可得：当点 P 在点 A 处和点 B 处时，△DPC 的面积即 y 的值是相等的．
∴ x = m 时，点 P 移动到点 B 处．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC ⊥ BD，OA = OB．
∴ ∠AOB = 90°．
∵ 正方形 ABCD 的边长为 2 2 ，
∴ OA = OB = 2．
∴ m = OA + OB = 4．
故答案为：4；
(2) 当点 P 在线段 OB 上运动时，即 2 ≤ x ≤ 4，如图．此时，点 P 运动的路程和为 OA + OP = x．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ OD = OA，∠BDC = 45°．
∴ DP = OA + OP = x．
作 PE ⊥ CD 于点 E．

∴ ∠PED = 90°．

2
∴ PE = x
= 2 x．
2

∴ y = 1 CD•PE = 1 × 2 2 × 2 x = x．
2 2 2
故答案为：y = x，2 ≤ x ≤ 4；
(3) ①当 x = 0 时，y = 4；当 x = 2 时，y = 2；当 x = 4 时，y = 4．描点，连线即可．
②如图，当直线 y = 1 x + b 经过点 B(2，2) 时，与函数图象只有一个公共点．
2

∴ 2 = 1
2
× 2 + b．

解得：b = 1．
当直线 y = 1 x + b 经过点 A(0，4) 时，b = 4．
2

当直线 y = 1 x + b 经过点 C(4，4) 时，4 = 1
× 4 + b．

2 2
解得：b = 2．
∵ 与函数图象只有一个公共点，
∴ 2 < b ≤ 4．
故答案为：b = 1 或 2 < b ≤ 4．
【总 本题考查动点问题的函数图象．难点是理解直线 y = 1 x + b 与函数图象只有一个公共点与直
2
线经过函数图象的几个关键点有关．
【举 反三演
8. (2025 春• 东台市月考) 如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 A 在原点，AB
= 3，AD = 5．若矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向做匀速运动．同时点 P 从 A 点出发以每秒 1

个单位长度沿 A - B - C - D 的路线做匀速运动．当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动．
(1) 求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；
(2) 设 P 点运动时间为 t(秒)．
①当 t = 5 时，求出点 P 的坐标；
②若 △OAP 的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式 (并写出相应的自变量 t 的取值范围)．
【思 本题是二次函数的实际应用题，需要由易到难，逐步解答，(1)、(2) ①比较简单，解答这两个问题，可以帮助我们理解题意，搞清楚题目数量关系；
②由于动点 P 的位置有三种可能，需要表达分段函数．
【完整 解：(1)P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间 = (3 + 5 + 3) ÷ 1 = 11(秒)

(2) ①当 t = 5 时，P 点从 A 点运动到 BC 上， 过点 P 作 PE ⊥ AD 于点 E．
此时 A 点到 E 点的距离 = 10，AB + BP = 5，
∴ BP = 2
则 PE = AB = 3，AE = BP = 2
∴ OE = OA + AE = 10 + 2 = 12
∴ 点 P 的坐标为 (12，3)．
②分三种情况：
i.0 < t ≤ 3 时，点 P 在 AB 上运动，此时 OA = 2t，AP = t

∴ s = 1
2
× 2t × t = t2

ii.3 < t ≤ 8 时，点 P 在 BC 上运动，此时 OA = 2t

∴ s = 1
2
× 2t × 3 = 3t

iii.8 < t < 11 时，点 P 在 CD 上运动，此时 OA = 2t，AB + BC + CP = t
∴ DP = (AB + BC + CD) - (AB + BC + CP) = 11 - t

∴ s = 1
2
× 2t × (11 - t) =-t2 + 11t

综上所述，s 与 t 之间的函数关系式是： 当 0 < t ≤ 3 时，s = t2；
当 3 < t ≤ 8 时，s = 3t；
当 8 < t < 11 时，s =-t2 + 11t．

【总 本题是二次函数与矩形性质的综合题，也是动态几何问题，需要从运动中找规律，分类讨论．

性
相似
动
类型三

9. (2024 秋• 梁溪区月考) 已知 AB = 10，AC = 6，BD = 8，其中 ∠CAB = ∠DBA = α，点 P 以每秒 2 个单位长度的速度，沿着 C → A → B 路径运动．同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度的速度，沿着 D → B → A 路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 t 秒．
①若 x = 1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍；
②当 P、Q 两点同时到达 A 点时，x = 6；
③若 α = 90°，t = 5，x = 1 时，PC 与 PQ 垂直；
④若 △ACP 与 △BPQ 全等，则 x = 0.8 或 4 ．
11
以上说法正确的选项为 ( )

A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【思 ①若 x = 1，即点 P 的速度时点 Q 的 2 倍，即可求解；
②求出 P、Q 的运动时间即可求解；
③证明 AC：AP ≠ PB：BQ，即可求解；
④若 △ACP 与 △BPQ 全等，则 AC = PB 且 AP = BQ 或 AC = BQ 且 AP = BP，即可求解．
【完整 解：①若 x = 1，即点 P 的速度时点 Q 的 2 倍，故点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍，正确，符合题意；
②点 P 到达 A 的时间为：6 ÷ 2 = 3，当 x = 6 时，点 Q 到达点 A 的时间为：(8 + 10) ÷ 6 = 3，故②正确，符合题意；
③若 α = 90°，t = 5，x = 1 时，如图，假设 AC：AP = PB：BQ，
∵ ∠A = ∠B = α，
∴ △APC ∽ △BQP，
∴ ∠CPA = ∠PQB，
而 ∠PQB = ∠QPB = 90°，
∴ ∠CPA + ∠QPB = 90°，
即 CP ⊥ PQ，
而此时，AC = 6，则 AP = 5 × 2 - 6 = 4，则 PB = AB - AP = 6，而 DQ = 1 × 5 = 5，则 BQ = 8 - 5 = 3，
则 AC：AP = 3：2，PB：BQ = 2：1，故 AC：AP ≠ PB：BQ，
故③错误，不符合题意；
④由题意得，AP = 2t - 6，则 PB = 10 - (2t - 6) = 16 - 2t，QD = xt，则 BQ = 8 - xt，

若 △ACP 与 △BPQ 全等，
则 AC = PB 且 AP = BQ 或 AC = BQ 且 AP = BP，
即 6 = 16 - 2t 且 2t - 6 = 8 - xt 或 6 = 8 - xt 且 2t - 6 = 16 - 2t，
解得：x = 0.8 或 4 ，
11
故④正确，符合题意， 故选：C．
【总 本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键．
【举一反三演练】
10. (2023 春• 莱州市期末)△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90°，P 为 BC 上的动点，小慧拿含 45° 角的透明三角板，使 45° 角的顶点落在点 P，三角板可绕 P 点旋转．
(1) 如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时．求证：△BPE ∽ △CFP；
(2) 将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E 、F ．
△BPE 与 △CFP 还相似吗？ (只需写出结论)
(3) 在 (2) 的条件下，连接 EF ，△BPE 与 △PFE 是否相似？若不相似，则动点 P 运动到什么位置时，
△BPE 与 △PFE 相似？说明理由．
【思 (1) 找出 △BPE 与 △CFP 的对应角，其中 ∠BPE + ∠CPF = 135°，∠CPF + ∠CFP = 135°，得出 ∠BPE = ∠CFP，从而解决问题；
(2) 利用 (1) 小题证明方法可证：△BPE ∽ △CFP；
(3) 动点 P 运动到 BC 中点位置时，△BPE 与 △PFE 相似，同 (1)，可证 △BPE ∽ △CFP，得 CP：BE = PF： PE，而 CP = BP，因此 PB：BE = PF：PE，进而求出，△BPE 与 △PFE 相似．
【完整 (1) 证明：∵ 在 △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，
∴ ∠B = ∠C = 45°．
∵ ∠B + ∠BPE + ∠BEP = 180°，
∴ ∠BPE + ∠BEP = 135°，
∵ ∠EPF = 45°，

又 ∵ ∠BPE + ∠EPF + ∠CPF = 180°，
∴ ∠BPE + ∠CPF = 135°，
∴ ∠BEP = ∠CPF ， 又 ∵ ∠B = ∠C ，
∴ △BPE ∽ △CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．

(2) 解：△BPE ∽ △CFP；
理由：∵ 在 △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，
∴ ∠B = ∠C = 45°．
∵ ∠B + ∠BPE + ∠BEP = 180°，
∴ ∠BPE + ∠BEP = 135°，
∵ ∠EPF = 45°，
又 ∵ ∠BPE + ∠EPF + ∠CPF = 180°，
∴ ∠BPE + ∠CPF = 135°，
∴ ∠BEP = ∠CPF ， 又 ∵ ∠B = ∠C ，
∴ △BPE ∽ △CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．

(3) 解：动点 P 运动到 BC 中点位置时，△BPE 与 △PFE 相似， 证明：同 (1)，可证 △BPE ∽ △CFP，
得 CP：BE = PF：PE，而 CP = BP，
因此 PB：BE = PF：PE．又因为 ∠EBP = ∠EPF ，
所以 △BPE ∽ △PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
【总 此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能 力．
性
角
等
类型四

11. (2024 秋• 高邮市期中) 如图，已知 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 16cm，BC = 12cm，M ，N 是 △ABC 边上的两个动点，其中点 N 从点 A 开始沿 A → B 方向运动，且速度为 2cm/s，点 M 从点 B 开始沿 B → C
→ A 方向运动，且速度为 4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为 t s．
(1) 出发 2s 后，求 MN 的长；
(2) 当点 M 在边 BC 上运动时，出发几秒钟，△MNB 是等腰三角形？
(3) 当点 M 在边 CA 上运动时，求能使 △BCM 成为等腰三角形的 t 的值．

【思 (1) 由题意求得 BM 和 BN ，由勾股定理可求出答案；
(2) 用 t 可分别表示出 BM 和 BN ，根据等腰三角形的性质可得到 BM = BN ，可得到关于 t 的方程，可求得
t；
(3) 求出 CM ，分两种情况可求出答案．
【完整 解：(1) 当 t = 2 时，AN = 2t = 4cm，BM = 2t = 8cm．
∵ AB = 16cm，
∴ BN = AB - AN = 16 - 4 = 12(cm)，
在 Rt△BPQ 中，由勾股定理可得，
MN = BM 2 + BN 2 = 122 + 82 = 4 13 (cm)，
即 MN 的长为 4 13 cm．
(2) 由题意可知 AN = 2t，BM = 4t，又 ∵ AB = 16cm，
∴ BN = AB - AN = (16 - 2t)cm，
当 △MNB 为等腰三角形时，则有 BM = BN ，
∴ 16 - 2t = 4t，解得 t = 8 ，
3
∴ 出发 8 s 后 △MNB 是等腰三角形．
3
(3) 在 △ABC 中，由勾股定理可求得 AC = 20cm，
当点 M 在 AC 上运动时，AM = BC + AC - 4t = 32 - 4t，
∴ CM = AC - AM = 20 - (32 - 4t) = 4t - 12，
∵ △BCM 为等腰三角形，
∴ 有 BM = BC ，CM = BC 和 CM = BM 三种情况：
①当 BM = BC = 12 时，如图，过 B 作 BE ⊥ AC ，则 CE = 1 CM = 2t - 6，
2

在 Rt△ABC 中，可求得 BE = 48 ；
5
Ë
在 Rt△BCE 中，由勾股定理可得 BC2 = BE 2 + CE 2 ，即 122 = 48
5

2 + (2t - 6)2，

解得 t = 6.6 或 t =-0.6(舍去)，
②当 CM = BC = 12 时，则 4t - 12 = 12，解得 t = 6，
③当 CM = BM 时，则 ∠C = ∠MBC ，
∵ ∠C + ∠A = 90° = ∠CBM + ∠MBA，
∴ ∠A = ∠MBA，
∴ MB = MA，
∴ CM = AM = 10，即 4t - 12 = 10，解得 t = 5.5，
综上可知，当 t 的值为 6.6 或 6 或 5.5 时，△BCM 为等腰三角形．
【总 本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思

想等知识．用时间 t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．

类型五
动
行
行
性
12. (2025 春• 盐城月考) 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4cm，BC = 8cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 即停止；同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止．点 P、Q 的速度的速度都是1cm/s，连接 PQ，AQ，CP，设点 P、Q 运动的时间为 t(s)．
(1) 当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形？
(2) 当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形？
(3) 分别求出 (2) 中菱形 AQCP 的周长和面积．
【思 (1) 当四边形 ABQP 是矩形时，BQ = AP，据此求得 t 的值；
(2) 当四边形 AQCP 是菱形时，AQ = CQ，列方程求得运动的时间 t；
(3) 菱形的四条边相等，则菱形的周长 = 4t，面积 = 矩形的面积 -2 个直角三角形的面积．
【完整 解：(1) 当四边形 ABQP 是矩形时，BQ = AP，即：t = 8 - t，解得 t = 4．
答：当 t = 4 时，四边形 ABQP 是矩形；

(2) 设 t 秒后，四边形 AQCP 是菱形
当 AQ = CQ，即 42 + t2 = 8 - t 时，四边形 AQCP 为菱形．解得：t = 3．
答：当 t = 3 时，四边形 AQCP 是菱形；

(3) 当 t = 3 时，CQ = 5，则周长为：4CQ = 20cm，

面积为：4 × 8 - 2 × 1
2
× 3 × 4 = 20(cm2)．

【总 本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
【举一反三演练】
13. (2024 春• 镇江期中) 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 6cm，AD = 10cm，点 P 在 AD 边上以每秒
1cm 的速度从点 A 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上以每秒 2.5cm 的速度从点 C 出发，在 CB 间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动，同时点 Q 也停止运动．设运动时间为 t s，开始运动以后，当 t 为何值时，以 P，D，Q，B 为顶点的四边形是平行四边形？ ( )

A. 20 3
B. 40 7
C. 20 3
或 40
7
D. 40 3
或 40
7

【思 由四边形 ABCD 为平行四边形可得出 PD ∥ BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当 PD = BQ 时以 P、D、Q、B 四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由 PD = BQ 即可列出关于 / 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【完整 解：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ PD ∥ BQ．
若要以 P、D、Q、B 四点组成的四边形为平行四边形，则 PD = BQ． 设运动时间为 t．
当 0 < t ≤ 4 时，AP = t，PD = 10 - t，CQ = 2.5t，BQ = 10 - 2.5t，
∴ 10 - t = 10 - 2.5t，
2.5t = 0，
∴ t = 0(舍去)；
当 4 < t ≤ 8 时，AP = t，PD = 10 - t，BQ = 2.5t - 10，
∴ 10 - t = 2.5t - 10，