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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数方程叫做,微分方程.,方程中所含,未知函数导数最高阶数,叫做微分方程,(,本章内容,),(,n,阶,显式,微分方程),微分方程基本概念,普通地,n,阶常微分方程形式是,阶,.,分类,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1页,引例,2,使方程成为恒等式函数.,通解,解中所含独立任意常数个数与方程,确定通解中任意常数条件.,n,阶方程,初始条件(或初值条件),:,阶数相同.,特解,引例,1,通解,:,特解,:,微分方程,解,不含任意常数解,定解条件,其图形称为,积分曲线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,定义3,2.微分方程解（几何意义）：,第3页,转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,第4页,分离变量方程解法:,设,y,(,x,),是方程解,两边积分,得,则有恒等式,当,G,(,y,)与,F,(,x,)可微且,G,(,y,),g,(,y,)0 时,说明由,确定隐函数,y,(,x,)是,解.,则有,称,为方程,隐式通解,或,通积分,.,一样,当,F,(,x,),=,f,(,x,)0 时,上述过程可逆,由,确定隐函数,x,(,y,)也,是,解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,形如,方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程,通解.,解法:,分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 齐次方程,第6页,内容小结,1.微分方程概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程求解方法:,说明:,通解不一定是方程全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,比如,方程,分离变量后积分;,依据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x,及,y=C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.齐次方程求解方法:,令,第7页,找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程.,惯用方法:,1)依据几何关系列方程,(如:P263,5(2),2)依据物理规律列方程,(如:例4,例 5),3)依据微量分析平衡关系列方程,(如:例6),(2)利用反应事物个性特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并依据定解条件确定特解.,3.,解微分方程应用题方法和步骤,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.,解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,该定理易让我们想起,线性代数,中,一阶非齐次线性方程,组解结构定理。,第10页,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程,标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得,伯努利方程,通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,内容小结,1.,一阶线性方程,方法1,先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2,用通解公式,化为线性方程求解.,2.,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,思索与练习,判别以下方程类型:,提醒:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,可降阶高阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、,型微分方程,二、,型微分方程,三、,型微分方程,第七章,解法：降阶,第14页,一、,令,所以,即,同理可得,依次经过,n,次积分,可得含,n,个任意常数,通解,.,型微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,既不含未知函数y,也不含未知函数导数,解法:,连续积分,n次,，便得通解。,第15页,型微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程通解,二、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即含自变量,x,不含未知函数,y,第16页,三、,型微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,含有,未知函数,y,不含,自,变量,x,第17页,内容小结,可降阶微分方程解法,降阶法,逐次积分,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,思索与练习,1.方程,怎样代换求解?,答:,令,或,普通说,用前者方便些.,均可.,有时,用后者方便.,比如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:,(1)普通情况,边解边定常数计算简便.,(2)碰到开平方时,要依据题意确定正负号.,例6,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,n,阶线性微分方程,普通形式为,方程,共性,为,二阶线性微分方程,.,例1,例2,可归结为,同一形式,:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:,一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解,Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,证毕,二、线性齐次方程解结构,是二阶线性齐次方程,两个解,也是该方程解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是不是所给二阶方程通解？,问题：,第21页,说明:,不一定,是所给二阶方程通解.,比如,是某二阶齐次方程解,也是齐次方程解,并不是通解！,不过,则,为处理通解判别问题,下面引入函数,线性相关,与,线性无关,概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,定义:,是定义在区间,I,上,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,不然称为,线性无关,.,比如,，,在(,)上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,又如，,若在某区间,I,上,则依据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见,在任何区间,I,上都,线性无关,.,若存在,不全为,0,常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关,充要条件:,线性相关,存在不全为 0,使,(无妨设,线性无关,常数,思索:,中有一个恒为 0,则,必线性,相关,(证实略),线性无关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,定理 2.,是二阶线性齐次方程两个线,性无关特解,则,数)是该方程通解.,比如,方程,有特解,且,常数,故方程通解为,(自证),推论.,是,n,阶齐次方程,n,个线性无关解,则方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,三、线性非齐次方程解结构,是二阶非齐次方程,一个,特解,Y,(,x,),是对应,齐次,方程,通解,定理 3.,则,是,非齐次方程通解,.,证:,将,代入方程,左端,得,复习 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,是非齐次方程解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,比如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,所以该方程通解为,证毕,因而,也是通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,定理 4.,分别是方程,特解,是方程,特解.,(非齐次方程之解叠加原理),定理3,定理4,均可推广到,n,阶线性非齐次方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,定理 5.,是对应齐次方程,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程特解,则非齐次方程,通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,*,四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程通解:,设非齐次方程解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.,已知对应齐次方程通解:,设解为,因为有两个待定函数,所以要建立两个方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,令,于是,将以上结果代入方程:,得,故,系数行列式,是对应,齐次方程解,P10 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,积分得:,代入 即得非齐次方程通解:,于是得,说明:,将解设为,只有一个必须满足条件即方程,所以必需再附加一,个条件,方程引入是为了简化计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,情形2.,仅知,齐次方程一个非零特解,代入,化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程通解:,代入,目录 上页 下页 返回 结束,第33页,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节,齐次线性微分方程,基本思绪:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,第34页,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它导数只差常数因子,代入得,称,为微分方程,特征方程,1.,当,时,有,两个相异实根,方程有两个线性无关特解:,所以方程,通解,为,(,r,为待定常数),所以令,解为,则微分,其根称为,特征根,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第35页,2.,当,时,特征方程有,两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,),待定),代入方程得:,是特征方程重根,取,u=x,则得,所以原方程,通解,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,3.,当,时,特征方程有,一对共轭复根,利用解,叠加原理,得原方程,线性无关特解:,所以原方程,通解,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这时原方程有两个复数解,（,欧拉公式 ),第37页,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第38页,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必,含对应项,则其通解中必,含,对应项,特征方程:,推广:,n,阶常系数齐次线性方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第39页,因为,n,次,代数方程有,n,个,根，而每个根对应着通解中,一项，且每一项各含一个任意常数。将上表中各对应,项相加，就得到,n,阶,微分方程通解。,小结:,解法,第40页,内容小结,特征根:,(1),当,时,通解为,(2),当,时,通解为,(3),当,时,通解为,可推广,到高阶常系数线性齐次方程求通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第41页,思索与练习,求方程,通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业,P310 1,(3),(6),(10),;,2,(2),(3),(6);,3,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,第42页,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,一、,二、,第七章,第43页,二阶常系数线性非齐次微分方程:,依据解结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解方法,待定形式,代入原方程比较两端表示式以确定,待定系数,.,待定系数法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,依据,f,(,x,),两种,特殊形式,第44页,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1),若,不是特征方程根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式.,Q,(,x,)为,m,次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第45页,(2),若,是特征方程,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论,可推广,到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程,k,重根,时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第46页,简例,第47页,二、,第二步,求出以下两个方程特解,分析思绪:,第一步,将,f,(,x,)转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程特解,第四步,分析原方程特解特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第48页,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,)变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第49页,第二步,求以下两方程特解,是特征方程,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程,特解,.,设,则,有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第50页,第三步,求原方程特解,利用第二步结果,依据,叠加原理,原方程有,特解,:,原方程,均为,m,次多项式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第51页,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式.,本质上为,实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第52页,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程,k,重根(,k,=0,1),上述结论也,可推广,到高阶方程情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第53页,内容小结,为特征方程 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程 k(0,1)重根,则设特解为,3.,上述结论也可推广到高阶方程情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第54页,思索与练习,时可设特解为,时可设特解为,提醒,:,1.,(填空),设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第55页,2.,求微分方程,通解 (其中,为实数).,解:,特征方程,特征根:,对应,齐,次方程,通,解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第56页,3.,已知二阶常微分方程,有,特解,求微分方程,通解,.,解:,将,特解,代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应,齐,次方程,通,解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第57页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十节,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第十二章,第58页,欧拉方程算子解法:,则,计算繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第59页,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是,欧拉方程,转化为常系数线性方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第60页,思索:,怎样解下述微分方程,提醒:,原方程,直接令,作业,P319,2;6;8,第11节 目录 上页 下页 返回 结束,第61页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一节,微分方程幂级数解法,一、,一阶微分方程问题,二、,二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法,只能解一些特殊类型方程,幂级数法,本节介绍,数值解法,计算数学内容,本节内容:,第十二章,第62页,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,将其代入原方程,比较同次幂系数,可定常数,由此确定级数即为定解问题在收敛区间内解.,设所求解为,本质上是待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第63页,常系数线性微分方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*第十二节,解法举例,解方程组,高阶方程求解,消元,代入法,算子法,第十一章,第64页,常系数线性微分方程组,解法步骤:,第一步 用消元法消去其它未知函数,得到只含一个,函数高阶方程;,第二步 求出此高阶方程未知函数 ;,第三步 把求出函数代入原方程组,注意:,一阶线性方程组通解中,任意常数个数=未知函数个数,普通经过,求导,得其它未知函数.,假如经过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数,关系.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第65页,例1.,解微分方程组,解:,由得,代入,化简得,特征方程:,通解:,将代入,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第66页,原方程通解:,注意:,1)不能由式求,y,因为那将引入新任意常数,(它们受式制约).,3)若求方程组满足初始条件,特解,只需代入通解确定,即可.,2)由通解表示式可见,其中任意常数间有确定关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第67页,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十二章,第68页,判别:,P,Q,在某单连通域,D,内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关条件.,1.求原函数,u,(,x,y,),2.由 d,u,=0 知通解为,u,(,x,y,)=,C,.,一、全微分方程,则称,为,全微分方程,(又叫做,恰当方程,).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第69页,二、积分因子法,思索:,怎样解方程,这不是一个全微分方程,就化成例2 方程.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验依据微分倒推式得到,为原方程,积分因子,.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,例2 目录 上页 下页 返回 结束,第70页,惯用微分倒推公式:,积分因子,不一定唯一,.,比如,对,可取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第71页,
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