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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,数学物理方法概论,之,（格林函数）,主讲教师：白璐,联络电话：,15291456996,Email:bluxidian.edu.c,n,格林函数,格林函数,在电磁场理论中有广泛应用，本节将在线性空间框架下，建立格林函数定义和应用分析。,实际上，希尔伯特空间中,S-L,系统（微分算子方程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中我们能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程表述转化为积分方程，进而得到问题求解。,2/105,1、,点源函数法回顾；,2、格林函数引入；,3、格林函数与,函数,；,4、一维格林函数；,5、三维格林函数；,6、格林函数在电磁学中应用；,7、,并矢格林函数,第四章 格林函数,3/105,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,经典,格林函数方法,在力学、电磁场理论中有广泛应用。,从,点源,概念出发（如质点、点电荷、点热源,等），依据,叠加原理,，经过点源场有限积分来得到任意源场。,这种求解数学物理方程方法即,经典格林函数法,，又称为点源函数法或影响函数法。,4/105,4,格林函数,4.1.1,格林函数法回顾,首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生场或影响，即点源影响函数（格林函数）；然后，因为任意分布源总能够看作是许许多多这么点源叠加，利用场叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源场，这就是格林函数法主要思想。,回顾内容包含：,1,、点源函数性质；,2,、格林函数普通求法（电像法）等；,3,、格林函数求解边值问题路径。,4.1,点源函数法回顾,5/105,4,格林函数,比如：空间中，静电荷产生电势问题，,M,O,X,Y,Z,电荷源 电荷密度,空间,M,处电势满足泊松方程：,实际上：由静电学可知，位于 点单位正电荷在,r,处电势为,4.1,点源函数法回顾,6/105,4,格林函数,表明：上方程求解，能够经过以下思想取得：,1,）找到一个点源在一定边界或初值条件下场,即格林函数（或称点源函数，影响函数）,2,）依据线性迭加原理，将各点源场迭加起来，得到普通源场,即经过有限积分表示原问题解。,格林函数法（点源法）,依据迭加原理，任意电荷分布电势为：,4.1,点源函数法回顾,7/105,4,格林函数,从以上例题分析可见，格林函数法主要特点是：,1,）直接求得问题特解，（它不受方程类型和边界条件局限），,2,）通常结果用一个含有格林函数有限积分表示，物理意义清楚，便于以统一形式研究各类定解问题；,3,）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就能够算出任意源场，这么将一个复杂求解问题，就转换为关键是求解点源相对简单问题。,4.1,点源函数法回顾,8/105,4,格林函数,4.1.2,函数,4.1,点源函数法回顾,9/105,4,格林函数,2,、定义,函数,更普遍定义为,4.1,点源函数法回顾,10/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,11/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,12/105,4,格林函数,3,、三维 函数,其中,为三维 函数,且含有性质：,这表明，高维函数等于一维情况乘积，由此，高维函数,也含有一维函数全部性质。,4.1,点源函数法回顾,13/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,14/105,4,格林函数,其中，为不一样时为零常数。为了得到定解问题,(1)(2),4.1,点源函数法回顾,4.1.,3,泊松方程边值问题,解积分表示式，首先引入格林公式,一、泊松方程基本形式,15/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,二、格林公式,此式称为,化为体积分,16/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,此式称为,17/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,18/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,三、积分公式,格林函数法,目标：求解,19/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,因为,其中 为,M,与,M,0,之间距离,(3),20/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,若能由此式化简整理得到,u,(,M,),则一定是方程（,1,）解,这里,G,就相当于格林第二公式中,v,21/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,22/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,23/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,负号来自内小球面法向与矢径方向相反,24/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,注意到格林函数对称性：,上式物理意义极难解释清楚，右边第一项，,G(,M,M,0,),代表,M,0,点点源在,M,点产生场，而,h,(,M,),代表却是,M,点源。,将上式中,G(,M,0,M,),用,G(,M,M,0,),代替且，将,M,和,M,0,在公式,中交换，可得,25/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,（,4,）,26/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,物理意义：,（,1,）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源,h(M,0,),在,M,点产生场总和；,（,2,）右边第二、三积分项则是边界上源所产生场。这两种影响都是由同一格林函数给出。,上式给出了泊松方程解积分表示，但因为,G(M,M,0,),未知,且不一样边值条件也需做深入分析。,27/105,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,2,、泊松方程边值问题积分公式,(A),第一类边界条件,基本公式变为,由,边界条件变为,只要,G(,M,M,0,),，满足定解问题，则上式,u,(,M,),就都为已知量表示,28/105,G(M,M,0,),所组成定解问题即,下式称为泊松方程,狄氏问题,满足狄氏问题格林函数，简称为,狄氏格林函数,。,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,狄氏积分公式,29/105,基本积分公式变为,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,(B),第二类边界条件,由,边界条件变为,但此式不存在，因为 在第二类,齐次边界条件 下无解。,30/105,表示在边界上是绝热，因为边界绝热，从点源出来,4,格林函数,4.1,点源函数法回顾,从物理上看，其意义十分显著。方程,可看成稳定热传导方程在,M0,点有一个点热源，而边界条件,热量，会使体积内温度不停升高，而不可能到达稳定状态。,显然，为了处理这一矛盾，或者修改格林函数所满足方程,使之与边界条件 相容，,这就要引入所谓广义格林函数方程；或者修改边界条件使之,与格林函数所满足方程相容，这里不再详细讨论。,31/105,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,代入基本积分公式，得,(C),第三类边界条件,若要求,G(M,M,0,),满足第三类齐次边界，即,则当,G(M,M,0,),乘 ，以,u,(M),乘上式再相减，得,32/105,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,由上面讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程,能够先在对应同类齐次边界条件下解格林函数所满足方程,再经过基本积分公式得到,u,(M),。,1),格林函数定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且,边界条件又是齐次，所以求解相对轻易。,2),且不一样泊松方程非齐次项,h(M),和边界条件中不一样,g,(M),，,只要属于同类边值问题，函数,G(M,M,0,),都相同。这就将泊松方,程边值问题化为几个类型边界条件下求解格林函数问题。,33/105,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,4.1.,4,格林函数普通求法,一、无界空间格林函数 基本解,从前讨论可知，确定了,G,，就能利用积分表示式求得,泊松方程边值问题解。但普通求解,G,，并非易事。,只有一些特殊情况下，比较轻易求出。,无界区域格林函数,G,0,又 称为对应方程,基本解,。,将普通边值问题格林函数,G,分为：,对于三维泊松方程，基本解,G,0,满足,G,1,则满足对应齐次方程,(,拉普拉斯方程,),34/105,它描述是点 点源在无界空间产生稳定场。以静电场为例，它描述在点 电量为 点电荷在无界空间中所产生电场在 点电势，即,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,及对应边界条件，比如在第一边值问题中，,从而有,拉普拉斯方程边值问题求解是熟知，至于方程,类似对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解,G,0,满足,35/105,在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。所以，球内电势应为球内电荷直接产生电势与感应电荷所产生电势之和。可将,G,写为,边界条件为,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,此处,G,便是泊松方程第一边值问题格林函数。从电磁学知,考虑物理问题，设有一接地导体球内 点放置一电量,为 点电荷。则球内电势满足泊松方程,二、用电像法求格林函数,其中,G,0,是不考虑球面边界影响电势，,G,1,是感应电荷引发,36/105,G,1,则能够由 及上式边界条件用分离变量法得到。,以及边界条件,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,这么,G,0,就是基本解，,由前面讨论可知，,G,0,满足,从而,G,1,满足,但这么得到解往往是无穷级数。以下介绍另一个方法即,电像法,，用电像法能够得到有限形式解。,37/105,电像法基本思想：,用一构想等效点电荷来代替全部感应电荷，于是可求得,G,1,类似于,G,0,有限形式解。显然，这一等效点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内场满足 即球内是无源。又依据对称性，这个等效电荷必位于,OM,0,延长线上某点,M,1,，记等效电荷电量为,q,，其在空间任意点,M,引发电势为,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,若将场点取在球面,P,点，则若,则 相同，从而,38/105,4.1,点源函数法回顾,4,格林函数,所以若取 ，则球面上总电势为,恰好满足,这个构想位于,M,1,点等效点电荷称为,M,0,点点电荷电像。这么，球内任一点,总电势是,其中,39/105,4.2.1,格林函数引入,在希尔伯特空间中,S-L,系统（微分算子方程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程表述转化为积分方程，进而得到问题求解。,注意到积分算子方程：,其中,K,是积分算子，假如定义为,4.2,格林函数引入,4,格林函数,40/105,而 是一个积分算子核，当这个核来自于包含微分算子方程解时，被称为微分算子在对应边界条件下,格林函数,，记为：,它是服从边界条件 系统相对应于 格林函数。为赫维赛函数：,由此，依据微分积分方程关系，能够引入格林函数，实际上，能够仿照以上方法，结构不一样边界条件下格林函数。,4.2,格林函数引入,4,格林函数,41/105,例：方程,下解为,所以，能够引入,格林函数,作为算子 在本问题边界条件下格林函数。,4.2,格林函数引入,4,格林函数,在边界条件,42/105,一样这个方程，改变边界条件为 时,方程解为,所以，依据格林函数定义有,即：,4.2,格林函数引入,4,格林函数,43/105,可见：,1,、边界条件对格林函数形式影响很大；,2,、格林函数对称性与边界条件相关，后一个边界下是对称，满足,实际上，格林函数对称性与算子厄米性亲密相关。,4.2.2,格林函数对称性,若算子,L,对任意函数,f,和,g,有,则,L,是对称，即自伴算子。,在给定边界条件下，正因为微分算子对称性，格林函数也含有对称性。,4.2,格林函数引入,4,格林函数,44/105,4.2.3,微分方程与积分方程,显然，在 ，经过格林函数，能够把微分方程转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是经过将微分算子转化为以格林函数为核平方可积积分算子，这种平方可积类型核含有许多很好性质，能够把任何有界函数无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列序列，轻易和矩阵理论相结合，使问题轻易求解。,4.2,格林函数引入,4,格林函数,45/105,4.2,格林函数引入,4,格林函数,若需求解,它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正微分方程。,积分号下包含有未知函数方程称为,积分方程,类似，对,其中,可得对应积分方程,46/105,设有算子方程,不妨设,L,含有一个正交完备本征函数集合 ，即有,则将解,y,和已知函数,f,都表示为,代入算子方程，有,1,、格林函数本征表述,4.3,格林函数与,函数,4,格林函数,47/105,即,因为 线性无关，所以,所以,注意，这里 ，而且假设对全部,n,有,4,格林函数,4.3,格林函数与,函数,48/105,可得：,所以 格林函数本征函数表示式为,是实数，算子,L,是厄米，则格林函数是对称。,4,格林函数,4.3,格林函数与,函数,49/105,例：求在区间,0,1,内，算子,对应格林函数本征函数表示。,解：,L,端点值为零归一化本征函数是,本征值是,故格林函数为,它一致收敛于一个连续函数，即前边所给,4,格林函数,4.3,格林函数与,函数,50/105,2,、格林函数与,函数,深入，把,L,作用到,G,上，,注意到，对任意函数,f,(x),有,而 是一个正交归一完备集合，右端就是,f(x),本征函数展开，所以有,4,格林函数,4.3,格林函数与,函数,51/105,所以,I,含有,函数性质，从而得到,这正是我们预期结果。至此，格林函数表示方程解为,对,有,其中 是对应齐次方程 通解，常数项由边界条件确定。,4,格林函数,4.3,格林函数与,函数,52/105,设普通二阶线性微分算子为,对齐次方程：,两个线性无关解为 ，我们希望求解方程,比较上两个方程能够看到，除了 外，,G,必须满足方程，所以，对 ，,G,应该是方程（,1,）两个解线性组合，对 类似。于是我们得到,（,1,）,（,2,）,4,格林函数,4.4,一维格林函数,53/105,而在 处，,G,必须连续，因为假如它不连续，,就包含一个,函数，所以 就应包含函数导数，不过（,2,）式中只有一个函数，所以,G,是连续。,不过 是不连续，而且我们能够从（,2,）式两边从,从 到 进行积分来确定它跃度。即把（,2,）式两边积分,（,3,）,4,格林函数,4.4,一维格林函数,54/105,4,格林函数,4.4,一维格林函数,假设 连续，由考虑到 很小，这些函数在积分范围内改变能够忽略（即提到积分号外），用它们在,处值替换，再化简，得到,G,导数在 跃度为：,（,4,）,55/105,利用,G,在 处连续性，加上（,4,）式，可得,，,其中,W,是朗斯基行列式，它是,所以，,G,能够表示为：,4,格林函数,4.4,一维格林函数,56/105,能够证实 总不为零，能够经过边界条件确定，格林函数最终形式与边界条件类型有很强依赖关系。假如边界条件是各种单点型，则要求 ，格林函数可表示为：,4,格林函数,4.4,一维格林函数,57/105,而由格林函数表示解为,其中 为初始时刻，当我们用单点边界条件 时，能够把积分项看作不存在一样来确定,A,和,B.,对于边界条件是两端点型时，如,一样能够把解写成（,5,）式，只是恰当选择,G,中 ，使,（,5,）,从而再由解（,5,）式确定,A,和,B,值。,4,格林函数,4.4,一维格林函数,58/105,那么对非齐次微分方程，如,它能够被写成积分方程形式,其中 是齐次方程 满足边界条件解线性组合，,G,是,L,满足对应边界条件格林函数。,4,格林函数,4.4,一维格林函数,59/105,例：算子,在给定两点边界条件下格林函数：,4,格林函数,4.4,一维格林函数,解：因为,而：,从而,60/105,为了方便，把端点 。由 得,4,格林函数,4.4,一维格林函数,又由 得,所以：,代入,G,表示式，得,可见边界条件影响格林函数结果。,对比单点边界条件（经典力学）,格林函数,(5.35a),为,61/105,在三维情况下，研究算子,其中 是拉普拉斯算子，,实际上，三维算子方程计算格林函数方法不一样于一维情况，我们作以下讨论：,对算子方程,（,1,）,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,62/105,假设式 和 傅立叶变换存在,对（,1,）两边进行傅立叶变换，有,利用格林公式,令,则有,（,2,）,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,63/105,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,积分域是整个三维空间，所以在计算表面积分时，我们把表面取成半径为,R,球面，然后取,R,趋于无穷极限即可。此时 恰好是径向单位矢，所以面积分项为,64/105,其中,假如当 时，足够快地趋于零，那么面积分将为趋于零，则有,其中,，所以方程（,2,）变为,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,65/105,以下分两种情况考虑：,1.,情况,令 ，此时 总不为零，有,所以,其中 表示齐次方程,解任意线性组合。带入 ，写成由格林函数表示解为,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,66/105,其中格林函数,利用复变函数理论，得到,在实际物理问题中，经常要求,r,非常大时解,(3),仍有界，所以，解最终表示为,(3),4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,67/105,（,4,）,在这种情况下，忽略,(5.49),式中面积分是合理，,当 足够大，,所以，当 足够大时，按指数形式下降。,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,(,源分布,),下降得足够快,(,有限,),，则,68/105,例：静电场泊松方程,解：,当 足够大，其中,这个结果在我们期盼之中，足够远距离处，能够把任何电荷分部都看成是,点电荷,。,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,在,中令,给出,69/105,2.,情况,中 当 时为零。为了避开这个困难，我们假定 是一个正实数和一个虚数之和，即,最终让 ，得到正常结果。由,得,采取和 情况相同处理步骤，得到,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,对它处理要更细致些，因为现在,70/105,（,5,）,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,其中,因为插入了虚部，积分道路上没有了极点，能够像前边情况继续进行下去，最终得,71/105,代回（,5,）式得,其中，是齐次方程 解，它形式,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,为,所以完全解为,A,q,由初始条件确定。,72/105,例：求解薛定谔方程,在 时解。,解：这种情况正是上述情况，令 ，立刻得到波函数所满足积分方程,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,其中 ，这是量子力学中散射问题李普曼,许温格（,LippmannSchwinger,）方程。,73/105,在远区，,其中 是径向单位矢量，分母上,则,4,格林函数,4.5,三维情况下格林函数,其中 ，则,称为,散射振幅,，它表示散射粒子流和入射流之比。,令：,74/105,1,、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下格林函数,例：如图所表示，一无限长矩形波导管，管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管内电势分布。,解：此问题可归结为,这么问题中，仍可用前边讨论一维微分算子格林函数思想，即把包含,源空间分为唯一两个区域，而源只考虑一次。对本二维问题，能够按源左边和右边划分，也可按源上边和下边划分。结果相同。,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,75/105,(1),在 区域，有,代入上式得,从而有：,注意到上边界条件，得解为,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,令,76/105,注意到上边界条件上式化为,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,对应本征函数为,本征值为,故考虑了边界条件方程解为,77/105,(2),在 区域，有,其解为：,(3),由,处,G,性质确定系数 和 ：,由,G,连续性（即电势连续性）：,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,即：,78/105,由三角函数正交性，得,(a),下边讨论,G,对,y,导数在源处跃度,其中：,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,令：,79/105,把,G,代入原微分方程,得,两边乘以 ，并在,0,a,上积分，由正交性得,这就是 所满足常微分方程，由前边讨论跃度公式,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,80/105,可得,即：,结合,可得,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,81/105,最终可得格林函数为,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,或,82/105,2,、拉普拉斯方程在柱面坐标系下格林函数,例,:,如右图所表示，求接地圆柱形导电匣内电位问题，匣内一个单位源在点 上。,解：格林函数满足方程是,类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：,（,1,）,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,83/105,(1),在区域,用分离变量法可求得其解为,其中 是 第,n,个根。,(2),在区域,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,84/105,(3),在 处,G,性质决定系数 。由,G,连续性,得：,令：,其中：,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,85/105,代入原方程（,1,），并化简得,将两边乘以 并在 和,上对 积分，并考虑正交性得,G,z,满足：,其中,从而,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,86/105,即：,联立前边得到,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,可得系数,87/105,进而得,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,当 时,当 时,88/105,因为所得格林函数解对全部,a,l,值都成立，所以我们能够把所得结果推广而求得另外一些问题格林函数。,推广,1,:,假如使,l,变成无穷大，则能够求出含有一端开路一个半无穷长接地圆柱形匣格林函数。这个问题还能够深入推广以得到一个无限长接地圆柱格林函数。这个问题解是,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,89/105,推广,2,:,若再使,a,变为无穷大，就得自由空间中一个单位源在柱面坐标下格林函数。此时格林函数径向关系傅立叶级数表示式转化为一个傅立叶积分表示式，成为,式中用 取代了 而且使用了由 渐近式所得出 值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间格林函数是,其中,二者应该是完全一致。,4,格林函数,4.6,格林函数在电磁学中应用,90/105,对于矢量方程，我们能够采取两种处理方法：一是标量分解；二是直接引入矢量格林函数（并矢格林函数）来求解，这种方法在电磁场问题中经惯用到。,1,、用矢量势函数求解麦克斯韦方程：,已知麦克斯韦方程组微分形式：,对于时谐场在自由空间传输,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,91/105,由此，引入矢量势,A,和标量势 ：,最终可得关于矢势,A,及标势方程：,及洛伦兹条件：,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,其中,92/105,解以上方程等于解四个标量亥姆霍兹方程，解能够由标量格林函数表示，即：,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,这里，格林函数满足,93/105,电场和磁场矢量能够由矢势,A,表示为,对于远区场：及,其中,代入,E,、,H,表示式忽略高阶项,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,94/105,得：,其中,代表相对于 横向分量,所以，远区场满足所谓自由空间辐射条件,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,95/105,2,、并矢,定义：,并矢是由两个矢量直积组成，它定义为,一个并矢并无任何物了解释，其意义仅当它作用到其它矢量时才表现出来。,运算,：,（,1,）标量积,：有前标量积和后表量积，作用结果是一矢量,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,96/105,（,2,）转置：,为,D,转置，有：,（,3,）矢量积：结果仍是并矢,（,4,）并矢分量形式,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,97/105,通常一个并矢含有九个分量。所以，有时也写成三个分量形式，而每一分量为一矢量，即,即有：,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,其中,98/105,（,5,）并矢散度和旋度,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,（,6,）单位并矢：,显著有：,99/105,3,、矢量格林函数,对于自由空间电磁辐射问题，我们已经知道场量分别满足以下方程,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,引入矢势和标势函数以后，可得场量为,100/105,其中：,而,电磁场矢量,E,、,H,取决于源分布。,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,由以上结果，我们引入矢量格林函数，然后再定义并矢格林函数。现在考虑这么一个源：位于 处取向为,x,方向无穷小电流源，其强度为 ，即,则由,A,表示式得,:,101/105,把这基根源产生电场用 来表示，则,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,它是以下方程解,对于远区满足辐射条件：,称 为自由空间,x,方向点源矢量格林函数，所以加上了上标,(,x,),。,102/105,因为点源还可能指向,y,方向和,z,方向，所以我们还能够得到另外两个方向自由空间矢量格林函数，分别用 表示，它们分别满足方程,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,且：,并矢包含有三个矢量函数，所以很自然地想利用一个并矢函数来表示以上这三个各别矢量格林函数,103/105,4,、并矢格林函数,称为自由空间,并矢格林函数,，满足方程,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,并矢格林函数与标量格林函数关系：,104/105,总之，一旦我们求得了并矢 ，一样地，任何电流分布所产生场就能由关于 积分来表示,三个矢量格林函数辐射条件结合在一起，组成了并矢格林函数辐射条件,4,格林函数,4.7,并矢格林函数,而 和前面讨论标量格林函数有亲密联络。引进并矢格林函数主要是求解矢量微分方程表述上方便。,105/105,
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