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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,第3章 一维随机变量,随机变量概念,一维随机变量及其分布,一维离散型随机变量,二项分布,泊松分布,几何分布,一维连续型随机变量,均匀分布,指数分布,正态分布,一维随机变量函数分布,1/126,3.1 随机变量概念,样本空间太任意，难以把握，需要将其数量化。,要求问题包括随机事件与变量相关，这么能够将概率,和函数建立联络。,正如随机事件是“其发生是否随机会而定”事件；,随机变量就是“其值随机会而定”变量,。其机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定概率。,2/126,如掷骰子，掷出点数,X,是一个随机变量，它能够取1，6这6个值中,1,个，到底是哪一个，要等掷了骰子后才知道。所以，,随机变量是试验结果函数,。,由此可知，随机变量与通常函数概念没有什么不一样，,把握这个概念关键在于试验前后之分：在试验前，无法预知随机变量将取何值，这要凭机会，“随机”意思就在这里；一旦试验完成后，随机变量取值就确定了。,3/126,例,1,在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数,X,是随机变量。,全部可能结果为,w,i,=“100,个产品中有,i,个废品”,(i=0,1,100),故样本空间,=w,0,w,1,w,2,w,100,随机变量是可能结果函数,：,X=X,(w)w,X=X,(w,0,)=0,X=X,(w,1,)=1,X=X,(w,2,)=2,X=X,(w,100,)=100,所以，,X=0,1,2,100,4/126,事件“废品数少于50”,=,w:X(w),50,=w,0,w,1,w,49,=,X,50,事件30,X,50=w,30,w,31,w,49,例,2,用天平秤量某物体重量误差,X,是随机变量,。,可能结果,w=“,某物体重量误差为,x”x,(0,),X=X(w)=x w,所以，随机变量,X,(0,),随机事件这个概念包含在随机变量这个更广概念之内。随机事件从静态观点研究随机现象；随机变量则是从动态观点去研究。概率论基础概念是随机变量。,5/126,定义,假如对任意实数,x,有,w:,X,(w),x,F,，则,称定义在样本空间,上单值实函数,X=X,(w),是随机变量。,其中,w,，,F,是事件域，,w:X(w),x,是一个事件集合,。,通惯用希腊字母,X,Y,来表示随机变量，用英文字母,x、y,表示其取值,。,6/126,说明：,设,X=X(w),，,w,，,X,是定义在样本空间,上单值实函数，对于任一实数,x,，基本事件,w,集合,w:X(w),x,都是一随机事件，则称,X=X(w),为随机变量。,随机变量,X=X(w),是基本事件,w,函数，,w,是自变量，在无须强调,w,时，简记,X(w),为,X,，而,w,集合,w:X(w),x,所表示事件简记为,X,x,。,定义中要求对任一实数,x,，,X,x,都是事件，表明,X,x,是所讨论问题样本空间,上一个适当确定事件域,F,中事件。,7/126,定义随机变量后，随机事件能够用随机变量来描述。比如对任意实数,x,，,x,1,，,x,2,能够证实，形如,w:X(w)=x,w:X(w),x,w:X(w)x,w:X(w),x,w:x,1,X(w),x,2,w:x,1,X(w),x,2,等等，都是随机事件，在无须强调,w,时，简记,w:x,1,X(w),x,2,为,x,1,X,x,2,。,8/126,3.2 一维随机变量及其分布函数,我们不但关心,X,取哪些值，更关心,X,以多大概率取那些值，即关心,X,取值概率规律,(,通称为,X,分布,),。,依据随机变量,X,定义，对于每一个实数,x,，都有一个确定随机事件,w:,X,(w),x,与,x,对应，所以，概率,Pw:,X,(w),x,是,x,函数，该函数在理论和应用中都很主要，为此引进随机变量分布函数定义。,定义,设,X,是一个随机变量，,x,是任意实数，函数,F(x)=Pw:,X,(w),x,称为随机变量,X,分布函数。,X,分布函数也常简记为,F(x)=P,X,x,9/126,任一随机变量,X,分布函数,F(x)，x,(,-,),，,含有以下性质：,(1)单调不减性。若,x,1,x,2,，,则,F(x,1,),F(x,2,),。,证,若,x,1,x,2,则有,X,x,1,X,x,2,依据概率性质，得,P,X,x,1,P,X,x,2,即,F(x,1,),F(x,2,),(2),(3)左连续性。对任意实数,x,0,，,有,如某实函数含有上述,3,个性质，则它可作为某随机变量分布函数。,10/126,由分布函数，能够计算以下概率：,11/126,3.3 一维离散型随机变量,随机变量全部可能值只有,有限个或至多可列,，则称其为,离散型随机变量,。,对于离散型随机变量，除了关心它全部可能值之外，还要知道它以怎样概率取这些值，对于一个以,为其,全部不一样可能值,离散型随机变量,X,，,若,则称式(3-1)或称,p,1,p,2,为,X,概率分布(律),，简称,分布律。,12/126,离散型随机变量,X,概率分布写作,称为,离散型随机变量,X,概率分布列，简称分布列。,离散型随机变量概率分布,p,1,，p,2,，P,n,，,必须满足两个条件：,(,非负性条件,),(,归一化,|,规范性条件,),13/126,14/126,说明：,这里求和是对一切,x,i,x,进行,(,假如这么,x,i,不存在，便要求,F(x)=0),，此时，,F(x),等于,X,取小于,x,全部,x,i,概率之和或累积，所以分布函数也叫累积概率。,离散型随机变量分布函数,F(x),图象为阶梯状,，点,x,1,x,2,x,n,都是,F(x),第一类,(,跳跃,),间断点。,15/126,随机试验：,接连进行两次射击，表示未击中目标，表示击中目标。样本空间：,现在我们设定随机变量,X,表示击中目标次数，则,随机试验,：,观察某电话交换台单位时间内接到呼唤次数。样本空间,=0,1,2,，,以,X,表示接到呼唤次数，那么，,X=X()=，,是离散型随机变量。,16/126,例,3,设射手进行计分打靶练习，有以下要求：射入区域,e,1,得2分，射入区域,e,2,得1分，不然就得0分）。一射手进行,一次射击,得分是随机变量，其可能取得值为0，1，2。不一样射手在射击之前，他们进行一次射击得分值都是不可预知，他们进行一次射击得分概率不一样。,射手甲在一次射击中得分,X,概率分布为：,射手乙在一次射击中得分,Y,概率分布为：,17/126,考虑射手甲,概率,分布(律),：,计算,X,分布函数,F(x)=P(,X,x):,当,x0,时，,F(x)=P(,X,x)=P(,)=0,当0,x1,时，,F(x)=P(,X,x)=P(,X=0,)=0,当1,x2,时，,F(x)=P(,X,x)=P(,X=0,)+P(,X=1,)=0.2,当2,x,时，,F(x)=P(,X,x)=P(,X=0,)+P(,X=1,)+P(,X=2,),=0+0.2+0.8=1,18/126,考虑射手乙,概率,分布(律),：,计算,Y,分布函数,F(y)=P(,Y,y):,当,y0,时，,F(y)=P(,Y,y)=P(,)=0,当0,y1,时，,F(y)=P(,Y,y)=P(,Y=0,)=0.6,当1,y2,时，,F(y)=P(,Y,y)=P(,Y=0,)+P(,Y=1,)=0.9,当2,y,时，,F(y)=P(,Y,y)=P(,Y=0,)+P(,Y=1,)+P(,Y=2,),=0.6+0.3+0.1=1,19/126,即使两人在射击之前得分可能值都是一样，但两人取各可能值概率完全不一样，能够认为这是两个不一样随机变量。,总值为,1,概率，以不一样方式分布到各种可能取值上，确定了不一样随机变量。,20/126,0-1分布(两点分布),：,若随机变量,X,只能取两个值，其分布列为：,退化分布,(,单点分布,),：,若随机变量,X,只取常数值,C，,即,实际上这时,X,并不是随机变量，为了,方便和统一起见，将其看作随机变量。,离散型均匀分布：,随机变量,X,分布列为,21/126,例,4,已知离散型随机变量,X,概率分布为,试求出常数,a,。,解,因为,22/126,3.,3.1,二项分布,在1次试验中事件,A,出现概率,是,p，,则,n,重伯努利试验中，事件,A,出现次数,X,是二项分布随机变量，其可能取得值是 0,1,2,k,n,有分布律 这个值也被记作,b(k;n，p),，,它正是二项式(,px+q),n,展开式中,x,k,系数，因而,X,得,名“,二项分布,”,。,23/126,二项分布列是：,对不一样两项分布随机变量，其参数,n,，,p,取值能够不一样。惯用,X,B(n,p),表示,X,是参数,n,和,p,二项分布随机变量。,24/126,尤其地，,n=1,时，二项分布为,二值分布,(,两点分布,),，,X,B(1,p),其分布列为,若,X,B(n,p),，由二项概率公式得定理,1,。,25/126,定理1,在,n,重伯努利试验中，事件,A,发生次数在,k,1,和,k,2,之间概率是,在,n,重伯努利试验中，事件,A,最少发生,r,次概率是,尤其是在,n,重伯努利试验中，事件,A,最少发生1次概率是,26/126,例,5,医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性概率为,p=0.45，,且各人反应对应独立。若以,X,表示反应为阳性人数。(1)写出,X,分布律。(2)求恰有3人反应为阳性概率；(3)求最少有2人反应为阳性概率。,解,将观察1人对该接种疫苗试验反应呈“阳性”（发生,A,）,或“阴性”,(,发生,),看作是1次伯努利试验，对5个人试验看作是5重伯努利试验，则,X,B(5,0.45),(1),X,分布律：,27/126,(2),求恰有3人反应为阳性概率:,(3),求最少有2人反应为阳性概率：,28/126,例,6,已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机概率是0.96，问在一样条件下需发射多少枚导弹才能确保最少有一枚导弹击中敌机概率大于0.999?,解,设需要发射,n,枚导弹，则击中敌机导弹数是随机变量,X,B(n,0.96),则,取,n=3，,即需要发射3枚导弹。,29/126,例,7,一个完全不懂阿拉伯语人去参加一场阿拉伯语考试。假设考试有5道选择题，每小题给出,n,个结果供选择，其中只有一个结果是正确。试问他竟然能答对3题以上而及格概率。,解,每做1题是1次,p=1/n,伯努利试验，这里,A,是“答题正确”，则考试是,p=1/n,5重伯努利试验，在5题中恰好答对题数,X,B(5,1/n),此人及格概率为：,当,n=3,时，此值=0.2,9,当,n=4,时，此值=0.10,30/126,定理2,设,X,B(n，p)，,则当,k=ent(n+1)p),时，,b(k;n,p),值最大。,若(,n+1)p,为整数，则,b(k;n,p)=b(k-1;n,p),同为最大值。,31/126,证实：,当,k,(n+1)p,时，,r,1,则,b(k;n,p),b(k-1;n,p),概率随,k,增大而增大；,当,(n+1)p,是整数且等于,k,时，,r=1,则,b(k;n,p)=b(k-1;n,p),当,k,(n+1)p,时，,r,1,则,b(k;n,p),b(k-1;n,p),概率随,k,增大而减小；,32/126,总而言之，可得以下结论：,(1)当,(n+1)p,恰为正整数，记为,k,0,，,则,b(k,0,;n,p)=b(k,0,-,1；,n,p）,同为二项分布概率最大值；,(2)当(,n+1)p,不是整数时，记,k,0,=ent(n+1)p)，ent,表示数之整数部分；则,b(k,0,；,n,p),为二项分布概率最大值。,33/126,例,8,（渔佬问题）,渔佬想知道自己承包鱼塘收入。,解,设鱼总数为,N，,渔佬先从塘,中网起100条鱼做上记号后放回塘,里，过一段时间,(,使其均匀,),再从,中网起100条，发觉其中有记号者,为2条，由此可预计鱼总数,N,，,若每条鱼,2,斤，每斤,5,元，则可知其收入。,在第二次打鱼时，因为塘中有记号鱼有100条，在渔佬所网起鱼中可能有记号，也可能没有记号。设有记号条数为,X,，则,X,服从二项分布 。,34/126,由定理,2,，当,X=k,0,=ent(n+1)p),时，其概率最大。,此时认为,是合理。这里,n=100,，,p=100/N,k,0,=2,，解得,N,=5050(,条,),，由此，鱼佬收入可预计收入为,5050255(,万元,),值得注意是：,X=2,时取得最大约率只有:,35/126,3.,3.2,泊松（,Poisson）,分布,若随机变量,X,以全体自然数为其一切可能值，,X=0,1,2,，其分布律为,其中参数0为强度。则称,X,服从参数泊松分布，记为,X,P(,),。,36/126,因为,0,，故有,P(X=k),0。(k=0,1,2,),即泊松分布分布律，具备概率函数两个性质。,37/126,在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分布。比如:,在任给一段固定时间间隔内，来到公共设施,(,公共汽车站、商店、电话交换台等,),要求给予服务用户个数；,炸弹爆炸后落在平面上某区域碎弹片个数；,显微镜下看到某种细菌生长个数。,38/126,n=10,p=0.4,=np=4 n=40,p=0.1 =np=4,伴随,n,增大，若,np,不变,则二项分布与泊松分布逐步靠近。,泊松分布与二项分布关系,39/126,定理,(,泊松定理,),设随机变量,X,服从二项分布,B(n,p)(p,(0,1)，,并与,n,相关,),，且满足,则,证实,40/126,41/126,用泊松分布代替两项分布条件,在实际应用中，当很大,(n,10,)，,很小时,(,0.1,),，有下面泊松近似公式,其中,=np,42/126,例,9,设每次击中目标概率为0.001，且各次射击是否中目标可看作相互无影响，若射击5000次，试求：()击中12弹概率；()最少击中12弹概率。,解,设,X,为击中目标弹数，则,X,B(5000,0.001)，,下面用近似公式计算。其中,=np=50000.001=5,（）击中12弹概率为：,（）最少击中12弹概率为：,43/126,例,10,由商店销售统计知，某商品月售出量,X,服从,=,10泊松分布。为能以95%以上概率确保不脱销，问在无库存情况下月底应进货多少？,解,商店备货过多将显著地提升成本，而长久货源不足则会影响商誉。所以需用概率方法确定适当备货量，依照问题要求，若月底进货量为,Q，,则应使,P(,XQ)0.95,44/126,P(,X14),0.95,P(,X15),0.95,应取,Q=15,故月底进货该商品15件，可有95%以上把握使该商品在下个月经营中不会脱销。,45/126,例,11,（合作问题）,设有同类设备80台，各台工作是相互独立，发生故障概率都是0.01，而且一台设备故障可由一个人来处理，试求：,(1)由1个人负责维修指定20台设备，设备发生故障而不能及时维修概率；,(2)由3个人共同负责维修80台设备时，设备发生故障而不能及时维修概率。,解,(1)由一个人负责维修20台设备时，设,X,表示同一时刻发生故障设备台数,则,X,B(20,0.01)。,因为一个人在同一时刻只能处理1台发生故障设备，所以设备发生故障而不能及时处理，即是在同一时刻最少有2台设备发生故障，于是所求概率为,46/126,也可用泊松公式近似：,=,np=200.01=0.2,47/126,(2),由3个人共同负责维修80台设备时，设80台设备中发生故障台数为,X,，则,X,B(80,0.01),。,当同一时刻最少有,4,台设备发生故障时，故障不能及时维修。由泊松近似公式,=,np=800.01=0.8,，所求,概率为,可见，由三个人共同负责维修80台，即每人平均约维修27台，比一个人单独维修20台更加好，既节约了人力又提升了工作效率。,48/126,3.,3.3,几何分布,假如随机变量分布律为,则称随机变量服从参数为,p,几何分布，记为,X,G(p),。,几何分布主要描述这么情形：独立地连续做试验，直到事件,A,首次出现为止。此时首次出现,A,时试验次数为随机变量,X,，,P(A)=p,则,X,服从参数为,p,几何分布。,如：某射手命中率为,p，,此射手向一目标独立地连续进行射击，直到命中目标为止。若用,X,表示首次命中目标时射击次数，则,X,服从参数为,p,几何分布。,49/126,这是,p=0.3,几何分布,：,50/126,例,12,在石头、剪子、布游戏中，问：,(1)甲方提出“若一次能决出胜败，则甲方赢；不然乙方,赢”，乙方能同意吗？,(2)比赛三次能决出胜败吗？,解,(1),P(,甲方赢,)=P(,第一次就能决出胜败),=,P(,甲胜或乙胜),=,P(,甲胜)+,P(,乙胜)=1/3+1/3=2/3,P(,乙方赢,)=1-P(,甲方赢,)=1/3,故乙方不能同意。,51/126,比赛三次能决出胜败吗？,设,X,为决出胜败所需比赛次数，则,X,取值为1,2,3,，此为重复独立试验。,P(,在1次比赛中能决出胜败)=2/3，于是,X,服从,p=2/3,几何分布。即,P(,三次还不能决出胜败,)=P(,X,3)=1,-,P(,X,3),52/126,例,13,一个人要开门，他共有,n,把钥匙，其中仅有一把是能开此门，现随机地从中取出一把钥匙来试开门，在试开时每一把钥匙均以1/,n,概率被取用，问此人直到第,S,次试开时方才成功概率是多少？,解,A=,试开门成功,53/126,几何分布含有以下特征：,如,X,分布律为,g(k;p)，,则对任意正整数,s、t，,有,P(,X,s+t,X,s)=P(,X,t),称几何分布含有“无记忆”性。,证实,54/126,超几何分布,例,14,在一箱,N,件装产品中混进了,M,件次品，今从中抽取,n,件(,nM)，,求从中查出次品件数,X,概率分布。,解,55/126,负二项分布,在“成功”概率是,p,贝努利试验中，出现第,r,次成功时所作试验次数,X,所服从分布称为负二项分布。,因为,f(k;r,p),是负指数二项式 展开式中项，故,X,所服从分布,称为负二项分布。,由此也能够证实,56/126,证实,57/126,例,15,两个同类型系统，开始时各有,N,个备件，一旦出现故障，就要更换一个备件。假定两个系统运行条件相同，不一样时发生故障。试求当一个系统需用备件而发觉备件已用光时，另一系统还有,r,个备件概率,P,r,。,(r=0,1,N),解,只考虑出故障时刻,故障出现看作是贝努利试验，有,58/126,要第一个系统缺备件而第二个系统剩,r,件，应该是,A,出现,N1,次故障,(,前,N,次用去全部,N,个备件，最终一次故障发生时缺乏调换备件,),，而,A,出现,Nr,次，这事件概率为：,对于第二个系统先缺备件情况可一样考虑，所以所求概率,Pr,为：,59/126,3.,4,一维连续型随机变量,当一个随机变量,X,分布函数,F,X,(x),可写成“变上限积分”形式：,称,X,为连续型随机变量，称为,f,X,(x),为,X,概率分布密度，简称密度函数。,能够证实，连续型,随机变量分布函数是,连续函数。,60/126,密度函数性质：,(3),而分布函数,F(x),导函数（在连续点上）就是其密度函数，即,对任意类型,随机变量均成立,61/126,证实,(,),由定义知，显然,f(x)0,。,(,),分布函数性质知，,由广义积分概念与定义知，,62/126,(,5),密度函数,f(x),并不直接表示概率值大小。但在区间很小时，,f(x),数值还是能反应出随机变量在,x,附近取值概率大小。,上式表明，,在小区间,x-,x,x,内概率值大约为密度值与区间长度,x,乘积。,63/126,(,6),可见，连续型随机变量,X,取一个固定值概率为0。而且有,对任意类型,随机变量均成立,64/126,例,16,设随机变量,X,分布函数为,（）求常数、；,（）判断,X,是否是连续型随机变量；,（）求,P-1X,1/2,解,（）由分布函数性质得,65/126,(2),因为,所以,F(x),不是连续函数，从而,X,不是连续型随机变量。,66/126,例,17,设已知连续型随机变量,Y,密度函数是,(1)确定,a,值；,(2)求,Y,分布函数,F(x)；,(3),求概率,P(,Y,2,1)。,解,(1)依据密度性质，有,a0,以及,并称该随机变量服从柯西,(Cauchy),分布。,67/126,(2)求,Y,分布函数,F(x)：,(3),求概率,P(,Y,2,1)：,68/126,例,18,向半径为,R,圆形靶射击，假定不会发生脱靶情况，弹着点落在以靶心,O,为中心，,r,为半径(,rR),圆形区域概率与该区域面积成正比。设随机变量,X,表示弹着点与靶心距离，试求,X,分布函数,F(x),及其密度函数,f(x),解,因为不会发生脱靶，所以,X,一切可能值是0,R,当,x0,时，,F(x)=P(,X,x)=0,当0,xR,时，,F(x)=P(,X,x)=kx,2,因为,F(R)=P(,X,R)=1，kR,2,=1,69/126,当,x,R,时，,F(x)=P(,X,x)=P(,必定事件)=1,因为,所以，密度函数为：,70/126,3.4.1,均匀分布,最简单连续型随机变量是密度函数在某有限区间取正常数值，其余皆取零随机变量，称为均匀分布。,均匀分布密度函数,f(x),为,71/126,其分布函数,F(x),为,72/126,73/126,例,19,随机地向区间(-1,1)投掷点，,X,为其横坐标，试求关于,t,二次方程,t,2,+3,X,t+1=0,有实根概率。,解,X,在(-1,1)上服从均匀分布，其密度函数为,方程,t,2,+3,X,t+1=0,有实根充要条件是9,X,2,-4 0,则方程有实根概率为,74/126,自测题,某公共汽车站每隔,5,分钟有一辆汽车经过，乘客抵达汽车站任一时刻可能性是相同，求,(1),乘客候车时间不超出,3,分钟概率；,(2),若甲、乙、丙分别独立等候,1,、,2,、,3,路汽车时，三人中最少有两个人等车时间不超出,2,分钟概率。,答案,：,(1)P=0.6,；,(2),设,Y=,三人中最少有两个人等车时间不超出,2,分钟,，,PY,2,=0.352,75/126,3.4.2,指数分布,若一个连续型随机变量,X,含有概率密度函数：,则称,X,为带参数,a(0),指数分布随机变量，记作,X,E(a),。,其分布函数为,76/126,77/126,例,26,设到某服务窗口办事，需要排队等候，若等候时间,X,是指数分布随机变量,(,单位：分钟,)，,则其概率密度为,某人到此窗口办事，在等候15分钟后仍未能得到接待时，他就愤然离去，若此人在一个月内共去该处10次，试求：,(1)有2次愤然离去概率；,(2)最多有2次愤然离去概率；,(3)最少有2次愤然离去概率。,78/126,解,首先求出他在任一次排队服务时，以愤然离去而告终概率。,在10次排队中愤然离去次数,Y,B(10,p),有2次愤然离去概率,P(,Y=2)=,最多有2次愤然离去概率,最少有2次愤然离去概率,P(,Y2),79/126,自测题,设随机变量,X,含有分布密度,试确定,，并求,P(X,0.1,),。,答案,：,=3,P(X,0.1,)=0.259,80/126,3.,5,正态分布,在实际问题中，有许多随机变量都服从或近似服从正态分布，比如，测量误差；各种产品质量指示,(,零件尺寸、材料强度、电子管寿命,),；生物学中，同一群体某种特征,(,某种动物身长、体重；某种植物株高、单位面积产量，,),等等。,在理论上能够证实，若,X,是某一随机试验随机变量，假如决定试验结果是大量偶然原因总和，各个偶然原因之间近乎相互独立，而且每个偶然原因单独作用相对于作用总和来说均匀地小，那么,X,就近似服从正态分布,。,正态分布又叫高斯,(,Gauss,),分布，它是最主要连续型分布，在概率论中占有极其主要地位，在实际,中有着十分广泛应用。,81/126,称概率密度为,随机变量,X,服从正态分布,(,或高斯分布,),，记作,X,N(,2,),，其中，,0，,与,是常数。,正态分布分布函数是,82/126,尤其地称,N(0,1),为标准正态分布，其概率密度常记为,其分布函数记为,83/126,若,X,N(,2,)，,则,结论当,a=,-,或,b=+,时也成立。,证实,84/126,普通正态分布概率可由标准正态分布计算。,若,X,N(,2,),作标准变换：,则,新随机变量,X,*,N(,0 1,),85/126,正态分布密度函数与分布函数有以下性质：,(1)f(x),和,F(x),处处大于零，且含有各阶连续导数；,(,2,)f(x),在区间,(,-,),内单调增加，在区间,(,+,),内单调降低，在,x=,处取得最大值,当,x,-,或,x+,时,f(x)0,即,x,轴,(y=0),是,f(x),渐近线。,f(x),图形关于直线,x=,对称，即,f(,-,x)=f(+x),。是,X,数学期望,(,加权平均值,),。,=0,时，,则有,f(,-,x)=f(x),，即这时,f(x),关于,y,轴,(x=0),对称。,86/126,固定时，越小，密度曲线越是尖狭；,固定时，越大，密度曲线越是平宽。,是,X,标准差,(,描述了,X,发散程度,),。,87/126,(3)F(,-,x,)=1,-,F(,+,x),尤其有,F(,-,x)=1,-,F(x),(4),88/126,(5),假如,X,N(0,1),则,P|,X,|,x=2,(x),-,1,证实,(6),假如,X,N(0,1),，则,P|,X,|x=2,1,-,(x),证实,89/126,例,20,设,X,N(0,1)，,借助于标准正态分布分布函数,(x),表计算：,(1)PX,-1.24 (2)P|X|,0,时,F,Y,(y)=P(e,X,y)=P(X,lny),109/126,则有密度函数：,110/126,证实,111/126,作业评讲,1,、解,112/126,113/126,2,、解,114/126,12,、解,115/126,14,、解,116/126,15,、解,117/126,16,、解,118/126,18,、解,19,、解,119/126,23,、解,120/126,25,、解,121/126,27,、解,122/126,123/126,28,、解,124/126,29,、解,125/126,30,、解,126/126,
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