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*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,物理学专业必修课程,数学物理方法,Mathematical Method in Physics,西北师范大学物理与电子工程学院,1/74,1,第三章 热传导方程分离变量法,2/74,2,引 言,上一章对弦振动方程为代表双曲型方程进行了研究,它研究包含从方程导出到应用行波法和分离变量法.本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究。,3/74,3,数理方程基本步骤:,建坐标系,选物理量,找物理规律,写表示式,物理模型,数学模型,定量化,4/74,4,一、,热传导方程导出,截面积为A均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求热量流动.,1.,物理模型,3.1 热传导方程,5/74,5,2.相关链接,相关概念和定律,热传导:,因为温度分布不均匀产生热传递现象.设,热量：,面积：,体积：,时间：,密度：,温度：,6/74,6,比热:,单位物质温度升高一度,热流密度:,单位时间流过单位面积,热量(,Fourier,试验定律),:导热率,所需热量.,7/74,7,热源强度:,单位时间,单位体积放出热量(源密度).,8/74,8,用到物理学规律,Fourier,试验定律(热传导定律):,当物体内存在,温度差时,会产生热量流动.热流强度(热流密度),与温度下降成正比.即,9/74,9,:热导系数(热导率),不一样物质,不一样,对均匀杆,是常数.负号表示,温度下降方向.,10/74,10,分量形式：,，,，,一维问题：,(对同一个物质)温差越大,热能流动越大.相同温度下,不一样物质热能流动不一样.,11/74,11,热量守恒(质量)定律:,物体内部温度升高所吸收热量(浓度增加所需要质量),等于流入物体内部净热量(质量)与物体内部热源所产生热量(质量)之和.,12/74,12,3.分析,研究问题:,热流流动是由温差造成,为温度.,已知:,常数.,是一维问题.,方法:,与弦振动方程所用方法相同,设,13/74,13,4.研究建立方程,时间热量情况,取,轴与细杆重合,表示在,点,时刻温度.,考虑任一,段在,流入,面:,14/74,14,热源产生:,设有热源其密度为,杆内热,源在,段产生热量为,流出,面:,15/74,15,段温度要升高,所吸收,热量 ,故,16/74,16,依据能量守恒定律,流入,段总热量与,段中热源产生,热量:,即,17/74,17,化简:,两边同除以,当,则,18/74,18,一维热传导方程为:,.,二维热传导方程为:,其中:,19/74,19,三维热传导方程为:,20/74,20,扩散方程物理模型,一充满清水玻璃管.假如一端滴一滴红墨水,则红墨水分子就要向另一端扩散.渗透半导体之间锑扩散,硼扩散,磷扩散.,21/74,21,二、,定解条件,物体上初始时刻温度分布,边界上温度，热交换情形,定解问题,22/74,22,初始条件,以细杆热导方程为例,边界条件提法有三种,23/74,23,第一类边界条件:,直接给出物理量在边界上数值(边界上各点温度).,24/74,24,或,第二类边界条件:,研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值.,25/74,25,物理意义:,把细杆端点,处,既无热量流出去,又,处截面,用一个定点绝热物质包裹起来,使得,在端点,无热量流进来.,已知经过细杆端点热量,特殊,如,绝热条件。,情形,26/74,26,第三类边界条件:,物理量与外法向导数线性组合.,已知杆端,与某种介质接触,它们,之间按热传导中,牛顿试验定律,进行热交换,对应边界条件为：,:热导系数,:热交换系数,27/74,27,介质经过边界按照,冷却定律,散热:,单位时间经过单位面积表面和外界交换热量与介质表面温度,和外界温,之差成正比.,度,28/74,28,设百分比系数为,则,如在,处,29/74,29,3.2 混合问题分离变量解,30/74,30,一、定解问题：有界杆热传导现象,其中,为已知函数.,31/74,31,第一步：分离变量,.设热导方程含有以下分离,变量解(特解),32/74,32,.将其代入泛定方程有,其中,是常数.于是有,33/74,33,、,由边界条件有,当,则,当,则,即本征值问题,34/74,34,上章已经证实只有当,.,时,该本征值问题有非零解.,第二步：求解本征值问题,35/74,35,.由,，,即特征值是,，,36/74,36,.本征函数是,37/74,37,第三步:求特解,并叠加出普通解,又由,得,38/74,38,两边积分得：,其中,是积分常数.于是,故普通解为：,39/74,39,第四步：确定叠加系数,由初始条件,有,两端同乘以,逐次积分有,40/74,40,41/74,41,42/74,42,分析解答：,由初始温度,引发温度,引发温度分布叠加.,可看作是由各个瞬热源,分布,43/74,43,3.3 初值问题付氏解法,44/74,44,将,等在,上展成,Fourier,级数,再,无限扩大.,上节求解混合问题时,空间坐标,区间为,.如考虑无界杆热传导,怎样？,变动,让区间,引 言,45/74,45,结 果：,在一定条件下,Fourier,级数变成一个积分形式,称为,Fourier,积分.,46/74,46,一、Fourier积分,设,定义在,内,且在任一,上分段光滑,则,有限区间,展开成,Fourier,级数,可.,47/74,47,其中:,48/74,48,49/74,49,现设,在,上这时可积,即,则当,时,50/74,50,证:,则上式写成,51/74,51,能够证实：,及,连续点处,付氏,积分收敛于它在该点处函数值。,称为,Fourier,积分.,其中,它是关于,偶函数.,52/74,52,Fourier,积分还可写为,其中,53/74,53,二、热导方程Cauchy问题,定解问题,其中,为已知函数.,分析:,已知一无限长细杆在初始,时刻温度分布,求其以后温度分布.,54/74,54,解,:,(,分离变量法求),令,则,为常数.,有,时,将随,增加而增加,所以不合理.,55/74,55,设,则,当,时,56/74,56,，,，,为积分常数,必须,因为,会无界，,所以,57/74,57,当,时,与,无关,而恒等于,.,58/74,58,，,取全部实数,解叠加只能积分.,而,由,Fourier,积分有:,59/74,59,而,60/74,60,61/74,61,分析解答,解物理意义:,由初始温度,引发,热源引发温度分布叠加.,温度分布,可看作由各个瞬间点,62/74,62,一个小单元 ，函数 在该区,间内为常数 ，而区间外恒为0.,说明:,取,在单位横截面积细杆上取,点附近,物理上:,在初始时刻,这个表示吸收了热量,63/74,63,使这一段温度为,杆上分布由,今后温度在细,给出.,64/74,64,取上式为:,65/74,65,将分布在整个一小段上热量,看作在极限情形只作用在,点,则在,有瞬时点热源,强度为,热源,在细杆上得到温度分布为:,这么,66/74,66,由积分中值定理:,其中:,67/74,67,则,68/74,68,故,所代表温度分布是当初始时刻,细杆在,处受到强度为:,瞬时点热源作用而产生.,69/74,69,对原问题解释：,为在初始时刻使细杆在,处有温度,则在此近邻一小单位,上需吸收热量为,70/74,70,或在,点有温度为,瞬时,点热源所产生温度叠加：,71/74,71,在细杆全部点上,初始温度,总作用,就,是由这些个别单位作用叠加。,由初始温度,引发温度分布,可看作由各个瞬时点热源所引发,温度分布叠加.,72/74,72,对任何时刻,沿整个,轴,对,积分有,73/74,73,初始时刻,处温度为,瞬时点,热源,热量沿杆分布总和一直不变,细,杆上热量总和不随时间改变.,74/74,74,
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