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第一章 基本概念及定义
1-1 试确定表压力为 0.1 kPa时U形管压力计中的液柱高度
差。(1)液体为水, 其密度为1 000 kg/m3; (2)液体为酒精, 其密
度为789 kg/m3。
解 因为表压力能够表示为 ρg = ∆hρg, 因此有:
pg
ρ g
∆h =
既有: (1) ∆h = 0.1×10
3
×9.81 = 0.01019m = 10.19 mm
水
3
10
0.1×10
3
(2) ∆h酒精
= 789×9.81 = 0.01292m = 12.92 mm
1-2 测量锅炉烟道中真空
度时常见斜管压力计。如图 1-
16所示, 若 α角为30°, 液柱
长度l＝200 mm, 且压力计中所
用液体为煤油, 其密度为 800
kg/m3 , 试求烟道中烟气的真空
图1-16 斜管压力计工作示意图
度为多少mmH O(4℃)。
2
解 因为真空度能够表示为 ρν = ∆hρg, 能够有
ρ v = ∆h煤油ρ煤油g = ∆h水ρ水g
∆h水 = ∆h煤油 × ρ
= l ⋅sinα × ρ
即
煤油
ρ水
煤油
ρ水
= 200×sin30
o
×
800 = 80mmH2O(4
o
C)
1000
·2· 基本概念及定义
1-3 在某高山实验室中, 温度为 20℃, 重力加速度为 976
cm/s2, 设某U形管差压计中汞柱高度差为 30 cm, 试求实际压差
为多少mmHg(0℃)。
解
h0oC = 30 cmHg( 1− 0.000172×20) = 298.97 mmHg(0
o
C)
因为
ρ g ∆h = ρ g'∆h'
因此 ∆p =∆h' = ∆h gg' = 298.97× 980.665 = 297.5mmHg(0
976
C)
o
1-4 某水塔高30 m, 该高度处大气压力为 0.098 6 MPa, 若
水的密度为1 000 kg/m3, 求地面上水管中水的压力为多少MPa?
解
p = pb + ρ水 gh
= 0.0986 +1000×9.80665×30×10−6
=0.392 8 Mpa
1-5 设地面附近空气的温度均相同, 且空气为理想气体,
试求空气压力随离地面高度变化的关系。又若地面大气压力为
0.1 MPa, 温度为20 ℃, 求30 m高处大气压力为多少MPa?
解 设地面压力为 p0, 根据题意有:
因为
p0 = p + ρ g h 即 p = p0 − ρ gh
p
对上式微分可得
− d p = ρ gdh =
gdh
RgT
p = − gh
dp = − gdh
即
ln
p
RgT
p
R T
g
0
gh
9.81×30
= 0.1×e 287.1×293 = 0.099 65 MPa
−
−
p = p0e
RgT
1-6 某烟囱高30 m, 其中烟气的平均密度为 0.735 kg/m3。
若地面大气压力为0.1 MPa, 温度为20℃, 现假设空气密度在烟
囱高度范围内为常数, 试求烟囱底部的真空度。
基本概念及定义·3·
解 设地面大气压力为 pb, 烟囱底部的烟气压力为 p, 则在
烟囱顶部处有;
p + ρ烟gh = pb + ρ空gh
即烟囱内底部的真空度为:
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
p
pv = pb − p = (ρ空 − ρ烟)gh =
− ρ烟⎟
⎟
gh
b
RgT
⎠
⎛
= ⎜
⎜
0.1×10
287.1× 293
6
⎞
− 0.735 ×9.81×30 =133.5 Pa
⎟
⎟
⎝
⎠
1-7 某容器中储有氮气, 其压力为 0.6 MPa, 温度为 40
℃。设实验消耗去 1 kg氮, 且温度降为 30℃时容器中压力降为
0.4 MPa。试求该容器的容积。
解
p1 = 0.6 MPa;T1 = 313 K,
p2 = 0.4 MPa;T2 = 303 K; ∆m =1 kg
p1V = mRgT1
实验前
实验后
( 1)
( 2)
p2V =( m −1) RgT2
由( 1) ( 2) 联立得:
p1T2
m = p1T2 − p2T1
由式( 1) 有
mRgT1
R T T
g 1 2
296.8×303×10−6
V =
p1 = p1T2 − p2T1 = 0.6×303− 0.4×313 = 0.497 3 m3
1-8 利用真空泵为某设备抽真空, 真空泵每分钟的吸气量
为0.5 m3。若设备中空气压力已达到 0.1 mmHg, 温度为－ 30
℃, 试求每分钟真空泵可吸出空气的质量。
解
pV = mRgT
·4· 基本概念及定义
m = pV
=
0.1×133.32×0.5
= 0.0955×10−3 kg min
R T 287.1×(−30 + 273)
g
1-9 有两个容器, 容器A的容积为0.3 m3, 其中充有压力为
0.6 MPa, 温度为60℃的氮气; 容器 B为真空。连通两容器, 使
氮气由容器A流入容器B, 而且容器B中压力达到0.15 MPa、 温度
为20℃时, 容器A中的压力降到 0.4 MPa, 温度为50℃。试求容
器B的容积。
解
VA = 0.3 m
3
pA = 0.6 MPa TA = 333 K
两容器连通后
pB = 0.15 MPa
p'A = 0.4 MPa
TB = 293 K
T'A = 323 K
氮气的总质量
m = pAVA = 0.6×106 ×0.3 = 1.821 kg
R T 296.8×333
两容器连通后容器A中氮气的质量
m' = p'AV'A = 0.4×106 ×0.3 = 1.252 kg
g
A
A
×
R T'
296.8 323
两容器连通后容器B中氮气的质量
mB = m − m'A = 1.821−1.252 = 0.569 kg
g
A
容器B的容积
VB = mB Rg TB
= 0.569×296.8×293 = 0.33 m
3
0.15×10
6
pB
1-10 有一储气筒, 其容积为9.5 m3, 筒内空气压力为0.1
MPa, 温度为17℃。现用压气机向筒内充气, 压气机每分钟吸
气0.2 m3, 大气温度为17℃, 压力为0.1 MPa, 试求筒内压力达
到0.7 MPa、 温度仍为17℃时所需的时间。
解
V = 9.5 m
3
p1 = 0.1MPa
p2 = 0.7 MPa
基本概念及定义·5·
充入气筒的空气质量
∆m = p2V − p1V
V
= (p2 − p1)
R T R gT
Rg T
g
经压气机充入气筒的空气容积量
V' = ∆mRg T
= V
pb
(p2 − p1) = 9.5 ×(0.7 − 0.1)= 57 m3
pb
0.1
由题意所求时间 τ = 57 = 285 min
0.2
1-11 输气管道采用压气机加压, 设进气的压力为 0.1
MPa, 温度为20℃, 而要求每分钟输出压力为 0.3 MPa、 温度不
高于60℃的气体80 m3, 现有吸气量为每分钟 8 m3的压气机, 问
需用多少台?
解 p1 = 0.1 Mpa T1 = 293 K p2 = 0.3 MPa T2max = 333 K
p2V2
RgT2max Rg T2 max
p2 ×80
每分钟输出气体质量
m2 =
=
p1V1
RgT1 Rg T1
p1 ×8
=
每分钟每台压气机吸气量
m1 =
需要压气机台数
n = m
=
p2 ×80
T2max p1 ×8
⋅
T1
=
00.3.1××880××333293 = 26.4
2
m
1
取整数为27台。
1-12 一刚性容器内储有压缩空气 0.1 m3, 其压力为 0.4
MPa。一橡皮气球内储有 0.1 m3的压力为0.15 MPa的空气。两者
的温度和环境温度相同, 均为 25℃。现把两者连通, 使刚性容
器内的空气流入橡皮气球, 直至两者压力相同。若橡皮气球的压
力正比于其容积, 试求空气温度仍为 25℃时的最终平衡压力及
气球的容积。
·6· 基本概念及定义
解
刚性容器: V1 = 0.1 m
橡皮气球: V1′= 0.1m
3
3
; p1 = 0.4 MPa;
; p1′ = 0.15 MPa
两者连通前空气质量可表示为
′ ′
p1V1 + p V
m =
1
1
RgT R T
g
若最终的平衡压力p及气球的容积V2′为, 则m又可表示为
m = p(V1 +V )
R T
g
∴
p(V1 +V2′) = p1V1 + p1′V1′
( 1)
( 2)
又因为橡皮气球的压力正比与其容积, 有
V2′ = V
′′ p
1
p
1
′′ p
( 2) 代入( 1) 有: V
1
p
1
2
+V1 p − (p1V1 + p1′V1′) = 0
又因为
V1 =V1′
∴ p
2
+ p1′ p − (p1 + p1′ )p1′ = 0, 即 p
2
+ 0.15 p − 0.0825p1′ = 0
可解得
p = 0.222 MPa
V2′ = 0.148 m
代入( 2) 有
3
1-13 上题中, 若容器也为弹性, 且容积正比于其中的压
力。试求最终的平衡压力及气球、 容器两者各自的容积。
解 若最终容器容积为V2, 气球容积为V2', 终态压力为 p
则
p(V2 +V2') = mRg T =
p1V1 + ′ ′
p V
1
1
′
p(V
p +
V1
p
p) =
p V
1
1
p
1
p1V1 + ′ ′
′
1
1
基本概念及定义·7·
= p1V1 + p2V2
0.1×(0.4 + 0.15) = 0.06
∴
p
2
=
(V
+ V
)
p
2
0.1×( 1
1
+
1
2
)
p
0.4 0.15
1
∴ p = 0.245 Mpa V1'= V1 p = 0.0613 m
V2'= V2 p = 0.163 m
3
3
p1
p2
1-14 压气机气缸中有氮 0.05 kg, 在压缩过程中其压力由
0.1 MPa升高到0.5 MPa, 且气体温度始终保持为50℃。试求压缩
过程中所消耗的功。
2
2 dV
= mRgT ln V
W1−2 = ∫ pdV = mRgT∫
解
2
1
1
V
V
1
V2
V1 p2
= p1 , 因此有
因为过程中温度不变, 故
p1V1 = p2V2 , 即
W1−2 = mRgT ln p1 = 0.05×296.8×323ln 0.1 = −7.71×10
J
3
p2
0.5
负号表明外界对系统作功。
1-15 有一皮革制的无弹性的气球, 原来气球呈折叠状态,
其内部无任何气体。若用储气罐中压缩空气给气球充气, 充满时
气球的容积为2 m3。设储气罐内气体压力远高于大气压力, 而现
大气压力为0.9 atm, 试求充气过程中气体所作的功。
解 此过程不能看成无耗散的准静态过程, 能够用外界的到
的功量来计算气体所作的功。
W1−2 = pb(V2 −V1) = 0.9×101325× 2 =1.82×10
5
J
1-16 若气缸中气体在进行一准静态过程时, 其状态变化关
系为p v
n
＝p1 v1
n
＝常量, 试证明气体所作容积变化功为:
1
w1-2＝ n −1 (p1v1－p2v2)
·8· 基本概念及定义
n∫2 dv
1
n −
n
(v11−n − v21−n
2
w1−2 =∫
pdv = p1v1
=
n
1 p1v1
)
证明
1
1 v
p2v2n = p1v1n
∵
∴
1
w1−2
=
(p1v1 − p2v2 )
n −1
1-17 若气缸中 CO2气体的初始压力为 0.25 MPa, 温度为
200℃, 气体经历了一个膨胀过程后温度为 100℃。设过程中气
体的状态变化规律为 p v1.2＝p1 v1 1.2
＝常量, 试求膨胀过程中气体
所作的膨胀功。
解 根据上题结论
1
n −1
1
n −1
w1−2
=
(p1v1 − p2v2 ) =
Rg (T1 − T2 )
1
= 1.2−1×0.188 9×(473− 373) = 94.45 kJ kg
1-18 某种气体在气缸中进行一个膨胀过程, 其容积由 0.1
m3增加到0.3 m3。已知膨胀过程中气体的压力与容积变化关系为
{p}MPa = 0.24{V} 3 + 0.04。试求: ( 1)气体所作的膨胀功; ( 2)
m
当活塞和气缸的摩擦力保持为1 000 N, 而活塞面积为0.2 m2时,
扣除摩擦消耗后活塞所输出的功。
解
{p}MPa = 0.24{V} 3 + 0.04即 p = (0.24V + 0.04)×10
6
Pa
m
2 pdv =10
6∫2
(0.24V + 0.04)dV
1
w1−2 =∫
( 1)
1
×[0.24V
2
= 10
6
2 + 0.04V ]00..31 = 1.76×104
J
( 2)
W气体 = p气体(V2 −V1) = 100 0 (0.3− 0.1) =100 0 J
摩擦消耗功
0.2
活塞输出功
W气体 =W1−2 −W气体 =176 00−100 0 =1.66×10 J
4
基本概念及定义·9·
1-19 有一橡皮气球, 当它内部的气体压力和大气压力同为
0.1 MPa时, 气球处于自由状态, 其容积为0.3 m3。当气球受太阳
照射其内部气体受热时, 容积膨胀 10%, 压力上升为0.15 MPa。
设气球压力增加和容积的增加成正比, 试求:
(1)该膨胀过程在 p-v图上的过程曲线; ( 2)该过程中气体所作的
功; (3)用于克服橡皮球弹力所作的功。
解 由题意 V1 = 0.3 m
3
V2 = 0.3+ 0.3×10% = 0.33 m
3
p2 = 0.15 Mpa
p1 = 0.1 Mpa
( 1) 由题意可知 dp = k dV
即
p = kV + c 将初态和终态参数代入该式, 即有:
k = p2 − p1 = 0.15− 0.1
∴
0.33− 0.3 = 5 MPa m
3
V −V
3
2
1
c = p1 − kV1 = 0.1− 5 ×0.3 = −0.4 MPa
3
∴ p = 5V − 0.4 MPa = 5 ×10
6
V − 0.4×10
6
Pa
3
3
可见该膨胀过程在p-v图上为一直线, 如图所示。
( 2) 方法1: 在 p-V图中该过程曲线下的梯形面积即为气体所作
的功。
W1−2 = 12 (0.15+ 0.1)×(0.33− 0.3) = 0.00375 MJ = 3.75×103 J
·10· 基本概念及定义
方法2: 由容积变化功的定义式, 有
5
2
2
W1−2 = ∫ pdV =∫
( ×10
V − 0.4×10
)dV
×(0.33− 0.3)
6
6
1
1
3
= 1 × 5 ×10
(0.33
− 0.3 ) − 0.4×10
6
2
2
6
2
3
= 3.75×10
3
J
( 3) 方法1: 在p-V图中△12a所包围的面积即为气体克服气球弹
力所作的功。
W = 12 (0.15− 0.1)×(0.33− 0.3)×106 = 750 J
p弹 = p − pb = 5 ×10
V − 0.5×10
)dV
×(0.33− 0.3)
方法2:
6
6
Pa
3
5
W =∫2
p弹dV = ( ×10
2
V − 0.5×10
∫
6
6
1
1
3
= 1 × 5 ×10
(0.33
− 0.3 )− 0.5×10
6
2
2
6
2
3
= 750 J
1-20 设某种气体的状态方程式为 p(v −b)= RgT , 试导出
定温过程中该气体所作容积变化功的计算公式, 并分析有相同容
积变化时理想气体定温变化的容积变化功, 是大于还是小于该种
气体的功。
v2 −b
v1 −b
2
2
RgT
v −b
2 d(
v −b) =RgT ln
∫
dv =RgT
v −b
1
∫
∫
解
w1−2 = pdv =
1
1
对理想气体定温变化时, 有 pv = RgT , 即b = 0。
则
w1−2'= RgT ln vv21
该两种气体在相同容积变化的定温过程中的容积变化功之差为:
w1−2 − w1−2'= RgT ln vv12 −−bb − RgT ln v1
v2
基本概念及定义·11·
b
1− v2
v2 −b
−b
v1
) = RgT ln 1− b
= RgT ln(v1
×
v2
v1
当v2 > v1, 气体膨胀时: 1− b > 1− b , 故 w1−2 − w1−2'> 0
v2
v
1
即
w1−2 > w1−2'
当v2 < v1, 气体压缩时: 1− b < 1− b , 故 w1−2 − w1−2'< 0
v2
v
1
即
w1−2 < w1−2'
1-21 图1-17所示为压缩空气
驱动的升降工作台示意图。由储气
罐来的压缩空气经阀门调节气体的
压力后送入气缸, 在压缩空气的推
动下活塞上升举起工作台。已知活
塞面积为0.02 m2, 活塞及工作台重
5 000 N。活塞上升 300 mm后开始
和弹簧相接触, 继续上升时将压缩
弹簧。设弹簧常数为 10 N/mm。若
图1-17 压缩空气驱动升降
工作台示意图
气缸内气体的表压力达到 0.3 MPa时停止供气, 试求在举升过程
中气体所作的功及弹簧所吸收的功。
解 设活塞上升距离为x。
( 1) 方法1: 停止供气时系统内外达到力平衡, 数值上有
F = F外 = G + F弹 + pbA
而
p = pe + pb
则 F弹 = F − G − pbA = 6000 + 0.02pb − 5000 − 0.02pb = 1000 N
K = 10 N mm = 1×10 N m
F = pA = 6000+ 0.02pb
又弹簧常数
4
·12· 基本概念及定义
∴停止供气时, 弹簧被压缩长度 ∆l = F
弹
= 0.1 m = x - 0.3
K
活塞上升距离
x = 0.3+ 0.1 = 0.4 m
整个过程中,
W = −W外
而 W外 = pb∆V +W弹 +WG = pbA×( − x) − 12 K ∆l 2 + G ×( − x)
= −0.101325× 0.02 × 0.4 − 1 ×1×10
× 0.1 − 5000× 0.4
2
4
2
= −2860.6 J
W = −W外 = 2860.6 J
方法2: 若把该过程理解成无耗散准静态过程, 则有
⎧250000+ pb
(0 < x ≤ 0.3 m)
⎪
⎨
p =
250000+ pb + K(x − 0.3) (0.3 m ≤ x ≤ 0.4 m)
⎪
⎩
A
W = ∫1
2 pdV = ∫00.4 pAdx = ∫00.3 pAdx + ∫00..34pAdx
= ∫00.3(250000
+ pb )Adx + 0.4
∫ [(250000
+ pb)A+ K(x − 0.3)]dx
0.3
0.4
= (250000 + pb)A×0.4 + 1
2 K(x − 0.3)2
0.3
= 2810.6+ 50 = 2860.6 J
( 2) W弹 = − 1 K ∆l
= − 1 ×1×10
2
4
×0.1
2
= −50 J
2
2</p>
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