阶变分----变分法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,dL,1.变分法,1.1 泛函与变分定义,1.1.1 泛函的概念,引例1：,平面两点,A,(,x,0,y,0,)、,B,(,x,1,y,1,)，,求连接,A,、,B,两点的最短弧线。解：设,A,、,B,两点间函数为,y,=,y,(,x,),则由弧长微分公式,L,随函数,y,=,y,(,x,),的选取而变，它是一个泛函。用间接法确定使,L,最短的函数曲线即泛函有极值的自变函数曲线为,y,=c,1,x,+c,2,1阶,导数,2个,待定常数其中常数,c,1,、,c,2,可由边界点,A,、,B,的坐标（即边界条件）确定。,B,(,x,1,y,1,),图1.1 两点间的最短弧线,y,A,(,x,0,y,0,),y,=,y,(,x,),x,o,1,.,引例2,：求通过两点,A,(,x,0,y,0,),、B,(,x,1,y,1,)且长度,l,为一定值的函数曲线,y,=,y,(,x,),，使图中曲边梯形,ABCD,的面积,A,S,达到最大。,（1.2）,A,S,依,y,的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为,AB,长度,（1.3）,这是带约束条件的泛函极值由间接,变分法，泛函,A,s,的极值曲线为,其中常数,c,1,c,2,r,可由条件,来确定。,图1.2 曲边梯形的面积,x,A,(,x,0,y,0,),y,o,B,(,x,1,y,1,),C,D,y,2,.,引例3：由最小势能原理，变形全能,随所选取的三个位移函数,u,i,(,i=1,2,3),而变，,u,也是一个泛函。而,u,i,必须满足的体积不变条件,L,、,A,s,、都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随自变函数而变的量称为泛函。用符号、,J,表示，记作,y,(,x,)或(,y,)等。,变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。,3,.,1.1.2 泛函自变函数的变分,函数,y,=,y,(,x,),自变量为,x,，增量,x,称,dx,为自变量,x,微分。,泛函,y,(,x,),自变函数为,y,(,x,)，当,y,(,x,),变化无限小时，称为自变函数的变分，表为,y,(,x,)，,y,y,是指函数,y,(,x,)和跟它相接近的另一函数,y,1,(,x,),的微差。,4,.,零阶接近度,：对任何,x,值，,一阶接近度:,不仅纵坐标值很接近.,y,1,(,x,)和,y,2,(,x,)的差都很小，,y,=,y,2,(,x,),y,1,(,x,),y,=,y,2,(,x,),y,1,(,x,)很小.,y,=,y,(,x,),y,1,(,x,),也很小,n,阶接近度：,图1.3 曲线的接近度,(,a,),y,x,o,y,2,=,y,2,(,x,),y,1,=,y,1,(,x,),(,b,),y,x,0,y,2,=,y,2,(,x,),y,1,=,y,1,(,x,),5,.,dy,和,y,的区别,dy,:,是针对一条曲线,y,=,y,(,x,)，当,x,=,dx,时 函数值增量的线,性主部是,dy,。,dy,一般不等于零。？,y,：,是在,x,不变时，针对两条接近,的函数曲线,y,(,x,)和,y,1,(,x,),的微差,y,。,y,是,x,的函数。,y,在边界点一定为零,。,y,=,y,(,x,),x,y,o,dy,y,y,1,=,y,1,(,x,),x,=,dx,图 1.4,dy,和,y,的区别,y,6,.,1.1.3 泛函的变分,微分,一般定义,：,y=y,(,x+x,),-y,(,x,),A,(,x,),x+,(,x,x,),x,拉氏定义,：,微分也等于,y(,x,+,x,)对,导数在,=0时的值。,(1.5),7,.,泛函变分定义,一般定义：,是泛函增量的 线性主部,拉格朗日定义,8,.,即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：,9,.,例：,简单泛函 一阶变分,。,10,.,泛函二阶变分及增量为：,11,.,1.2变分运算与泛函极值条件,1,2,变分号可由积分号外进入积分号内,1.2.1 运算规则,12,.,1.2.2 泛函极值的条件,泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果,泛函取极小值 ,泛函取极大值 (1.17),13,.,1.3 变分基本引理与欧拉方程,1.3.1 变分基本引理,设,F(x),在,x,0,x,1,上连续，,(,x,),是一类任意的连续函数,，,一阶或若干阶可微；在线段（x,0,，x,1,)端点为零；,若下列积分为零,则在,x,0,x,1,上就有,F,(,x,)0.,证明,用反证法,14,.,1.3.2 欧拉方程,端点固定条件,由基本引理式,(1.18),15,.,注意到,F（x,y,y),是对,x,的全导数,代人式(1.20),上述欧拉方程为,二阶偏微分,方程。解此方程可,求出使泛函,(,y,)达到极值的,y(x),，称,间接解法,.,其它欧拉方程形式为：,16,.,泛 函 形 式,欧 拉 方 程,边界固定，依赖高阶导数的泛函,边界固定，依赖于多元函数的泛函,边界固定，,依赖多自变函数一阶导数的泛函,约束条件：,17,.,1.4泛函的条件极值变分法,表1.1第四行：,构成新的泛函,新泛函欧拉方程组,共,k+n,个方程，,k+n,个未知数,：,边界条件：,2n,?,个积分常数,18,.,1.5 泛函极值的直接解法,以求解欧拉方程求极值函数（,解析解,），叫泛函变分的,间接解法,，用近似方法直接求极端函数，叫,直接解法，,包括：,有限差分法，里兹法，康托罗维齐法，有限元法，搜索法等，,直接解法简单，得到,近似解,。,1.5.2 里兹法,设,y,是泛函,(y),取极值,m,的极端函数，若 （试验函数）,满足给定的边界条件，且使泛函 之值接近于,m,则就是该问题的近似解.,步骤：,为,n,个任意的待定常数，,w,i,彼此线性无关,经,先微分后积分,(,i,=1,2,n,)，解上述方程组来确定,a,i,代回原式即可，,19,.,1.5.3 康托罗维奇法化偏微分为常微分方程组,依赖,多,自变量的,单,自变函数的泛函,选取 以权重,自变量,x,n,为自变量的,A,i,(x,n,),待定函数,；以其余自变量构成,选取函数,i,(x,1,x,.,x,n-1,)；要,满足给定边界条件。,经微积分运算化掉,x,1,x,2,.x,n-1,，,得到以,为自变函数新泛函（,多,自变函数,单,变量）,代人原式即得到近似解 。,20,.,泛函解法,综合,例,例：求,泛函 极值函数,1.,间接法：,2.,直接法,Ritz法 满足边界条件函数,21,.,y,x,0,x,0,0.25,x,1,0.5,x,2,0.75,x,3,1,x,4,y,1,y,2,y,3,y,i,x,i,-1,x,x,i,y,i,-1,图1.8 变化域离散化与单元线性插值,离散化成,4,单元,5,节点；,i,=0,1,2,3,4;,建立插值关系，写成矩阵形式；,计算单元泛函与总泛函；,总泛函求导建立联立方程组求节点函数,值。,5.搜索法,22,.,结果比较,x,x,0,=0,x,1,=0.25,x,2,=0.5,x,3,=0.75,x,4,=1,解析解：,0,y,1,=0.044,y,2,=0.070,y,3,=0.060,0,有限元：,0,y,1,=0.044,y,2,=0.069,y3=0.060,0,有限差分：,0,y,1,=0.044258,y,2,=0.0701256,y3=0.060387,0,Rize：,0,0044,y,2,0.069,0060,0,y,x,0,x,0,0.25,x,1,0.5,x,2,0.75,x,3,1,x,4,y,1,y,2,y,3,1.,何为泛函极值间接解法？直接解法（近似解法）？有几种直接解法？直接解法与间接解法有何区别？,23,.,